高中北师大版第一章 三角函数综合与测试综合训练题

第二章　§1　

A级　基础巩固

一、选择题

1．下列说法中正确的是(　B　)

A．只有方向相同或相反的向量是平行向量

B．零向量的长度是零

C．长度相等的两个向量是相等的向量

D．共线向量是在一条直线上的向量

[解析]　表示向量的有向线段所在的直线平行或重合，这样的向量都是平行向量．长度和方向都相同的向量才是相等的向量，选项B正确．

2．下列说法正确的是(　C　)

A．若|a|>|b|，则a>b

B．若|a|＝|b|，则a＝b

C．若a＝b，则a与b共线

D．若a≠b，则a一定不与b共线

[解析]　A中，向量的模可以比较大小，因为向量的模是非负实数，虽然|a|>|b|，但a与b的方向不确定，不能说a>b.A不正确；同理B错误；D中，a≠b，a可与b共线，故选C．

3．两列火车从同一站台沿相反方向开走，走了相同的路程．设两列火车的位移向量分别为a和b，那么下列命题错误的是(　D　)

A．a与b为平行向量

B．a与b为模相等的向量

C．a与b为不相等的向量

D．a与b为相等的向量

[解析]　由于a和b的大小相等，方向相反，所以|a|＝|b|，且a∥b.

4．下列命题中正确的个数为(　B　)

①两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同；

②若非零向量与共线，则A、B、C、D四点共线；

③若非零向量a与b共线，则a＝b；

④四边形ABCD是平行四边形，则必有||＝||；

⑤a∥b，则a、b方向相同或相反．

A．0个　　 B．1个　

C．2个　　 D．3个

[解析]　①显然错误；②中与共线，只能说明AB、CD所在直线平行或在一条直线上，所以错；

③a与b共线，说明a与b方向相同或相反，a与b不一定相等，所以③错；

④对；

⑤a可能为零向量，则a∥b，但零向量的方向为任意的，所以⑤错．

5．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法错误的是(　D　)

A．与向量相等的向量只有一个(不含)

B．与向量的模相等的向量有9个(不含)

C．的模恰为的模的倍

D．与不共线

[解析]　由有关概念逐一验证知，选项A，B，C正确．

6．命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”(　C　)

A．恒成立　　 B．当a≠0时成立

C．当b≠0时成立　　 D．当c≠0时成立

二、填空题

7．如图，在平行四边形ABCD中，与共线的向量是__，，__，与相等的向量是____.

8．在四边形ABCD中，＝，且||＝||，则四边形ABCD为__菱形__.

[解析]　∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形．

又∵||＝||，

∴平行四边形ABCD为菱形．

三、解答题

9．如右图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，

(1)写出与、相等的向量；

(2)写出与模相等的向量．

[解析]　(1)与相等的向量为、，与相等的向量为.

(2)，，.

10．如图所示，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝.求证：＝.

[证明]　∵＝，

∴||＝||且AB∥CD.

∴四边形ABCD是平行四边形．

∴||＝||，且DA∥CB.

又∵与方向相同，∴＝.

∵＝，

∴||＝||且CN∥MA.

∴四边形CNAM是平行四边形．

∴||＝||，且CM∥NA.

又与方向相同，

∴＝，∴＝.

B级　素养提升

一、选择题

1．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题错误的是(　B　)

A．CA　　 B．A∩B＝{a}

C．CB　　 D．A∩B{a}

[解析]　因为A∩B是由与a共线且与a的模相等的向量构成的集合，即由与a的模相等且方向相同或相反的向量构成的集合，所以A∩B＝{a}是错误的．

2．下列说法正确的是(　C　)

A．向量与是共线向量，则所在直线平行于所在的直线

B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反

C．向量的长度与向量的长度相等

D．单位向量都相等

[解析]　对于A，考查的是有向线段共线与向量共线的区别．事实上，有向线段共线要求线段必须在同一直线上．而向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一直线上；

对于B，由于零向量与任一向量平行，因此若a，b中有一个为零向量，其方向是不确定的；

对于C；向量与方向相反，但长度相等；

对于D，需要强调的是，单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同．故选C．

3．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为(　C　)

A．平行四边形　　 B．矩形

C．菱形　　 D．等腰梯形

[解析]　由＝⇒BA∥CD且||＝||，又||＝||，故四边形ABCD为菱形.

4．下列说法中错误的是(　C　)

A．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段

B．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量

C．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线

D．方向相反的两个非零向量必不相等

[解析]　长度相等方向相反的两个向量为相反向量，一定为共线向量，故C错误．

二、填空题

5．若A地位于B地正西方向5km处，C地位于A地正北方向5km处，则C地相对于B地的位移是__西北方向5km__.

[解析]　如图，||＝5km，||＝5km，则C地相对于B地的位移的大小为||＝5km，方向为北偏西45°，即西北方向．

6．下列命题正确的是__(4)(5)__.

(1)零向量没有方向；

(2)单位向量都相等；

(3)向量就是有向线段；

(4)两相等向量若其起点相同，则终点也相同；

(5)若a＝b，b＝c，则a＝c；

(6)若四边形ABCD是平行四边形，则＝，＝.

[解析]　(1)该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不定；

(2)该命题不正确，单位向量只是模均为单位长度1，而对方向没要求；

(3)该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；

(4)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合；

(5)该命题正确．由向量相等的定义知，a与b的模相等，b与c的模相等，从而a与c的模相等；又a与b的方向相同，b与c的方向相同，从而a与c的方向也必相同，故a＝c；

(6)该命题不正确．显然有＝，但≠.

三、解答题

7．如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.

(1)画出所有的向量；

(2)求||的最大值与最小值．

[解析]　(1)画出所有的向量如图所示．

(2)由(1)所画的图知，

①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值＝；

②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝.

∴||的最大值为，最小值为.

8．如图，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：

求：(1)写出相等的向量；

(2)与共线的向量；

(3)模相等的向量；

(4)与是否为相等向量．

[解析]　(1)＝，＝，＝，＝.

(2)与共线的向量为：，，.

(3)||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||.

(4)与不相等．

C级　能力拔高

　一位模型赛车手遥控一辆赛车面向正东方向，向前行进1m，逆时针方向旋转α°，继续按直线向前行进1m，再按逆时针方向旋转α°，继续按直线向前行进1m，按此方法继续操作下去．

(1)作图说明，若α＝45°，则操作几次时，赛车的位移是零；

(2)按(1)中操作得到的向量中，写出相等或共线的向量．

[解析]　(1)如图所示，由条件知赛车转了360°后，回到起点，此时位移是零.＝8，所以操作了8次．

(2)如图所示为正八边形路线图形，其中共线向量是：与、与、与、与.