2021学年第二十二章 四边形综合与测试优秀一课一练

这是一份2021学年第二十二章 四边形综合与测试优秀一课一练，共36页。试卷主要包含了下列命题错误的是等内容，欢迎下载使用。
八年级数学下册第二十二章四边形专题训练
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC=10，BD=24，则FG的长为（ ）

A． B．8 C． D．
2、如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④的最小值为；⑤；⑥．其中正确结论有几个（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
3、如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、BC上的点，且，AF、BE相交于点G，下列结论中正确的是（ ）
①；②；③；④．

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
4、如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是各边上的点，对于四边形E，F，G，H的形状，小聪进行了探索，下列结论错误的是（　　　）

A．E，F，G，H是各边中点．且AC=BD时，四边形EFGH是菱形
B．E，F，G，H是各边中点．且AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形
C．E，F，G，H不是各边中点．四边形EFGH可以是平行四边形
D．E，F，G，H不是各边中点．四边形EFGH不可能是菱形
5、菱形ABCD的边长为5，一条对角线长为6，则菱形面积为（　　）
A．20 B．24 C．30 D．48
6、如图，DE是的中位线，若，则BC的长为（　　　）

A．8 B．7 C．6 D．7.5
7、若n边形每个内角都为156°，那么n等于（ ）
A．8 B．12 C．15 D．16
8、如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，连接AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M．AF⊥BC，垂足为F．BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，连接AC、NE.若AE=BN，AN=CE，则下列结论中正确的有（ ）个．

①；②是等腰直角三角形；③是等腰直角三角形；④；⑤．
A．1 B．3 C．4 D．5
9、下列命题错误的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
10、平面上六个点A，B，C，D，E，F，构成如图所示的图形，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F度数是（ ）

A．135度 B．180度 C．200度 D．360度
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，已知AD为的高，，以AB为底边作等腰，，交AC于F，连ED，EC，有以下结论：①；②；③；④；其中正确的是___．

2、如图，在长方形ABCD中，，，P为AD上一点，将沿BP翻折至，PE与CD相交于点O，且，则AP的长为______．

3、四边形ABCD中，AD∥BC，要使它平行四边形，需要增加条件________（只需填一个 条件即可）．
4、如图，在中，，D为外一点，使，E为BD的中点若，则__________．

5、如图，正方形ABCD中，将边BC绕着点C旋转，当点B落在边AD的垂直平分线上的点E处时，∠AEC的度数为_______

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、若直线分别交轴、轴于A、C两点，点P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥轴，B为垂足，且S△ABC= 6

(1)求点B和P的坐标；
(2)点D是直线AP上一点，△ABD是直角三角形，求点D坐标；
(3)请问坐标平面是否存在点Q，使得以Q、C、P、B为顶点四边形是平行四边形，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2、如图，在中，于点E，延长BC至点F，使，连接AF，DE，DF．

(1)求证：四边形AEFD为矩形；
(2)若，，，求DF的长．
3、如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D′处，BC交于点E．AB＝6cm，BC＝8cm．

(1)求证AE＝EC；
(2)求阴影部分的面积．
4、如图，平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°．

(1)求作：AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)在（1）的条件下，设直线MN交AD于E，且∠C＝22.5°，求证：NE＝AB．
5、数学学习小组在学习了三角形中位线定理后，对四边形中有关中点的问题进行了探究：如图，在四边形中，E，F分别是边的中点．

(1)若，，，，求的长．小兰说：取的中点P，连接，．利用三角形中位线定理就能解答此题，请你根据小兰提供的思路解答此题；
(2)小花说：根据小兰的解题思路得到启发，如果满足，就能得到、、的数量关系，你觉得小花说得对吗？若对，请你帮小花得到、、的数量关系，并说明理由．

-参考答案-
一、单选题
1、A
【解析】
【分析】
由菱形的性质得出OA=OC=5，OB=OD=12，AC⊥BD，根据勾股定理求出AD=13，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE=6.5，证出四边形EFOG是矩形，得到EO=GF即可得出答案．
【详解】
解：连接OE，

∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=5，OB=OD=12，AC⊥BD，
在Rt△AOD中，AD==13，
又∵E是边AD的中点，
∴OE=AD=×13=6.5，
∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，
∴∠EFO=90°，∠EGO=90°，∠GOF=90°，
∴四边形EFOG为矩形，
∴FG=OE=6.5．
故选：A．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、直角三角形斜边上中线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．
2、D
【解析】
【分析】
如图，过点作于点，连接，可说明四边形为矩形，，，是等腰直角三角形，；①中，可得为等腰直角三角形，进而求，由于四边形是平行四边形，，故可知；②，四边形为矩形，进而可求矩形的周长；③证明，由全等可知，进而可说明；④，当最小时，最小，即时，最小，计算即可；⑤在和中，勾股定理求得，将线段等量替换求解即可；⑥如图1，延长与交于点，证明，得，，，进而可说明．
【详解】
解：如图，过点作于点，连接，

由题意知
∴四边形为平行四边形
∵
∴四边形为矩形
∴
∵
∴
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
①∵，
∴为等腰直角三角形
∴
，
∴
∴四边形是平行四边形
∴
∴
故①正确；
②∵
∴四边形为矩形
∴四边形的周长
故②正确；
③四边形为矩形

∵在和中
∵
∴
∴
∴
故③正确；
④∵
当最小时，最小
∴当时，即时，的最小值等于
故④正确；
⑤在和中，，
∴
故⑤正确；
⑥如图1，延长与交于点

∵在和中
∵
∴
∴
∵
∴
∴

故⑥正确；
综上，①②③④⑤⑥正确，
故选：．
【点睛】
本题考查了正方形，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形全等．解题的关键在于对知识的灵活综合运用．
3、B
【解析】
【分析】
根据正方形的性质及全等三角形的判定定理和性质、垂直的判定依次进行判断即可得．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，①正确；
∵，
，
∴，
∴，
∴，②正确；
∵GF与BG的数量关系不清楚，
∴无法得AG与GE的数量关系，③错误；
∵，
∴，
∴，
即，④正确；
综上可得：①②④正确，
故选：B．
【点睛】
题目主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，垂直的判定等，理解题意，综合运用全等三角形全等的判定和性质是解题关键．
4、D
【解析】
【分析】
当为各边中点，，，四边形是平行四边形；A中AC=BD，则，平行四边形为菱形，进而可判断正误；B中AC⊥BD，则，平行四边形为矩形，进而可判断正误；E，F，G，H不是各边中点，C中若四点位置满足，则可知四边形EFGH可以是平行四边形，进而可判断正误；D中若四点位置满足，则可知四边形EFGH可以是菱形，进而可判断正误．
【详解】
解：如图，连接当为各边中点时，可知分别为的中位线

∴
∴四边形是平行四边形
A中AC=BD，则，平行四边形为菱形；正确，不符合题意；
B中AC⊥BD，则，平行四边形为矩形；正确，不符合题意；
C中E，F，G，H不是各边中点，若四点位置满足，则可知四边形EFGH可以是平行四边形；正确，不符合题意；
D中若四点位置满足，则可知四边形EFGH可以是菱形；错误，符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查了平行四边形、菱形、矩形的判定，中位线等知识．解题的关键在于熟练掌握特殊平行四边形的判定．
5、B
【解析】
【分析】
根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得菱形的面积．
【详解】
解：如图，当BD＝6时，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝3，
∵AB＝5，
∴AO＝=4，
∴AC＝8，
∴菱形的面积是：6×8÷2＝24，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查菱形的面积公式，以及菱形的性质和勾股定理，关键是掌握菱形的面积等于两条对角线的积的一半．
6、A
【解析】
【分析】
已知DE是的中位线，，根据中位线定理即可求得BC的长．
【详解】
是的中位线，，
，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；掌握中位线定理是解题的关键．
7、C
【解析】
【分析】
首先求得外角的度数，然后利用多边形的外角和是360度，列式计算即可求解．
【详解】
解：由题意可知：n边形每个外角的度数是：180°-156°=24°，
则n=360°÷24°=15．
故选：C．
【点睛】
本题考查了多边形的外角与内角，熟记多边形的外角和定理是关键．
8、C
【解析】
【分析】
证出∠NBF=∠EAF=∠MEC，再证明△NBF≌△EAF（AAS），得出BF=AF，NF=EF，证明△ANB≌△CEA得出∠CAE=∠ABN，推出∠ABF=∠FAC=45°；再证明△ANE≌△ECM得出CM=NE，由NF=NE=MC，得出AF=MC+EC，即可得出结论．
【详解】
解：∵BH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，
∴∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°，
∴∠NBF=∠EAF=∠MEC，
在△NBF和△EAF中，，
∴△NBF≌△EAF（AAS）；
∴BF=AF，NF=EF，
∴∠ABC=45°，∠ENF=45°，
∴△NFE是等腰直角三角形，故③正确；
∵∠ANB=90°+∠EAF，∠CEA=90°+∠MEC，
∴∠ANB=∠CEA，
在△ANB和△CEA中，，
∴△ANB≌△CEA（SAS），故①正确；
∵AN=CE，NF=EF，
∴BF=AF=FC，
又∵AF⊥BC，∠ABC=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，故②正确；
在▱ABCD中，CD∥AB，且△ABC、△NFE都是等腰直角三角形，
∴∠ACD=∠BAC=90°，∠ACB=∠FNE=45°，
∴∠ANE=∠BCD=135°，
在△ANE和△ECM中，，
∴△ANE≌△ECM（ASA），故④正确；
∴CM=NE，
又∵NF=NE=MC，
∴AF=MC+EC，
∴AD=BC=2AF=MC+2EC，故⑤错误．
综上，①②③④正确，共4个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
9、C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定逐项分析即可得．
【详解】
解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意；
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意；
C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，此项符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定是解题关键．
10、D
【解析】
【分析】
根据三角形外角性质及四边形内角和求解即可．
【详解】
解：如下图所示：

