冀教版八年级下册第二十二章 四边形综合与测试优秀练习

八年级数学下册第二十二章四边形专题训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，为了测量一块不规则绿地B，C两点间的距离，可以在绿地的一侧选定一点A，然后测量出AB，AC的中点D，E，如果测量出D，E两点间的距离是8m，那么绿地B，C两点间的距离是（　　）

A．4m B．8m C．16m D．20m

2、下列命题中，是真命题的是（       ）．A．三角形的外心是三角形三个内角角平分线的交点

B．满足的三个数，，是勾股数

C．对角线相等的四边形各边中点连线所得四边形是矩形

D．五边形的内角和为

3、如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，若△CDE的周长为8，则▱ABCD的周长为（       ）

A．8 B．10 C．16 D．20

4、如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是各边上的点，对于四边形E，F，G，H的形状，小聪进行了探索，下列结论错误的是（　　　）

A．E，F，G，H是各边中点．且AC=BD时，四边形EFGH是菱形

B．E，F，G，H是各边中点．且AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形

C．E，F，G，H不是各边中点．四边形EFGH可以是平行四边形

D．E，F，G，H不是各边中点．四边形EFGH不可能是菱形

5、如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

6、如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（　　）

A．AO＝CO B．AD∥BC C．AD＝BC D．∠DAC＝∠ACD

7、如图，平行四边形ABCD的边BC上有一动点E，连接DE，以DE为边作矩形DEGF且边FG过点A．在点E从点B移动到点C的过程中，矩形DEGF的面积（　　）

A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变

8、在中，若，则的度数是（       ）

A． B． C． D．

9、下列多边形中，内角和与外角和相等的是（　　）

A． B． C． D．

10、如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B′恰好落在AD边上，则BE的长度为（       ）

A．1 B． C． D．2

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、在平行四边形ABCD中，对角线AC长为8cm，，，则它的面积为______cm2．

2、如图，，矩形的顶点、分别在边、上，当在边上运动时，随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，．在运动过程中：

（1）斜边中线的长度是否发生变化___（填“是”或“否”）；

（2）点到点的最大距离是___．

3、三角形的中位线______于三角形的第三边，并且等于第三边的______．

数学表达式：如图，

∵AD＝BD，AE＝EC，

∴DE∥BC，且DE＝BC．

4、在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM=4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为_____时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．

5、添加一个条件，使矩形ABCD是正方形，这个条件可能是 _____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在平行四边形中，、分别是边、上的点，且，，求证：四边形是矩形

2、若直线分别交轴、轴于A、C两点，点P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥轴，B为垂足，且S△ABC= 6

(1)求点B和P的坐标；

(2)点D是直线AP上一点，△ABD是直角三角形，求点D坐标；

(3)请问坐标平面是否存在点Q，使得以Q、C、P、B为顶点四边形是平行四边形，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

3、数学学习小组在学习了三角形中位线定理后，对四边形中有关中点的问题进行了探究：如图，在四边形中，E，F分别是边的中点．

(1)若，，，，求的长．小兰说：取的中点P，连接，．利用三角形中位线定理就能解答此题，请你根据小兰提供的思路解答此题；

(2)小花说：根据小兰的解题思路得到启发，如果满足，就能得到、、的数量关系，你觉得小花说得对吗？若对，请你帮小花得到、、的数量关系，并说明理由．

4、已知：线段m．

求作：矩形ABCD，使矩形宽AB＝m，对角线AC＝m．

5、已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，，点E，F分别为垂足．

(1)求证：△ABE≌△CDF；

(2)求证：四边形AECF是矩形．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

根据三角形中位线定理即可求出．

【详解】

解：中，、分别是、的中点，

为三角形的中位线，

，

，

故选：C．

【点睛】

本题考查的是三角形中位线定理的应用，解题的关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半．

2、D

【解析】

【分析】

正确的命题是真命题，根据定义解答．

【详解】

解：A. 三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，故该项不符合题意；

B. 满足的三个正整数，，是勾股数，故该项不符合题意；

C. 对角线相等的四边形各边中点连线所得四边形是菱形，故该项不符合题意；

D. 五边形的内角和为，故该项符合题意；

故选：D．

【点睛】

此题考查了真命题的定义，正确掌握三角形外心的定义，勾股数的定义，中点四边形的判定定理及多边形内角和的计算公式是解题的关键．

3、C

【解析】

【分析】

根据线段垂直平分线的判定和性质，可得AE=CE，又由CE+DE+CD=8，即AD+CD=8，继而可得ABCD的周长．

【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，

∵OE⊥AC，

∴OE是线段AC的垂直平分线，

∴AE=CE，

∵△CDE的周长为8，

∴CE+DE+CD=8，即AD+CD =8，

∴平行四边形ABCD的周长为2(AD+CD)=16．

故选：C．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的判定和性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

