备战2024年高考数学第一轮题型归纳与解题重难点01 比较大小12种常见考法归类（原卷版+解析）

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这是一份备战2024年高考数学第一轮题型归纳与解题重难点01 比较大小12种常见考法归类（原卷版+解析），共46页。试卷主要包含了指数函数性质法，对数函数性质法，幂函数性质法，函数的单调性法，作差法，作商法，图象法，借助中间值法等内容，欢迎下载使用。

纵观近几年的高考，比较大小问题已从单一的知识考查，过渡到多知识融合的综合性考查，求解方法也从常规的作差法和作商法，过渡到借助函数、不等式和导数等知识进行知识和技巧的双重运用.该类型问题综合性很强，旨在考查学生的转化能力、推理能力和计算求解能力等，涉及化归与转化思想，渗透直观想象和数学运算素养等.
考点一指数函数性质法
1．（2023·全国·高三专题练习）已知a＝，b＝，c＝，则下列关系式中正确的是( )
A．cC．a2．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知，，，则（）
A．B．C．D．
3．（2023秋·重庆铜梁·高三校联考期末）设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（）
A．B．
C．D．
考点二对数函数性质法
4．（2023秋·天津滨海新·高三校考期中）已知，，，则、、的大小关系为（）
A．B．
C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（）
A．B．
C．D．
6．（2023春·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考开学考试）已知，，，则、、这三个数的大小关系为（）
A．B．C．D．
考点三幂函数性质法
7．（2023秋·福建南平·高三统考期中）下列比较大小中正确的是（）
A．B．
C．D．
8．（2023秋·浙江杭州·高三杭州四中校考期中）已知，则（）
A．B．C．D．
9．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模）已知，，，则（）
A．B．C．D．
考点四函数的单调性法
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为R上的偶函数，对任意不相等的，均有成立，若，则a，b，c的大小关系是（）
A．B．C．D．
11．（2023秋·福建厦门·高三厦门市湖滨中学校考期中）已知函数为上的偶函数，对任意，均有成立，若，则的大小关系是（）
A．B．
C．D．
12．（2023春·四川广安·高三四川省广安代市中学校校考阶段练习）已知函数是上的奇函数，且对任意，都有．若，则的大小关系为（）
A．B．C．D．
13．（2023秋·安徽·高三安徽师范大学附属中学校考期末）已知函数是上的奇函数，对任意的，，设，则a，b，c的大小关系是（）
A．B．C．D．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在R上的函数，且满足其中是的导函数，设，，，的大小关系是．
15．（2023·河北张家口·统考三模）已知函数，若，则（）
A．B．
C．D．
考点五作差法
16．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）如果，那么下列不等式中正确的是（）
A．B．
C．D．
17．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知正数满足，则下列说法正确的是（）
A．B．
C．D．
18．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知，，，则下列判断正确的是（）
A．B．
C．D．
考点六作商法
19．（2023·高三单元测试）设，，为正数，且，则( )
A．B．
C．D．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知、、，且，则（）
A．B．C．D．
21．（2023·青海西宁·统考三模）已知，，，则正数，，的大小关系为（）
A．B．C．D．
22．（2023·山西晋城·校联考一模）若实数，，满足，，，则（）
A．B．C．D．
考点七图象法
23．（2023秋·辽宁·高三统考期末）设a，b，c均为正数，且2a=，，，则
A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c
24．（2023·山西·统考二模）、、依次表示函数的零点，则、、的大小顺序为（）
A．B．C．D．
25．（2023·全国·高三专题练习）设、、依次表示函数，，的零点，则、、的大小关系为（）
A．B．C．D．
26．（2023·天津和平·统考三模）已知满足，则的大小关系为（）
A．B．
C．D．
考点八借助中间值法
27．（2023春·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考期末）已知，则
A．B．C．D．
28．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知，则的大小关系为（）
A．B．
C．D．
29．（2023·山东聊城·统考三模）设，，则（）
A．B．
C．D．
30．（2023秋·湖北黄石·高三统考期末）已知，，，则的大小关系为（）
A．B．
C．D．
31．（2023·天津西青·天津市西青区杨柳青第一中学校考模拟预测）已知，，，则下列判断正确的是（）
