2022高考数学一轮复习专题02 比较大小常见题型的研究（解析卷）

专题02  比较大小常见题型的研究

一、题型选讲

题型一 、运用不等式的性质

此类问题考查了不等式的性质：(1)a－b＞0⇔a＞b.(2)a－b＝0⇔a＝b.(3)a－b＜0⇔a＜b.(4)对称性：a>b⇔b<a；(5)传递性：a>b，b>c⇒ac；　　(6)可加性：a>b⇔a＋cb＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(7)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc; a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；c<0时应变号．(8)可乘方性：a>b>0⇒anbn(n∈N，n≥1)；(9)可开方性：a>b>0⇒ (n∈N，n≥2)．

例1、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知均为实数，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若则

D．若则

【答案】BC

【解析】若，，则，故A错；

若，，则，化简得，故B对；

若，则，又，则，故C对；

若，，，，则，，，故D错；

故选：BC．

例2、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设，，则下列不等式中恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【解析】当，满足条件．但不成立，故A错误，
当时，，故B错误，
，，则，故C正确，
，，故D正确.
故选：CD．

题型二、运用函数的单调性

比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式．

例3、（2017年高考天津卷理数）已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以当时，，

从而是上的偶函数，且在上是增函数，，，

又，则，

所以，，

所以，故选C．

例4、（2020届北京市陈经纶中学高三上学期10月月考）已知，令，，，那么之间的大小关系为(  )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，则，为单调递减函数，所以。

因为，且，在为单调递增函数，所以在为单调递增函数，所以

因为，为单调递增函数，所以，即，所以，故选A

例5、（北京市海淀区2019-2020学年高三上学期期末数学试题）已知、，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】对于A选项，取，，则成立，但，A选项错误；

对于B选项，取，，则成立，但，即，B选项错误；

对于C选项，由于指数函数在上单调递减，若，则，C选项正确；

对于D选项，取，，则，但，D选项错误.

故选：C.

题型三、引入中介“桥梁”

此类问题往往涉及到指对数有关的比较大小，由于不同底无法根据单调性等比较大小，但是可以判断此数与1或者0的大小，进而确定这些数的大小。

例6、（2020年天津卷）设，则的大小关系为（    ）

A.     B.       C   .      D.

【答案】D

【解析】因为，

，

，

所以.

故选：D.

题型四 、与基本不等式结合

涉及的知识点是通过基本不等式求出因式的最值或者证明不等式是否成立。要特别注意基本不等式成立的条件。

例7、（2020届北京市顺义区高三上学期期末数学试题）若，则下列不等式一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为：

对于A：当,所以,故A错误；

对于B：因为,所以,故B错误；

对于C：因为,所以,故C错误；

对于D：因为,所以,

又因为,则,故不取等,即,故D正确；

故选：D

例8、（2020·浙江温州中学高三3月月考）若，下列等式不可能成立有（    ）个.

（1）

（2）

（3）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】对于：当a，b异号时，，当a，b同号时，，故不可能成立．

对于：若，，则，

当时，；化为：，看作是点到直线的距离为1，可能成立；

对于：，

，令，，

所以，不可能成立．

故选：C．

二、达标训练

1、（2019年高考全国II卷理数）若a>b，则

A．ln(a−b)>0 B．3a<3b

C．a3−b3>0 D．│a│>│b│

【答案】C

【解析】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．

2、（2018年高考全国III卷理数）设，，则

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】∵，，，，

,即，又，，即，故选B.

3、（2017年高考山东卷理数）若，且，则下列不等式成立的是

A．               B．

C．              D．

【答案】B

【解析】因为，且，所以

 ，所以选B.

【名师点睛】

4、（2020届山东省潍坊市高三上期中）若，则下列不等式中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】对A，由指数函数的单调性可知，当，有，故A 正确；

对B，当时，不成立，故B错误；

对C，当时，不成立，故C错误；

对D，成立，从而有成立，故D正确；

故选：AD.

5、（2020届山东省九校高三上学期联考）下列结论正确的是（    ）

A．， B．若，则

C．若，则 D．若，，，则

【答案】BD

【解析】当时，为负数，所以A不正确；

若，则，考虑函数在R上单调递增，

所以，即，所以B正确；

若，则，，所以C不正确；

若，，，根据基本不等式有

所以D正确.

故选：BD

6、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）已知，给出下列命题：

①若，则；    ②若，则；

③若，则；    ④若，则.

其中真命题的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】①若，

则，

所以，

所以，即①错误；

若，

则，

即，

因为，

所以，

所以，

所以，即，所以②正确；

若，

则，

因为，所以，

所以，即③正确；

④取，，满足，

但，所以④错误；

所以真命题有②③，

故选：B．

7、（2020届北京市顺义区高三上学期期末数学试题）若，则下列不等式一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为：

对于A：当,所以,故A错误；

对于B：因为,所以,故B错误；

对于C：因为,所以,故C错误；

对于D：因为,所以,

又因为,则,故不取等,即,故D正确；

故选：D

8、（2020届北京市中国人民大学附属中学高三上学期期中）若，则下列结论一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】对于A选项，由于在上递减，而，故，所以A选项错误.

对于B选项，由于可能是负数，故B选项错误.

对于C选项，由于，故成立，所以C选项正确.

对于D选项，当时，，但，所以D选项错误.

综上所述，结论一定成立的是C选项.

故选：C.

9、（北京市海淀区2019-2020学年期中）设，若，，，则下列关系式中正确的是

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

，，，函数在上单调递增，因为，所以，所以，故选C．

10、（北京市西城区2019-2020学年高三上学期期末数学试题）设,且则下列不等式中一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】对A，若，则，错误；

对B，当时，取，根据对数函数的单调性可知，，错误；

对C，因为，所以，根据指数函数的单调性可知，，正确；

对D，当时，取，，错误．

故选：C．

11、（2020届湖南省长郡中学高三下学期第二次适应性考试数学(理)试题）已知，，设，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】∵a＞b＞0，，

∴可得，且a＞1＞b＞0，

∴，

，

，

又，

，单调递增，

，

∴，

∴，

∵，，，

根据对数函数性质可得，

∴．

故选B

12、（2020北京人大附中4月质检）6.设为非零实数，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】，故，，故正确；

取，计算知错误；

故选：.