根据三角形的外角性质得，∠1=∠C+∠E，∠2=∠B+∠D，
∵∠1+∠2+∠A+∠F=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°，
故选：D．
【点睛】
此题考查了三角形的外角性质，熟记三角形外角性质及四边形内角和为360°是解题的关键．
二、填空题
1、①③
【解析】
【分析】
只要证明，，是的中位线即可一一判断；
【详解】
解：如图延长交于，交于．设交于．

，，
，
，，
，故①正确，
，，
，
，
，
不垂直，故②错误，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，平分，
，
，
，
，
，故③正确，
，
，
，
，
，故④正确．
故答案是：①③．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
2、##
【解析】
【分析】
证明，根据全等三角形的性质得到，，根据翻折变换的性质用表示出、，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】
解：四边形是矩形，
，，，
由折叠的性质可知，
，，，
在和中，
，
，
，，
，
设，则，，
，，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是翻折变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质．
3、AD=BC
【解析】
略
4、##30度
【解析】
【分析】
延长BC、AD交于F，通过全等证明C是BF的中点，然后利用中位线的性质即可．
【详解】
解：延长BC、AD交于F，

在△ABC和△AFC中
，
∴△ABC≌△AFC（ASA），
∴BC=FC，
∴C为BF的中点，
∵E为BD的中点，
∴CE为△BDF的中位线，
∴CE//AF，
∴∠ACE=∠CAF，
∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠ACE=∠CAF=∠BAC=30°，
故答案为：30°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的定义与性质，以及平行线的性质，作出正确的辅助线是解题的关键．
5、或
【解析】
【分析】
分两种情况分析：当点E在BC下方时记点E为点，点E在BC上方时记点E为点，连接，，根据垂直平分线的性质得，，由正方形的性质得，，由旋转得，，故，是等边三角形，，是等腰三角形，由等边三角形和等腰三角形的求角即可．
【详解】

如图，当点E在BC下方时记点E为点，连接，
∵点落在边AD的垂直平分线，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵BC绕点C旋转得，
∴，
∴是等边三角形，是等腰三角形，
∴，，
∴，
∴，
当点E在BC上方时记点E为点，连接，
∵点落在边AD的垂直平分线，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∵BC绕点C旋转得，
∴，
∴是等边三角形，是等腰三角形，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查正方形的性质、垂直平分线的性质、旋转的性质，以及等边三角形与等腰三角形的判定与性质，掌握相关知识点的应用是解题的关键．
三、解答题
1、 (1)B（2，0），P（2，3）
(2)（2，3）或（，）
(3)（0，5）或（0，-1）或（4，1）
【解析】
【分析】
（1）设B（x，0），则P（x，x+2），由S△ABC=6列方程求出x的值，即得到点B和点P的坐标；
（2）当点D与点P重合时，△ABD是直角三角形；当点D与点P不重合时，过点C作CE⊥AP，先求出直线CE的解析式，再由直线BD∥CE求出直线BD的解析式且与y=x+2联立方程组，求出点D的坐标；
（3）画出图形，根据平行四边形的性质分三种情况得出点Q坐标．
(1)
解：如图1，设B（x，0），则P（x，x+2），