A．B．C．D．
32．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）已知，，，则（）
A．B．C．D．
33．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知，，，则的大小关系是（）
A．B．
C．D．
考点九利用基本不等式法
34．【多选】（2023·湖南娄底·娄底市第三中学校联考三模）已知，且，则（）
A．B．C．D．
35．【多选】（2023春·湖南长沙·高三湘府中学校考期末）已知，，且，则（）
A．B．
C．D．
36．（2023·云南昆明·高三昆明市第一中学西山学校校考阶段练习）已知，，设，则（）
A．B．C．D．
37．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为
A．B．
C．D．
38．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知实数，，，则的大小关系为（）
A．B．C．D．
考点十特殊值法
39．【多选】（2023秋·湖南益阳·高三统考期末）下列命题正确的是（）
A．若，则
B．若，则
C．若，且，则
D．若，则
40．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）实数a，b满足，则下列不等式成立的是（）
A．B．
C．D．
考点十一构造函数法
41．（2023秋·高三课时练习）若，则（）
A．B．C．D．
42．（2023春·河北衡水·高三河北武强中学校考期末）若，则（）
A．B．C．D．
43．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则、、的大小关系为（）
A．B．
C．D．
44．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（）
A．B．C．D．
45．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则（）
A．B．C．D．
46．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（）
A．B．C．D．
47．（2023·河南开封·校考模拟预测）若，则的大小关系为（）
A．B．
C．D．
48．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知，则（）
A．B．
C．D．
49．（2023·广西·校联考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（）
A．B．C．D．
50．（2023·全国·校联考二模）已知，则（）
A．B．
C．D．
51．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）已知，，，则（）
A．B．C．D．
52．（2023·全国·高三专题练习）设，，．则（）
A．B．C．D．
53．（2023·湖北武汉·统考三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（）
A．B．
C．D．
54．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）设，，，则（）
A．B．C．D．
考点十二切线放缩法
55．（2023·青海玉树·校考模拟预测）设，则（）
A．B．C．D．
56．（2023·全国·模拟预测）已知，，，试比较a，b，c的大小关系为（）
A．B．
C．D．
重难点01 比较大小12种常见考法归类
方法一：根据指数函数、对数函数、幂函数的性质及函数单调性比较大小
指数函数性质法
对于指数函数，当时，在R上单调递减;当时在R上单调递增
对数函数性质法
对于对数函数，当时，在R上单调递减;当时在R上单调递增
注：（1）在判断对数值正负的过程中,有时会用到如下结论:lgab的正负由a,b共同决定,若a,b都在区间(0,1)或(1,+∞)上,则对数值为正,否则为负.
（2）指数、对数大小比较，先研究底数，若同底，则直接利用它们的单调性比较；若不同底，先用换底公式换成同底，再结合单调性比较。但对数还有一种情形，就是底数不同，但真数相同，这便再分真数大于1和真数小于1的情况得到结果。
幂函数性质法
当时，幂函数在上单调递增;当时，幂函数在上单调递减
注：遇到同底或同幂类型的大小比较，要先分清是指数函数还是幂函数，然后再利用单调性进行大小比较。
函数单调性法
若 x1,x2∈I,fx1−fx2x1−x2<0⇔x1− x2fx1−fx2<0⇔f(x) 在I上单调递减; fx1−fx2x1−x2>0⇔x1−x2fx1−fx2> 0⇔f(x) 在I上单调递增.
方法二：作差法
比较式 M 和式 N,若 M−N> 0 , 则 M>N; 若 M−N<0, 则 M方法三：作商法
对于正数 a,b, 若 ab>1, 则 a> b; 若 ab<1, 则 a方法四：图象法
准确作出函数图像，结合函数的性质得出结论
方法五：借用中间值法
0-1分布
指寻找中间变量 0,1 ，借助中间量进行大小关系的判定
特殊值二分法（中间值等）
在指数幂和对数值的比较大小过程中涉及中间值的过渡,难度略大.一方面运用公式mnlgab=lgabmn=lganbm进行化简,另一方面用到中间值1,32,54作为桥梁,实现过渡.从学生的层面考虑,他们不容易想到中间值32和54,要求学生具备扎实的基础、严密的化简运算能力和严谨的逻辑推理能力.
