2022届新教材北师大版计数原理单元测试含答案9

2022届新教材北师大版  计数原理      单元测试

一、选择题

1、如果一个三位正整数如“”满足且，则称这个三位数为凸数（如120，343，275等），那么所有凸数的个数为（    ）

A．240     B．204    C．729      D．920

2、设，则S等于(    )

A．x4 B．x4+1 C．(x-2)4 D．x4+4

3、将2封信随意投入3个邮箱，不同的投法有（   ）

A．3种 B．6种 C．8种 D．9种

4、将甲，乙，丙3本不同的书籍放到6个书柜里，每个书柜最多放2本书，那么不同的放法有（   ）

A．150种     B．180种    C．210种    D．240种

5、由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（  ）

A. 72    B. 96    C. 108    D. 144

6、以集合的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：(1)空集和都要选出；(2)对选出的任意两个子集和，必有或，则不同的选法数为（  ）

A．12         B．16          C．24           D．36

7、若(2＋x)10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a10(x＋1)10，则a9＝(　　)

A．9       B．10 

C．20       D．120

8、用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（ ）个数．

 A．6    B．9   C．10    D．8

9、已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各选一个数作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第三、四象限内不同点的个数为(　　)

A． 18个    B． 10个    C． 16个    D． 14个

10、的展开式中项的系数为（    ）

A． B．

C． D．

11、现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 （　　）

A.144种 B.72种 C.64种 D.84种

12、某化工厂在定期检修设备时发现生产管道中共有5处阀门（）发生有害气体泄漏.每处阀门在每小时内有害气体的泄露量大体相等，约为0.01立方米.阀门的修复工作可在不停产的情况下实施.由于各阀门所处的位置不同，因此修复所需的时间不同，且修复时必须遵从一定的顺序关系，具体情况如下表：

在只有一个阀门修复设备的情况下，合理安排修复顺序，泄露的有害气体总量最小为（    ）

A．1.14立方米 B．1.07立方米 C．1.04立方米 D．0.39立方米

二、填空题

13、某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3次，问此人的走法可有________种．

14、若不等式组的整数解的解集为，则适合这个不等式组的整数、的所有有序数对的个数是_______

15、某校选定甲、乙、丙、丁、戊共名教师去个边远学校支教，每学校至少人，其中甲和乙必须在同一学校，甲和丙一定在不同学校，则不同的选派方案共有__________种．

16、今年暑假，小明一家准备从城到城自驾游，他规划了一个路线时间图，箭头上的数字表示所需的时间（单位：小时），那么从城到城所需的最短时间为__________小时．

三、解答题

17、（本小题满分10分）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数是多少？

18、（本小题满分12分）一个正方形花圃，被分为n（）份，种植红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花。

（1）如图1，正方形被分为3份A、B、C，有多少种不同的种植方法？

（2）如图2，正方形被分为4份A、B、C、D，有多少种不同的种植方法？

（3）如图3，正方形被分为5份A、B、C、D、E，有多少种不同的种植方法？

19、（本小题满分12分）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有多少种？

参考答案

1、答案A

解析可根据中间数进行分类，中间数依次可为2，3，4，5，6，7，8，9，然后确定百位和个位，共有．故选B．

考点：分类与分步计数原理．

名师点睛在解决综合问题时，可能同时应用两个计数原理，即分类的方法可能要运用分步完成，分步的方法可能会采取分类的思想求．分清完成该事情是分类还是分步，“类”间互相独立，“步”间互相联系．

2、答案A

解析

3、答案D

解析确定每封信的投法种数，根据分步乘法计数原理得到结果.

详解

每封信都有种选择，则投法共有种

本题正确选项：

点睛

本题考查分步乘法计数原理的应用，属于基础题.

4、答案C

解析将甲，乙，丙共本不同的书放到个书柜里面，每本书都有种放法，根据乘法原理可得不同放法为种，其中每个书柜放本，有个不同的方法，故每个书柜最多放本，则不同的放法种数是.

考点：分步乘法计数原理.

5、答案C

解析依题意可知个位的选择有2,4,6三种选法，

第一种情况，5在十位上，此时有种排法；

第二种情况，5在百位上，此时有种排法；

第三种情况，5在千位上，此时有种排法；

第四种情况，5在万位上，此时有种排法；

第五种情况，5在十万位上，此时组合数有种排法；

所以由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是36+12+12+12+36="108" 个。

考点：本小题主要考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用.

6、答案D

解析的子集共有16个，按元素个数不同分为5组：组0个元素：空集；组1个元素：；组2个元素：；组3个元素：；组4个元素：.根据条件1，组，组必选，还有2个，如果要满足条件2，剩下的2个必不能在同一组中.必在组，组，组.分3种情况：在组和组中选共有种；在和组中选共种；在和组中选共种，合计：

考点：排列组合的综合应用

7、答案B

解析由题意a9＝C＝10，故选B.

