2022高考数学一轮复习专题22 利用空间向量研究探索性与最值问题（原卷）

专题22  利用空间向量研究探索性与最值问题

一、题型选讲

题型一 、探索点的位置关系

     此类问题主要考察是否存在点，使满足线线、线面面面的夹角或者距离等问题，解决的关键是假设点存在，然后引入变量把点表示出来，通过题目给出的条件列出方程，解出参数。但要注意参数的范围。

例1、【四川省资阳市2020届高三模拟】如图，在四棱锥中，平面，，，且，.

（1）证明：.

（2）若，试在棱上确定一点，使与平面所成角的正弦值为.

例2、（2020·山东潍坊·高三月考）在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，，为线段的中点，过的平面与线段，分别交于点，．

（1）求证：；

（2）若，是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．

例3、　(探点得角的大小)如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC1上的动点，F是AB的中点，AC＝1，BC＝2，AA1＝4.

(1) 当E是棱CC1的中点时，求证：CF∥平面AEB1；

(2) 在棱CC1上是否存在点E，使得二面角AEB1B的余弦值是？若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由．

题型二、最值问题

    最值问题，要建立目标函数通过基本不等式或者运用导数研究关系式进而求出函数的最值。

 例4、(2020年山东高考卷).如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．

（1）证明：l⊥平面PDC；

（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．

例5、（2020·山东青岛·高三开学考试）如图，正方形和所在平面互相垂直，且边长都是1，，，分别为线段，，上的动点，且，平面，记.

（1）证明：平面；

（2）当的长最小时，求二面角的余弦值.

例6、（2021·潍坊市潍城区教育局高三月考）已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：

（I）证明：平面平面；

（Ⅱ）若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值.

图一

图二

例7、（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）如图正四棱锥，为线段上的一个动点，记二面角为，与平面所成的角为，与所成的角为，则（    ）

A． B． C． D．

二、达标训练

1、（2020届山东省烟台市高三上期末）如图，在正方体中，点在线段上运动，则 （    ）

A．直线平面

B．三棱锥的体积为定值

C．异面直线与所成角的取值范围是

D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为

2、（2020届山东省德州市高三上期末）如图（1），边长为的正方形中，，分别为、上的点，且，现沿把剪切、拼接成如图（2）的图形，再将，，沿，，折起，使、、三点重合于点，如图（3）.

（1）求证：；

（2）求二面角最小时的余弦值.

3、（2019届甘肃省天水市第一中学高三下学期第七次模拟）如图在棱锥中，为矩形，面，

（1）在上是否存在一点，使面，若存在确定点位置，若不存在，请说明理由；

（2）当为中点时，求二面角的余弦值.

4、【2019年高考北京卷理数】如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．

（1）求证：CD⊥平面PAD；

（2）求二面角F–AE–P的余弦值；

（3）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．

5、如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA, OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1.

(1) 设P为AC的中点．在AB上是否存在一点Q，使PQ⊥OA？若存在，计算的值；若不存在，请说明理由．

(2) 求二面角OACB的平面角的余弦值．

6、　(探点得平行关系)已知四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成的角为60°.

(1) 求证：AC⊥平面BDE；

(2) 求二面角FBED的余弦值；

(3) 设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．