其他特殊值
熟记以下三个数:，，，,，，当题目出现与之有关的式子时,可通过其对应的值或者对数运算法则进行大小比较
方法六：利用基本不等式
基本不等式在试题中的主要作用往往涉及最值的求解.一般地,利用不等式x+y⩾2xy(当且仅当x=y时,等号成立)求最小值;利用不等式xy⩽x+y22(当且仅当x=y时,等号成立)求最大值.在比较大小过程中,求解对数的运算以及基本不等式的综合试题的关键在于熟练运用运算的技巧以及相关性质.
方法七：特殊值法
特殊值法是指依据题目所给未知量取值范围，取定某个特殊值进行选项判断
方法八：构造函数法
作差或作商构造
构造函数法(导数法)是解决这类问题的普适方法.可以考虑将两个需要比较大小的数进行作差或作商进行函数的构造，必要时还需要找到其等价的表示形式.
利用不等式构造函数
对于题干给出不等式寻找某些量与0的大小关系的题型，往往需要统一变量将不等号两边化为一致的结构以构造函数，利用函数的单调性找出不等式中所涉及变量的大小关系，从而判断所给量与0的大小关系.
利用等量关系构造函数
对于题干给出等量关系寻找大小关系这类题型,通常是通过统一等式两边的某些量(比如: 对数函数统一底数)从而构造函数将等式两边不同的量视为自变量的不同取值然后通过研究函数的单调性得到其大小关系
寻找共性巧设函数
对于给出需要比较的各个量的式子这类题型，一般的做法是利用作差法与0作比较，但由于结果的正负难以直接判断，因此通常可以用它们的某个“共性”来进行函数构造，将这个“共性”视为自变量，通过讨论出函数的单调性，再得到“共性”对应函数值的正负，即可得到所求量的大小关系.
方法九：切线放缩法
切线放缩法是指利用切线不等式对已知条件进行放缩,进而比较大小.
方法十：待定系数法
用待定系数法确定函数解析式，将未知部分试用最简单的一次函数代换,将有根号的部分用二次函数代换，从而确定函数解析式,最后利用函数的单调性解决比较大小的问题
纵观近几年的高考，比较大小问题已从单一的知识考查，过渡到多知识融合的综合性考查，求解方法也从常规的作差法和作商法，过渡到借助函数、不等式和导数等知识进行知识和技巧的双重运用.该类型问题综合性很强，旨在考查学生的转化能力、推理能力和计算求解能力等，涉及化归与转化思想，渗透直观想象和数学运算素养等.
考点一指数函数性质法
1．（2023·全国·高三专题练习）已知a＝，b＝，c＝，则下列关系式中正确的是( )
A．cC．a【答案】B
【分析】将b改写成，利用指数函数的单调性即可得出答案.
【详解】把b化简为b＝，而函数y＝在R上为减函数，，所以<<，即b【点睛】本题考查了指数函数单调性的应用，对于指数函数y=ax （a>0且a≠1），当02．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知，，，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用对数换底公式及对数运算性质变形，再利用对数函数和指数函数的单调性即得.
【详解】依题意，，，
显然函数在上单调递增，而，即，
又在R上单调递增，于是得，即，
所以有.
故选：D
3．（2023秋·重庆铜梁·高三校联考期末）设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，可以求得函数的对称轴，利用对称轴将转化到已知条件所给的区间里面，在利用函数的单调性进行比较大小即可.
【详解】由题可知图像关于和对称
当时，为增函数，可得，
由于即∴，即
故选：B
考点二对数函数性质法
4．（2023秋·天津滨海新·高三校考期中）已知，，，则、、的大小关系为（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先化简对数式，再以对数函数单调性进行大小比较即可.