对于y=x+2，当y=0时，由x+2=0，得，x=-4；当x=0时，y=2，
∴A（-4，0），C（0，2），
∵点P在第一象限，且S△ABC=6，
∴×2（x+4）=6，
解得x=2，
∴B（2，0），P（2，3）．
(2)
如图1，点D与点P重合，此时∠ABD=∠ABP=90°，
∴△ABD是直角三角形，
此时D（2，3）；
如图2，点D在线段AP上，∠ADB=90°，
此时△ABD是直角三角形，作CE⊥AP，交x轴于点E，

则∠ACE=∠ADB=90°，
∴BD∥CE，AC=，
设E（m，0），
由AE•OC=AC•CE=S△ACE，得AE•OC=AC•CE，
∴2（m+4）=CE，
∴CE=（m+4），
∵∠COE=90°，
∴OE2+OC2=CE2，
∴m2+22=(m+4)]2，
整理得，m2-2m+1=0，
解得，m1=m2=1，
∴E（1，0）；
设直线CE的解析式为y=kx+2，则k+2=0，
解得，k=-2，
∴y=-2x+2；
设直线BD的解析式为y=-2x+n，则-2×2+n=0，
解得，n=4，
∴y=-2x+4，
由，得：，
∴D（，）；
由图象可知，当点D在PA的延长线上，或点D在AP的延长线上，则△ABD不能是直角三角形，
综上所述，点D的坐标是（2，3）或（，）；
(3)
存在．如图，

当四边形CQBP是平行四边形时，
此时，CQ=PB=3，
∴Q（0，-1）；
当四边形CQ1PB是平行四边形时，
此时，CQ1=PB=3，
∴Q1（0，5）；
当四边形CPQ2B是平行四边形时，
此时，CP∥BQ2且CB∥PQ2，
∴Q2（4，1）；
综上所述，点Q的坐标为（0，5）或（0，-1）或（4，1）．
【点睛】
此题重点考查一次函数的图象与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，在解第（2）题、第（3）题时，应进行分类讨论，求出所有符合条件的结果，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题．
2、 (1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据线段的和差关系可得BC＝EF，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，即可得出AD＝EF，可证明四边形AEFD为平行四边形，根据AE⊥BC即可得结论；
（2）根据矩形的性质可得AF＝DE，可得△BAF为直角三角形，利用“面积法”可求出AE的长，即可得答案．
(1)
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，
∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD为矩形．
(2)
∵四边形AEFD为矩形，
∴AF＝DE＝4，DF=AE，
∵，，，
∴AB2+AF2＝BF2，
∴△BAF为直角三角形，∠BAF＝90°，
∴，
∴AE=，
∴．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
3、 (1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先根据折叠的性质可得，再根据矩形的性质、平行线的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证；
（2）设，从而可得，先在中，利用勾股定理可得的值，再利用三角形的面积公式即可得．
(1)
证明：由折叠的性质得：，
四边形是长方形，
，
，
，
．
(2)
解：四边形是长方形，
，
设，则，
在中，，即，
解得，
即，
则阴影部分的面积为．
【点睛】
本题考查了矩形与折叠问题、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．
4、 (1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意作AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N
（2）连接，根据平行四边形的性质求得，进而根据垂直平分线的性质以及导角可求得 是等腰直角三角形，进而证明即可得证NE＝AB．
(1)
如图，AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N

(2)
如图，连接

四边形是平行四边形

，
，

则
是的垂直平分线



又


在与中，



【点睛】
本题考查了作垂直平分线，平行四边形的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形全等的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
5、 (1)
(2)，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意作出辅助线，根据中位线的性质求得，根据平行线的性质求得，进而勾股定理即可求得;
（2）方法同（1）．
(1)
解：如图，取的中点P，连接，，

P，E，F分别是边的中点, ，，
,，
，，
,，
，
在中，，

(2)
，理由如下，
如图，取的中点P，连接，，

P，E，F分别是边的中点,，
,，
，
,，
，
在中，，
即

【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行线的性质，掌握中位线定理是解题的关键．