4、D

【解析】

【分析】

当为各边中点，，，四边形是平行四边形；A中AC=BD，则，平行四边形为菱形，进而可判断正误；B中AC⊥BD，则，平行四边形为矩形，进而可判断正误；E，F，G，H不是各边中点，C中若四点位置满足，则可知四边形EFGH可以是平行四边形，进而可判断正误；D中若四点位置满足，则可知四边形EFGH可以是菱形，进而可判断正误．

【详解】

解：如图，连接当为各边中点时，可知分别为的中位线

∴

∴四边形是平行四边形

A中AC=BD，则，平行四边形为菱形；正确，不符合题意；

B中AC⊥BD，则，平行四边形为矩形；正确，不符合题意；

C中E，F，G，H不是各边中点，若四点位置满足，则可知四边形EFGH可以是平行四边形；正确，不符合题意；

D中若四点位置满足，则可知四边形EFGH可以是菱形；错误，符合题意；

故选D．

【点睛】

本题考查了平行四边形、菱形、矩形的判定，中位线等知识．解题的关键在于熟练掌握特殊平行四边形的判定．

5、B

【解析】

【分析】

根据平行四边形及平行线的性质可得，再由角平分线及等量代换得出，利用等角对等边可得，结合图形即可得出线段长度．

【详解】

解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴，

∴，

∵AE平分，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查 平行四边形及平行线的性质，利用角平分线计算，等角对等边等，理解题意，熟练运用平行四边形的性质是解题关键．

6、D

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质解答．

【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝OC，故A正确；

∴，故B正确；

∴AD＝BC，故C正确；

故选：D．

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．

7、D

【解析】

【分析】

连接AE，根据，推出，由此得到答案．

【详解】

解：连接AE，

∵，

∴，

故选：D．

．

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，正确连接辅助线AE是解题的关键．

8、B

【解析】

【分析】

利用平行四边形的对角相等即可选择正确的选项．

【详解】

解：四边形是平行四边形，

，

，

，

故选：B．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是记住平行四边形的性质，属于中考基础题．

9、B

【解析】

【分析】

根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．

【详解】

解：设所求多边形的边数为n，根据题意得：

（n-2）•180°=360°，

解得n=4．

故选：B．

【点睛】

本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．

10、D

【解析】

【分析】

由正方形的性质得出∠EFD=∠BEF=60°，由折叠的性质得出∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，设BE=x，则B'E=x，AE=3-x，由直角三角形的性质可得：2（3-x）=x，解方程求出x即可得出答案．

【详解】

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，∠A=90°，

∴∠EFD=∠BEF=60°，

∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B'恰好落在AD边上，

∴∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，

∴∠AEB'=180°-∠BEF-∠FEB'=60°，

∴B'E=2AE，

设BE=x，则B'E=x，AE=3-x，

∴2（3-x）=x，

解得x=2．

故选：D．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．

二、填空题

1、20

【解析】

【分析】

根据S▱ABCD=2S△ABC，所以求S△ABC可得解．作BE⊥AC于E，在直角三角形ABE中求BE从而计算S△ABC．

【详解】

解：如图，过B作BE⊥AC于E．

在直角三角形ABE中，

∠BAC=30°，AB=5，

∴BE=AB=，

S△ABC=AC•BE=10，

∴S▱ABCD=2S△ABC=20(cm2)．

故答案为：20．

【点睛】

本题综合考查了平行四边形的性质，含30度的直角三角形的性质等．先求出对角线分成的两个三角形中其中一个的面积，然后再求平行四边形的面积，这样问题就比较简单了．

2、     否    

【解析】

【分析】

（1）设斜边中点为，根据直角三角形斜边中线即可；

（2）取的中点，连接、、，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当、、Q三点共线时，点到点的距离最大，再根据勾股定理列式求出的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，两者相加即可得解．

【详解】

解：（1）如图，设斜边中点为，在运动过程中，斜边中线

长度不变，故不变，

故答案为：否；

（2）连接、、，在矩形的运动过程当中，根据三角形的任意两边之和大于第三边有，

当、、三点共线时，则有，此时，取得最大值，如图所示，

为中点，

，

又，

，

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点、Q、三点共线时，点到点的距离最大是解题的关键．

3、     平行     一半

【解析】

略

4、4s或s

【解析】

【分析】

分两种情况：①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，②当F在线段CM上，即2≤t≤5，列方程求解．

【详解】

解：①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，

则有t＝4﹣2t，解得t＝，

②当F在线段CM上，即2≤t≤5，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，

则有t＝2t﹣4，解得t＝4，

综上所述，t＝4或，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，

故答案为：4s或s．

【点睛】

此题考查了动点问题，一元一次方程与动点问题，平行四边形的定义，熟记平行四边形的定义是解题的关键．

5、或或或或

【解析】

【分析】

根据有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形即可得出答案．

【详解】

解：根据有一组邻边相等的矩形是正方形得：这个条件可能是或或或，

根据对角线互相垂直的矩形是正方形得：这个条件可能是，

故答案为：或或或或．

【点睛】

本题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形与矩形之间的关系是解题关键．

三、解答题

1、证明见解析

【解析】

【分析】

平行四边形，可知；由于 ，可得，，知四边形为平行四边形，由可知四边形是矩形．

【详解】

证明：∵四边形 是平行四边形

∴

∵

∴

∵

∴四边形为平行四边形

又∵

∴四边形是矩形．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等知识．解题的关键在于灵活掌握矩形的判定．

