2022高考数学一轮复习专题54 排列组合以及二项式定理（解析卷）

专题54  排列组合以及二项式定理

一、题型选讲

题型一 、排列组合问题

例1、某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车4辆工程车，将它们全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派一辆工程车，共有多少种方式？下列结论正确的有（    ）

A．18 B． C． D．

【答案】CD

【解析】根据捆绑法得到共有，

先选择一个工地有两辆工程车，再剩余的两辆车派给两个工地，共有.

.

故选：.

例2、，，，，五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ）

A．如果，必须相邻且在的右边，那么不同的排法有24种

B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种

C．甲乙不相邻的排法种数为72种

D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种

【答案】ACD

【解析】A.如果，必须相邻且在的右边，可将捆绑看成一个元素，则不同的排法有种，故正确.

B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种，故不正确.

C.甲乙不相邻的排法种数为种，故正确.

D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种,故正确.

故选：ACD.

例3、在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则(    )

A．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有种

B．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有种

C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种

D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种

【答案】ACD

【解析】由题意知，抽出的三件产品恰好有一件不合格品,

则包括一件不合格品和两件合格品,

共有种结果，则选项A正确，B不正确；

根据题意,"至少有1件不合格品"可分为"有1件不合格品"与"有2件不合格品"两种情况,

"有1件不合格品"的抽取方法有种,

"有2不合格次品"的抽取方法有种,

则共有种不同的抽取方法,选项C正确；

"至少有1件不合格品"的对立事件是"三件都是合格品"，

"三件都是合格品"的抽取方法有种,

抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有，选项D正确；

故选：ACD.

题型二、二项式定理问题

例4、对于二项式，以下判断正确的有（    ）

A．对任意，展开式中有常数项 B．存在，展开式中有常数项

C．对任意，展开式中没有x的一次项 D．存在，展开式中有x的一次项

【答案】BD

【解析】展开式的通项为：，

取，得到，故当是的倍数时，有常数项，故错误正确；

取，取，时成立，故错误正确；

故选：.

例5、对于的展开式，下列说法正确的是（    ）

A．展开式共有6项 B．展开式中的常数项是-240

C．展开式中各项系数之和为1 D．展开式中的二项式系数之和为64

【答案】CD

【解析】的展开式共有7项，故A错误；

的通项为，

令，展开式中的常数项为，故B错误；

令，则展开式中各项系数之和为，故C正确；

的展开式中的二项式系数之和为，故D正确.

故选：.
例6、已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（    ）

A．

B．展开式中常数项为160

C．展开式系数的绝对值的和1458

D．若为偶数，则展开式中和的系数相等

【答案】ACD

【解析】对于A，

令二项式中的为1得到展开式的各项系数和为，

，故A正确；

对于B，

，

展开式的通项为，

当展开式是中常数项为：令,得

可得展开式中常数项为：，

当展开式是中常数项为：

令,得(舍去)

故的展开式中常数项为.故B错误；

对于C，求其展开式系数的绝对值的和与展开式系数的绝对值的和相等

，令，可得：

展开式系数的绝对值的和为：.故C正确；

对于D，

展开式的通项为，

当为偶数，保证展开式中和的系数相等

①和的系数相等，

展开式系数中系数为：

展开式系数中系数为：

此时和的系数相等，

②和的系数相等，

展开式系数中系数为：

展开式系数中系数为：

此时和的系数相等，

③和的系数相等，

展开式系数中系数为：

展开式系数中系数为：

此时和的系数相等，

故D正确；

综上所在，正确的是：ACD

故选：ACD.

例7、对于二项式，以下判断正确的有（    ）

A．存在，展开式中有常数项；

B．对任意，展开式中没有常数项；

C．对任意，展开式中没有的一次项；

D．存在，展开式中有的一次项.

【答案】AD

【解析】设二项式展开式的通项公式为，

则，

不妨令，则时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；

令，则时，展开式中有的一次项，故C答案错误，D答案正确。

故答案选AD

例8、若，则（   ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【解析】

因为，

令得，故A正确.

令得，故C正确.

故选:AC

二、达标训练

1、名女生、4名男生排成一排，则2名女生不相邻的排法有(    )种.

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】

由题意，可先排男生，再插入女生，可得两名女生不相邻的排法共有，故B正确；

也可先进行全排列，则2名女生相邻情况为，则2名女生不相邻的排法有，故C正确；

故选：BC.

2、(1＋ax＋by)n的展开式中不含y的项的系数的绝对值的和为32，则a，n的值可能为(    )

A．a=2，n=5 B．a=1，n=6 C．a=－1，n=5 D．a=1，n=5

【答案】CD

【解析】

(1＋ax＋by)n的展开式可以看成n个(1＋ax＋by)，每个(1＋ax＋by)中取1，ax，by之一求得乘积构成的每一项，

 (1＋ax＋by)n的展开式中不含y的项的系数的绝对值的和为32，

即，即，

结合四个选项则a，n的值可能为：a=－1，n=5，或a=1，n=5

故选：CD

3、已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（    ）

A．展开式中奇数项的二项式系数和为256

B．展开式中第6项的系数最大

C．展开式中存在常数项

D．展开式中含项的系数为45

【答案】BCD

【解析】

由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,

又展开式的各项系数之和为1024,即当时,,所以,

所以二项式为,

则二项式系数和为,则奇数项的二项式系数和为,故A错误；

由可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,

因为与的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确；

若展开式中存在常数项,由通项可得,解得,故C正确；

由通项可得,解得,所以系数为,故D正确,

故选: BCD

4、的展开式中各项系数的和为2，则其中正确命题的序号是（    ）

A． B．展开式中含项的系数是-32

C．展开式中含项 D．展开式中常数项为40

【答案】AD

【解析】

因为的展开式中各项系数的和为2，令得，，所以，故A正确.

此时，展开式中的通项为或，令或解得，所以含项的系数是32，故B错误.

令或，都无解，故展开式中不含项，故C错误.   

令或，解得或 ，所以展开式中常数项为40.

故选：AD

5、关于的说法，正确的是(    )

A．展开式中的二项式系数之和为2048

B．展开式中只有第6项的二项式系数最大

C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大

D．展开式中第6项的系数最小

【答案】ACD

【解析】

对于选项A：由二项式系数的性质知，的二项式系数之和为，故选项A正确；

因为的展开式共有项，中间两项的二项式系数最大，即第6项和第7项的二项式系数最大，故选项C正确，选项B错误；

因为展开式中第6项的系数是负数，且绝对值最大，所以展开式中第6项的系数最小，故选项D正确；

故选：ACD
6、在的展开式中，下列说法正确的有（    ）

A．所有项的二项式系数和为64

B．所有项的系数和为0

C．常数项为20

D．二项式系数最大的项为第3项

【答案】AB

【详解】

解：A. 所有项的二项式系数和为，故A正确，

B.令得所有项的系数和为，故B正确，

C.常数项为，故C错误，

D.展开式有7项，二项式系数最大为第4项，故D错误.

7、若，且，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．展开式中二项式系数和为

C．展开式中所有项系数和为

D．

【答案】ACD

【详解】：对于A，令，可得，

即，

即，①

令，得，即，②

由于的展开式中，所以，③

所以①-②-③得：，

而，

所以，解得：，故A正确；

对于B，由于，则，

所以展开式中二项式系数和为，故B错误；

对于C，由于，则的所有项系数为

，故C正确；

对于D，由于，则，

等式两边求导得：，

令，则，故D正确.