【详解】，，
由为上增函数，可知
即
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先把a、b、c化为“同构”形式，利用函数的单调性判断大小.
【详解】∵，
∴，
因为为增函数，所以，
所以.
故选：B
【点睛】指、对数比较大小：
（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；
（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.
6．（2023春·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考开学考试）已知，，，则、、这三个数的大小关系为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用对数函数的单调性及对数运算法则，结合换底公式与基本不等式即可判断得、、的大小.
【详解】因为，所以，即，
因为，
所以，
综上：.
故选：C.
考点三幂函数性质法
7．（2023秋·福建南平·高三统考期中）下列比较大小中正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用函数的单调性进行判断即可.
【详解】解：对于A选项，因为在上单调递增，所以，故A错误，
对于B选项，因为在上单调递减，所以，故B错误，
对于C选项，为奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增，
因为，又，
所以，故C正确，
对于D选项，在上是递增函数，
又，所以，所以，故D错误.
故选：C.
8．（2023秋·浙江杭州·高三杭州四中校考期中）已知，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合指对幂函数的单调性得.
【详解】，故.
故选：C
9．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模）已知，，，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】注意到，，后利用指数函数，幂函数单调性可比较大小.
【详解】因函数在上单调递增，在上单调递减，则，，.
又函数在上单调递增，则，又，则.
综上，.
故选：A
考点四函数的单调性法
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为R上的偶函数，对任意不相等的，均有成立，若，则a，b，c的大小关系是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题设恒成立可得在为减函数，结合偶函数性质则在为增函数，由对数函数单调性可判断，即可根据单调性得a，b，c的大小关系.
【详解】∵对任意不等，，均有成立，∴此时函数在区间上为减函数，又∵是偶函数，∴当时，为增函数．
由，，
所以，所以，即.
故选：D．
11．（2023秋·福建厦门·高三厦门市湖滨中学校考期中）已知函数为上的偶函数，对任意，均有成立，若，则的大小关系是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题知函数在上单调递增，，再结合可得答案.
【详解】解：因为对任意，均有成立，
所以函数在上单调递减，
因为函数为上的偶函数，
所以，函数在上单调递增，
因为，，
所以，
所以，即.
故选：C
12．（2023春·四川广安·高三四川省广安代市中学校校考阶段练习）已知函数是上的奇函数，且对任意，都有．若，则的大小关系为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函数单调性的定义可知函数在上单调递减，再由奇函数的性质可得函数在上单调递减，结合即可得解.
【详解】对任意，都有，
对任意，都有，
函数在上单调递减，
又函数是上的奇函数，函数在上单调递减，
又，
即.
故选：A.
【点睛】本题考查了函数单调性、奇偶性的应用，考查了对数式的大小比较，属于中档题.
13．（2023秋·安徽·高三安徽师范大学附属中学校考期末）已知函数是上的奇函数，对任意的，，设，则a，b，c的大小关系是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】确定数在上单调递增，是上的偶数，变换得到，，，根据单调性得到答案.
【详解】，即，
故函数在上单调递增，是上的奇函数，
故是上的偶数，
，，.
，故.
故选：A
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在R上的函数，且满足其中是的导函数，设，，，的大小关系是．
【答案】
【分析】根据题意构造函数，再利用导数得到函数的单调性即可比较大小．
【详解】令，，所以在R上为增函数，
因为，所以，
即，所以，
故答案为：．
15．（2023·河北张家口·统考三模）已知函数，若，则（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用导数得在上为减函数，在上为增函数，由可得，利用恒成立，得，再根据可得.
【详解】的定义域为，，
令，得，令，得，
所以在上为减函数，在上为增函数，
因为，所以，所以，即.
因为
，
所以，
所以，
因为，所以，
又因为在上为增函数，所以，即，
所以，
综上所述：.
故选：B
【点睛】关键点点睛：推出恒成立，得是解题关键.
考点五作差法
16．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）如果，那么下列不等式中正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据，结合不等式的基本性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，若，则，故A不正确；
对于B中，当时，无意义，故B不正确；
对于C中，，由，可得，
但不确定，所以与无法确定大小关系，故C不正确；
对于D中，，由，可得，且，
所以，所以，故D正确.