8、答案C

解析由题意知本题是一个分类计数问题，

首位是1，第二位是0，则后三位可以用剩下的数字全排列，共有A33=6个，

前两位是12，第三位是0，后两位可以用余下的两个数字进行全排列．共有A22=2种结果，

前三位是123.第四位是0，最后一位是4，只有1种结果，

∴数字12340前面有6+2+1=9个数字，数字本身就是第十个数字，

考点：计数原理的应用．

9、答案B

解析第三、四象限内点的纵坐标为负值，横坐标无限制，分两种情况讨论，然后根据分类加法计数原理即可得到结果

详解

第三、四象限内点的纵坐标为负值，横坐标无限制

分两种情况讨论，

第一种：取中的点作横坐标，取中的点作纵坐标，共有种

第二种：取中的点作横坐标，取中的点作纵坐标，共有种

综上所述共有种

故选

点睛

本题主要考查了分类加法计数原理，结合点坐标的特征来求解，属于基础题。

10、答案A

解析将化简为:,写出二项展开式的通项公式,即可求得答案.

详解

二项展开式的通项公式

中不含项,无需求解.

中含项,即当时

中含项,即当时

的展开式中项

故选:A.

点睛

本题考查求二项式展开式中常数项,解题关键是掌握二项展开式的通项公式,考查分析能力和计算能力,属基础题.

11、答案D

详解

根据分步计数原理知共有4×3×（3+2×2）=84种结果，故选：D

点睛

在解决计数问题时，首先要仔细分析——需要分类还是分步，分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”。

12、答案C

解析先确定有要求三个阀门的先后顺序必须是，要使泄露的有害气体总量最小，修复时间长的因尽量靠后，确定修复顺序为，然后计算每个阀门泄露有害气体的时间，计算出泄露的有害气体总量最小值.

详解：由表知，根据需先修复好的阀门的要求，可确定顺序无要求，其中三个阀门的先后顺序必须是，要使泄露的有害气体总量最小，修复时间长的因尽量靠后，

故修复顺序为，

则各阀门泄露有害气体的时间分别为小时，

泄露有害气体的时间共小时，

故泄露的有害气体总量最小为立方米，

故选：C

点睛

本题是实际应用问题的最优化问题，理解题意是解决问题的关键，属于中档题.

13、答案7

解析由某人从甲地到乙地的方式，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，即可求解。

详解

由题意，可知某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法可有4＋3＝7(种)．

点睛

本题主要考查了分类计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理应用分类计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。

14、答案72

解析解不等式可得，整数解的解集为，所以a可取9个整数，b可取8个数，根据分步计数原理，可知的个数为，填72.

15、答案

解析运用分步计数原理分析求解：第一步考虑甲乙两名教师，在三个学校中任取一个有3种可能；第二步考虑丙，该教师只能在剩下的两所学校任选一个，有2种选择；第三步考虑剩下的丁戊两名教师，此时又有两类：其一是两个都到除甲乙、丙去的学校之外的那个学校有1种可能，另外一个有两种可能，其二是其中一个到剩下那个学校，另一个到另外的三个学校中的一个，有三种可能，依据分步计数原理可得所有选派方案是，应填答案。

16、答案10

解析 由题意得，小明从城到城，

可经过路径分别为：①，共用小时；

②，共用小时；

③，共用小时；

④，共用小时,

所以小明从城到城所需的最短时间为个小时.

17、答案如图所示，由题设四棱锥S—ABCD的顶点S、A、B所染色互不相同，它们共有5×4×3=60（种）染色方法．当S、A、B已染好时，不妨设其颜色分别为1，2，3；若C染颜色2，则D可染颜色3，4，5之一，有3种染法；若C染颜色4，则D可染颜色3或5；有2种染法；若C染颜色5，则D可染颜色3或4，也有2种染法．可见，当S、A、B已染好时，C与D还有7种染法．从而总的染色方法为60×7=420（种）．

解析本题可以从颜色的种类进行分类：

 （1）涂五色：5×4×3×2×1=120种；

 （2）涂四色，有两个顶点涂同一种颜色（B、D）或（A、C），有5×4×3×2×2=240种；

 （3）涂三色，将A与C，B与D分别涂同一色有5×4×3=60；

 由分类计数原理可知共有涂色方法120＋240＋60=420（种）．

18、答案（1）24（2）48（3）96

试题解析：（1）共24种。图1，运用分步种植的方法，先对A部分种植，有4种不同的种植方法；再对B部分种植，有3种不同的种植方法；最后对C部分种植，有2种不同的种植方法，共4×3×2=24种。

（2）共84种。图2，先对A部分种植，有4种不同的种植方法；再对B部分种植，有3种不同的种植方法；对C种植进行分类：若与B相同，D有3种不同的种植方法，共有4×3×1×3=36种种植方法，若与B不同，C有2种不同的种植方法，D有2种不同的种植方法，共有4×3×2×2=48。

共有36+38=84种不同的种植方法。

（3）共96种。图3，先对A部分种植，有4种不同的种植方法；再对B部分种植，有3种不同的种植方法；对C种植进行分类：若与B相同，D有2种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有4×3×1×2×2=48种种植方法，若与B不同，C有2种不同的种植方法，D有1种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有4×3×2×1×2=48。

共有48+48=96种不同的种植方法。

考点：1.分步计数原理；2.分情况讨论

解析

19、答案甲排周一时，乙有4种排法，丙则有3种排法，共有4×3＝12(种)；

甲排周二时，乙有3种排法，丙有2种排法，共3×2＝6(种)；

甲排周三时，乙有2种排法，丙有1种排法，共2×1＝2(种)．

由分类计数原理得：共有12＋6＋2＝20(种)．

解析