2、 (1)B（2，0），P（2，3）

(2)（2，3）或（，）

(3)（0，5）或（0，-1）或（4，1）

【解析】

【分析】

（1）设B（x，0），则P（x，x+2），由S△ABC=6列方程求出x的值，即得到点B和点P的坐标；

（2）当点D与点P重合时，△ABD是直角三角形；当点D与点P不重合时，过点C作CE⊥AP，先求出直线CE的解析式，再由直线BD∥CE求出直线BD的解析式且与y=x+2联立方程组，求出点D的坐标；

（3）画出图形，根据平行四边形的性质分三种情况得出点Q坐标．

(1)

解：如图1，设B（x，0），则P（x，x+2），

对于y=x+2，当y=0时，由x+2=0，得，x=-4；当x=0时，y=2，

∴A（-4，0），C（0，2），

∵点P在第一象限，且S△ABC=6，

∴×2（x+4）=6，

解得x=2，

∴B（2，0），P（2，3）．

(2)

如图1，点D与点P重合，此时∠ABD=∠ABP=90°，

∴△ABD是直角三角形，

此时D（2，3）；

如图2，点D在线段AP上，∠ADB=90°，

此时△ABD是直角三角形，作CE⊥AP，交x轴于点E，

则∠ACE=∠ADB=90°，

∴BD∥CE，AC=，

设E（m，0），

由AE•OC=AC•CE=S△ACE，得AE•OC=AC•CE，

∴2（m+4）=CE，

∴CE=（m+4），

∵∠COE=90°，

∴OE2+OC2=CE2，

∴m2+22=(m+4)]2，

整理得，m2-2m+1=0，

解得，m1=m2=1，

∴E（1，0）；

设直线CE的解析式为y=kx+2，则k+2=0，

解得，k=-2，

∴y=-2x+2；

设直线BD的解析式为y=-2x+n，则-2×2+n=0，

解得，n=4，

∴y=-2x+4，

由，得：，

∴D（，）；

由图象可知，当点D在PA的延长线上，或点D在AP的延长线上，则△ABD不能是直角三角形，

综上所述，点D的坐标是（2，3）或（，）；

(3)

存在．如图，

当四边形CQBP是平行四边形时，

此时，CQ=PB=3，

∴Q（0，-1）；

当四边形CQ1PB是平行四边形时，

此时，CQ1=PB=3，

∴Q1（0，5）；

当四边形CPQ2B是平行四边形时，

此时，CP∥BQ2且CB∥PQ2，

∴Q2（4，1）；

综上所述，点Q的坐标为（0，5）或（0，-1）或（4，1）．

【点睛】

此题重点考查一次函数的图象与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，在解第（2）题、第（3）题时，应进行分类讨论，求出所有符合条件的结果，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题．

3、 (1)

(2)，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题意作出辅助线，根据中位线的性质求得，根据平行线的性质求得，进而勾股定理即可求得;

（2）方法同（1）．

(1)

解：如图，取的中点P，连接，，

P，E，F分别是边的中点, ，，

,，

，，

,，

，

在中，，

(2)

，理由如下，

如图，取的中点P，连接，，

P，E，F分别是边的中点,，

,，

，

,，

，

在中，，

即

【点睛】

本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行线的性质，掌握中位线定理是解题的关键．

4、见详解

【解析】

【分析】

先作m的垂直平分线，取m的一半为AB，然后以点A为圆心，以m长为半径画弧，交m的垂直平分线于C，连结AC，利用作一个角等于已知角，过A作BC的平行线AD，过C作AB的平行线CD，两线交于D即可．

【详解】

解：先作m的垂直平分线，取m的一半为AB，

以点A为圆心，以m长为半径画弧，交m的垂直平分线于C，连结AC，

过A作BC的平行线，与过C作AB的平行线交于D，

则四边形ABCD为所求作矩形；

∵AD∥BC，CD∥AB，

∴四边形ABCD为平行四边形，

∵BC⊥AB，

∴∠ABC=90°，

∴四边形ABCD为矩形，

∵AB=，AC=m，

∴矩形的宽与对角线满足条件，

∴四边形ABCD为所求作矩形．

【点睛】

本题考查矩形作图，线段垂直平分线，作线段等于已知线段，平行线作法，掌握矩形作图，线段垂直平分线，作线段等于已知线段，平行线作法是解题关键．

5、 (1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据垂直的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理（定理）即可得证；

（2）先根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据矩形的判定即可得证．

(1)

证明：四边形是平行四边形，

，

，

，

在和中，，

．

(2)

证明：，

，

四边形是平行四边形，

，

，

在四边形中，，

四边形是矩形．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定定理、矩形的判定等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．