故选：D.
17．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知正数满足，则下列说法正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】设，可得，，；根据对数运算法则和换底公式可表示出和，根据对数函数单调性可确定结果.
【详解】为正数，可设，则，，；
对于AB，，
，，又，，A正确，B错误；
对于CD，，
，，又，，C错误，D正确.
故选：AD.
18．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知，，，则下列判断正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将分别与、、比较大小即可得出判断.
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，则．
∵，
∴，
，，则，
∵，∴，则，故．
故选：C．
考点六作商法
19．（2023·高三单元测试）设，，为正数，且，则( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】令，将x、y、z表示为对数，利用作商的方法可判断大小．
【详解】令，则，，，
∴，则，
，则．
故选：A．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知、、，且，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】利用对数的作商法结合对数函数的单调性可得出、、的大小关系.
【详解】，得；由，得.
从而可得.
故选：D.
21．（2023·青海西宁·统考三模）已知，，，则正数，，的大小关系为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知求出m，n，p，再借助商值比较法及“媒介”数推理判断作答.
【详解】由，得，由，得，
因此，，即，
由，得，于是得，
所以正数，，的大小关系为.
故选：A
22．（2023·山西晋城·校联考一模）若实数，，满足，，，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据作商法比较大小，即可得出结果.
【详解】因为实数，，满足，，，
所以，
∴；
又，
∴；
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查作商法比较大小，属于基础题型.
考点七图象法
23．（2023秋·辽宁·高三统考期末）设a，b，c均为正数，且2a=，，，则
A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c
【答案】A
【详解】试题分析：比较大小可以借助图象进行比较，观察题设中的三个数a，b，c，可以借助函数图象的交点的位置进行比较．
解：分别作出四个函数y=，
y=2x，y=lg2x的图象，观察它们的交点情况．
由图象知：
∴a＜b＜c．
故选A．
考点：对数值大小的比较．
24．（2023·山西·统考二模）、、依次表示函数的零点，则、、的大小顺序为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出函数，的图像，数形结合可得答案.
【详解】由题可知，，，为直线分别与曲线的交点横坐标，从图像可知.
故选：D.
25．（2023·全国·高三专题练习）设、、依次表示函数，，的零点，则、、的大小关系为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别将零点转化为函数的图象与的图象交点的横坐标，结合图象即可得结果.
【详解】依题意可得，,的图象与的图象交点的横坐标为，
作出图象如图：
由图象可知，
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数零点的大小判断，解题时注意函数的零点的灵活运用，考查数形结合的应用，属于中档题.
26．（2023·天津和平·统考三模）已知满足，则的大小关系为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据方程的根、函数的零点与函数图象的交点之间的等价关系，画出相应函数图象即可求解.
【详解】由题意知：把的值看成函数与图像的交点的横坐标，
因为，，易知；
把的值看成函数与图像的交点的横坐标，
，易知；
把的值看成函数与图像的交点的横坐标，
，与，易知.
所以.
故选：B.
考点八借助中间值法
27．（2023春·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考期末）已知，则
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】运用中间量比较，运用中间量比较
【详解】则．故选B．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
28．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知，则的大小关系为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据指数函数、对数函数的性质比较大小.
【详解】因为，
所以，
故选:B.
29．（2023·山东聊城·统考三模）设，，则（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指对幂函数的单调性以及中间值进行比较即可.
【详解】由单调递减可知：.
由单调递增可知：，所以，即，且.
由单调递减可知：，所以.
故选：D
30．（2023秋·湖北黄石·高三统考期末）已知，，，则的大小关系为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】结合指数函数和对数函数单调性，利用临界值即可判断出结果.
【详解】，.
故选：C.
31．（2023·天津西青·天津市西青区杨柳青第一中学校考模拟预测）已知，，，则下列判断正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】，即.
故选：C.
32．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）已知，，，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先判断，再利用指数幂的运算以及正切函数的性质判断，从而可得答案.
