高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第12章　选4系列12.2(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第12章　选4系列12.2(教师版)，共6页。

1．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)csφ，,y＝sinφ))(其中φ为参数)，曲线C2：x2＋y2－2y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(均异于原点O)．
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)当0<α解 (1)C1的普通方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1，C1的极坐标方程为ρ2cs2θ＋2ρ2sin2θ－2＝0，C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.
(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C1的极坐标方程得|OA|2＝eq \f(2,1＋sin2α)，
联立θ＝α(ρ≥0)与C2的极坐标方程得|OB|2＝4sin2α，
则|OA|2＋|OB|2＝eq \f(2,1＋sin2α)＋4sin2α＝eq \f(2,1＋sin2α)＋4(1＋sin2α)－4，
令t＝1＋sin2α，
则|OA|2＋|OB|2＝eq \f(2,t)＋4t－4，当0<α∴|OA|2＋|OB|2∈(2,5)．
2．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋tcsα，,y＝1＋tsinα))(t为参数，0<α<π)，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4csθ.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)设点P的直角坐标为P(2,1)，直线l与曲线C相交于A，B两点，并且|PA|·|PB|＝eq \f(28,3)，求tanα的值．
解 (1)将方程ρsin2θ＝4csθ两边同乘以ρ，得
ρ2sin2θ＝4ρcsθ，
由x＝ρcsθ，y＝ρsinθ，得y2＝4x.
经检验，极点的直角坐标(0,0)也满足此式．
所以曲线C的直角坐标方程为y2＝4x.
(2)将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋tcsα，,y＝1＋tsinα))代入y2＝4x，
得sin2α·t2＋(2sinα－4csα)t－7＝0，
因为P(2,1)在直线l上，
所以|t1t2|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(－7,sin2α)))＝eq \f(28,3)，所以sin2α＝eq \f(3,4)，α＝eq \f(π,3)或α＝eq \f(2π,3)，即tanα＝eq \r(3)或tanα＝－eq \r(3).
3．已知曲线C1：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－4＋cst，,y＝3＋sint))(t为参数)，C2：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝8csθ，,y＝3sinθ))(θ为参数)．
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C1上的点P对应的参数为t＝eq \f(π,2)，Q为C2上的动点，求PQ的中点M到直线C3：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3＋2t，,y＝－2＋t))(t为参数)距离的最小值．
解 (1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,9)＝1，
C1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆，C2表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
(2)当t＝eq \f(π,2)时，P(－4,4)，又Q(8csθ，3sinθ)，
故Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2＋4csθ，2＋\f(3,2)sinθ))，
又C3的普通方程为x－2y－7＝0，则M到C3的距离
d＝eq \f(\r(5),5)|4csθ－3sinθ－13|＝eq \f(\r(5),5)|3sinθ－4csθ＋13|
＝eq \f(\r(5),5)|5sin(θ－φ)＋13|eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中φ满足tanφ＝\f(4,3)))，
所以d的最小值为eq \f(8\r(5),5).
4．已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ＝asinθ，直线l的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(3,5)t＋2，,y＝\f(4,5)t))(t为参数)．
(1)若a＝2，直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；
(2)直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的eq \r(3)倍，求a的值．
解 (1)当a＝2时，圆C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1.
∴圆C的圆心坐标为C(0,1)，半径r＝1.
令y＝eq \f(4,5)t＝0得t＝0，把t＝0代入x＝－eq \f(3,5)t＋2得x＝2.∴M(2,0)．
∴|MC|＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5).
∴|MN|的最大值为|MC|＋r＝eq \r(5)＋1.
(2)由ρ＝asinθ得ρ2＝aρsinθ，∴圆C的直角坐标方程是x2＋y2＝ay，即x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(a,2)))2＝eq \f(a2,4).
∴圆C的圆心为Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2)))，半径为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))，
直线l的普通方程为4x＋3y－8＝0.
∵直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的eq \r(3)倍，
∴圆心C到直线l的距离为圆C半径的一半．
∴eq \f(\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(3a,2)－8))),\r(42＋32))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a,4)))，解得a＝32或a＝eq \f(32,11).
5．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4csθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcsα，,y＝tsinα))(t是参数)．
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝eq \r(14)，求直线的倾斜角α的值．
解 (1)∵ρcsθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2＋y2，
∴曲线C的极坐标方程是ρ＝4csθ可化为：
ρ2＝4ρcsθ，
∴x2＋y2＝4x，
∴(x－2)2＋y2＝4.
(2)将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcsα，,y＝tsinα))代入圆的方程(x－2)2＋y2＝4得：
(tcsα－1)2＋(tsinα)2＝4，
化简得t2－2tcsα－3＝0.
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t1＋t2＝2csα，,t1t2＝－3，))
∴|AB|＝|t1－t2|＝eq \r(t1＋t22－4t1t2)＝eq \r(4cs2α＋12)，
∵|AB|＝eq \r(14)，
∴ eq \r(4cs2α＋12)＝eq \r(14).
∴csα＝±eq \f(\r(2),2).
∵α∈[0，π)，
∴α＝eq \f(π,4)或α＝eq \f(3π,4).
∴直线的倾斜角α＝eq \f(π,4)或α＝eq \f(3π,4).
6．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3csα，,y＝sinα))(α为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \r(2).
(1)求C的普通方程和l的倾斜角；
(2)设点P(0,2)，l和C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|.
解 (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3csα，,y＝sinα，))消去参数α得eq \f(x2,9)＋y2＝1，
即C的普通方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1.
由ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \r(2)，得ρsinθ－ρcsθ＝2，(*)
将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcsθ，,y＝ρsinθ))代入(*)，化简得y＝x＋2，
所以直线l的倾斜角为eq \f(π,4).
(2)由(1)，知点P(0,2)在直线l上，可设直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs\f(π,4)，,y＝2＋tsin\f(π,4)))(t为参数)，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(2),2)t，,y＝2＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)，
代入eq \f(x2,9)＋y2＝1并化简，得5t2＋18eq \r(2)t＋27＝0，
Δ＝(18eq \r(2))2－4×5×27＝108>0，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－eq \f(18\r(2),5)<0，t1t2＝eq \f(27,5)>0，
所以t1<0，t2<0，所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝eq \f(18\r(2),5).