【详解】，
，
，
所以，
故选：B.
33．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知，，，则的大小关系是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由，，即可判断出大小．
【详解】，即，
，即，
，即，
所以，
故选：A．
考点九利用基本不等式法
34．【多选】（2023·湖南娄底·娄底市第三中学校联考三模）已知，且，则（）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】利用不等式的性质可判断B的正确，利用对数函数的性质可判断D的正误，利用反例可判断BC的正误.
【详解】因为，且，由基本不等式可得，
故，当且仅当时等号成立，故A成立.
,
当且仅当时等号成立，故C正确.
对于B，取，则，故B错误.
对于D，因为，故，而，故，
故，故D成立，
故选：ACD.
35．【多选】（2023春·湖南长沙·高三湘府中学校考期末）已知，，且，则（）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据基本不等式的性质即可判断A，B正确，根据基本不等式的性质和对数函数的单调性即可判断C错误，利用作差法即可判断D正确.
【详解】对选项A，因为，，且，
所以，当且仅当时，等号成立，故A正确.
对选项B，由A知：，
所以，
当且仅当时，等号成立，故B正确.
对选项C，，
当且仅当时，等号成立，故C错误.
对选项D，因为，，
所以，故D正确.
故选：ABD
36．（2023·云南昆明·高三昆明市第一中学西山学校校考阶段练习）已知，，设，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据指对数的互化结合指数函数的单调性可判断的大小，再根据对数的性质和基本不等式可判断的大小关系，从而可得正确的选项.
【详解】由已知，
∵，
∴，
∵，∴，即，
∵，∴，即，∴，综上.
故选：A.
37．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】先由题，易知，而，再将b，c作商，利用对数的运算以及基本不等式，求得比值与1作比较即可得出答案.
【详解】因为，故

所以，即
故选D
【点睛】本题考查了对数的运算以及基本不等式的综合，解题的关键是在于运算的技巧以及性质，属于中档偏上题型.
38．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知实数，，，则的大小关系为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用对数函数性质证明，利用比商法结合基本不等式比较，结合指数函数性质证明，由此证明，再确定的大小关系.
【详解】因为函数为上的增函数，
所以，
故，即，又，，
故，则，
而，故，
所以，则，
所以，
故选：B．
考点十特殊值法
39．【多选】（2023秋·湖南益阳·高三统考期末）下列命题正确的是（）
A．若，则
B．若，则
C．若，且，则
D．若，则
【答案】BD
【分析】根据特例判断A，由作差法可判断B，由均值不等式可判断CD.
【详解】对A，成立，但不成立，故A错误；
对B，，
而（a,b不同时为零），所以，即，故B正确；
对C, 由均值不等式可得，故不成立，故C错误；
对D, ，，，即，故D正确.
故选：BD
40．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）实数a，b满足，则下列不等式成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】举反例即可判定ABD，由，得出，利用指数函数的性质即可判定C.
【详解】取,满足,但,所以A错误；
取,满足,但，所以B错误；
若，则,,所以C正确；
取,则,所以D错误.
故选:C.
考点十一构造函数法
41．（2023秋·高三课时练习）若，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
42．（2023春·河北衡水·高三河北武强中学校考期末）若，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，利用作差法结合的单调性即可得到答案.
【详解】设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选：B.
【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.
43．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则、、的大小关系为（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可判断、的大小关系，利用作差法结合基本不等式可判断、的大小关系.
【详解】构造函数，其中，则，
所以，函数在上为减函数，
所以，，即，则，
，
因此，.
故选：D.
44．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，则，构造函数，利用的单调性得出；又得，从而得出答案．
【详解】令，则，
设，则，
当时，，所以在上单调递增，故，即；
又因为，所以，
综上，．
故选：D．
45．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，，，考虑构造函数，
利用导数判断函数的单调性，结合单调性比较的大小.
【详解】因为，，，
故设，
则，
求导得，，
令，则，
所以函数在单调递减，
所以，
所以在上恒成立，
所以函数在上单调递减，
因为，所以，
所以，
故选：B.
【点睛】关键点点睛，本题解决的关键在于关键被比较的数的结构特征，构造函数，
研究函数的性质，结合函数性质比较函数值的大小.
46．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当
故，故，所以；
设，
，所以在单调递增，
故，所以，
所以，所以，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，故选A
[方法三]：泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.
[方法四]：构造函数
因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
47．（2023·河南开封·校考模拟预测）若，则的大小关系为（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据结构，构造函数，利用导数证明出，利用单调性判断出；令，利用单调性判断出，即可得到答案.
【详解】记，因为，
令，解得；令，解得；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
所以，
因为，所以，即；
令，，
所以在单调递增，，
所以当时，，即，
所以，
又，，所以.
故.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题考查比较大小，解答的关键是结合式子的特征，合理构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可判断.
48．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知，则（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由已知结合式子特点合理构造函数，结合导数与单调性的关系分别证出，，然后进行赋值即可比较函数值的大小.
【详解】令，则，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
故，所以，当时取等号.
所以，
令，则，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
故，所以，当时取等号.
所以，即.
故选：C.
49．（2023·广西·校联考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由指数幂的运算性质得到，得到，构造函数，利用导数取得函数得到单调性，得到，得到，结合，得到，即可求解.
【详解】由指数幂的运算公式，可得，所以，
构造函数，其中，则，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故，故，当且仅当时取等号，
由于，则，则，所以，所以，所以.
故选：C.
50．（2023·全国·校联考二模）已知，则（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由，构造函数，通过求导讨论的单调性，再构造函数，通过求导讨论的单调性，得到，从而得到，从而判断出；再由，，求出，比较和的大小，从而判断出，即可得到.
【详解】因为，，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
即，，即
所以，所以；
由，得，
由，得，
所以，
因为，
所以，所以，
所以，即，所以，
综上所述.
故选：A
51．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）已知，，，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用常见放缩，构造函数，判断出，然后利用构造从而判断即可.
【详解】
令，则，
当时, ，所以在上单调递增，
，
；
，
易知
，
.
故选：D.
52．（2023·全国·高三专题练习）设，，．则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0所以在上单调递增，
所以，即，即；
令，则，，
由于，在x>0时，，
所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b综上，，
故选：B.
[方法二]：
令
，即函数在（1，+∞)上单调递减
令
，即函数在（1，3)上单调递增
综上，，
故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
53．（2023·湖北武汉·统考三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，对求导，得到的单调性的最值，结合对数函数和三角函数的性质，即可证明，再证明，令，通过指数和对数函数的运算性质可证明，即可得出答案.
【详解】设，，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
，
又，则，
，所以，
对于，令，则，
此时，
所以.
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：
（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，
（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，
（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.
54．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）设，，，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，利用导数说明函数的单调性，即可得到，即，再令，利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而得解.
【详解】设，
则，
令，则，
所以当时，故在上单调递减，又，
所以当时，所以在上单调递减，又，
则，即，所以，即，
令，则，
所以当时，即在上单调递增，
所以，即，即，即，
综上可得.
故选：C
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是构造函数、，利用导数说明函数的单调性，即可比较函数值的大小.
考点十二切线放缩法
55．（2023·青海玉树·校考模拟预测）设，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解：，，，
① ，
令
则，
故在上单调递减，
可得，即，所以；
② ，
令
则，
令，所以，
所以在上单调递增，可得，即，
所以在上单调递增，可得，即，所以
故
56．（2023·全国·模拟预测）已知，，，试比较a，b，c的大小关系为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先利用常见的不等式，估计出的范围，精确估计出，然后利用作商法比较大小.
【详解】先证明两个不等式：
（1），设，则
，即在上单调递减，故
，即成立
（2），设，则
，即在上单调递增，故
，即成立
再说明一个基本事实，显然，于是.
由（1）可得，取，可得；
由（2）可得，取，可得，再取，可得，即.
，显然，于是；
，显然，于是.故.
故选：B
方法一：根据指数函数、对数函数、幂函数的性质及函数单调性比较大小
指数函数性质法
对于指数函数，当时，在R上单调递减;当时在R上单调递增
对数函数性质法
对于对数函数，当时，在R上单调递减;当时在R上单调递增
注：（1）在判断对数值正负的过程中,有时会用到如下结论:lgab的正负由a,b共同决定,若a,b都在区间(0,1)或(1,+∞)上,则对数值为正,否则为负.
（2）指数、对数大小比较，先研究底数，若同底，则直接利用它们的单调性比较；若不同底，先用换底公式换成同底，再结合单调性比较。但对数还有一种情形，就是底数不同，但真数相同，这便再分真数大于1和真数小于1的情况得到结果。
幂函数性质法
当时，幂函数在上单调递增;当时，幂函数在上单调递减
注：遇到同底或同幂类型的大小比较，要先分清是指数函数还是幂函数，然后再利用单调性进行大小比较。
函数单调性法
若 x1,x2∈I,fx1−fx2x1−x2<0⇔x1− x2fx1−fx2<0⇔f(x) 在I上单调递减; fx1−fx2x1−x2>0⇔x1−x2fx1−fx2> 0⇔f(x) 在I上单调递增.
方法二：作差法
比较式 M 和式 N,若 M−N> 0 , 则 M>N; 若 M−N<0, 则 M方法三：作商法
对于正数 a,b, 若 ab>1, 则 a> b; 若 ab<1, 则 a方法四：图象法
准确作出函数图像，结合函数的性质得出结论
方法五：借用中间值法
0-1分布
指寻找中间变量 0,1 ，借助中间量进行大小关系的判定
特殊值二分法（中间值等）
在指数幂和对数值的比较大小过程中涉及中间值的过渡,难度略大.一方面运用公式mnlgab=lgabmn=lganbm进行化简,另一方面用到中间值1,32,54作为桥梁,实现过渡.从学生的层面考虑,他们不容易想到中间值32和54,要求学生具备扎实的基础、严密的化简运算能力和严谨的逻辑推理能力.
其他特殊值
熟记以下三个数:，，，,，，当题目出现与之有关的式子时,可通过其对应的值或者对数运算法则进行大小比较
方法六：利用基本不等式
基本不等式在试题中的主要作用往往涉及最值的求解.一般地,利用不等式x+y⩾2xy(当且仅当x=y时,等号成立)求最小值;利用不等式xy⩽x+y22(当且仅当x=y时,等号成立)求最大值.在比较大小过程中,求解对数的运算以及基本不等式的综合试题的关键在于熟练运用运算的技巧以及相关性质.
方法七：特殊值法
特殊值法是指依据题目所给未知量取值范围，取定某个特殊值进行选项判断
方法八：构造函数法
作差或作商构造
构造函数法(导数法)是解决这类问题的普适方法.可以考虑将两个需要比较大小的数进行作差或作商进行函数的构造，必要时还需要找到其等价的表示形式.
利用不等式构造函数
对于题干给出不等式寻找某些量与0的大小关系的题型，往往需要统一变量将不等号两边化为一致的结构以构造函数，利用函数的单调性找出不等式中所涉及变量的大小关系，从而判断所给量与0的大小关系.
利用等量关系构造函数
对于题干给出等量关系寻找大小关系这类题型,通常是通过统一等式两边的某些量(比如: 对数函数统一底数)从而构造函数将等式两边不同的量视为自变量的不同取值然后通过研究函数的单调性得到其大小关系
寻找共性巧设函数
对于给出需要比较的各个量的式子这类题型，一般的做法是利用作差法与0作比较，但由于结果的正负难以直接判断，因此通常可以用它们的某个“共性”来进行函数构造，将这个“共性”视为自变量，通过讨论出函数的单调性，再得到“共性”对应函数值的正负，即可得到所求量的大小关系.
方法九：切线放缩法
切线放缩法是指利用切线不等式对已知条件进行放缩,进而比较大小.
方法十：待定系数法
用待定系数法确定函数解析式，将未知部分试用最简单的一次函数代换,将有根号的部分用二次函数代换，从而确定函数解析式,最后利用函数的单调性解决比较大小的问题