数学八年级下册第二十二章 四边形综合与测试精品测试题

八年级数学下册第二十二章四边形综合测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（　　）

A．AO＝CO B．AD∥BC C．AD＝BC D．∠DAC＝∠ACD

2、已知在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，如果添加一个条件，可使该四边形是正方形，那么这个条件可以是（       ）

A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD

3、在下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（            ）

A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝CD，AD＝BC

C．AB ∥CD，AB＝CD D．AB∥CD，AD＝BC

4、如图，在平行四边形中，平分，交边于，，，则的长为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．5

5、如图，为了测量一块不规则绿地B，C两点间的距离，可以在绿地的一侧选定一点A，然后测量出AB，AC的中点D，E，如果测量出D，E两点间的距离是8m，那么绿地B，C两点间的距离是（　　）

A．4m B．8m C．16m D．20m

6、如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在AD、CD上，且AE＝DF，若四边形OEDF的面积是1，OA的长为1，则正方形的边长AB为（　　）

A．1 B．2 C． D．2

7、如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为a、b，且a2＋b2＝ab＋10，那么小正方形的面积为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

8、若一个正多边形的每个内角度数都为108°，则这个正多边形的边数是 (　　)

A．5 B．6 C．8 D．10

9、菱形周长为20，其中一条对角线长为6，则菱形面积是（     ）

A．48 B．40 C．24 D．12

10、将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，则∠EBD的度数（     ）

A．80° B．90° C．100° D．110°

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM=4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为_____时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．

2、如图，A、B、C均为一个正十边形的顶点，则∠ACB=_____°．

3、（1）两组对边分别________的四边形是平行四边形

∵AB∥CD，AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形

（2）两组对边分别________的四边形是平行四边形

∵AB＝CD，AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形

（3）两组对角分别________的四边形是平行四边形

∵∠A＝ ∠C，

∠B＝∠D，

∴四边形ABCD是平行四边形

（4）对角线________的四边形是平行四边形

∵AO＝CO，BO＝DO，

∴四边形ABCD是平行四边形

 （5）一组对边________的四边形是平行四边形

∵AD＝BC，AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形

4、如图，在中，，，射线AF是的平分线，交BC于点D，过点B作AB的垂线与射线AF交于点E，连结CE，M是DE的中点，连结BM并延长与AC的延长线交于点G．则下列结论正确的是______．

①       ②BG垂直平分DE       ③       ④             ⑤

5、如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为__．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边CD、BC的中点

(1)求证：四边形BDEG是平行四边形；

(2)若菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，求EG的长．

2、如图，把矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形AEFG，使点E落在对角线BD上，连接DG，DF．

(1)若∠BAE＝50°，求∠DGF的度数；

(2)求证：DF＝DC．

3、【问题情境】如图1，在中，，垂足为D，我们可以得到如下正确结论：①；②；③，这些结论是由古希酷著名数学家欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”．

(1)请证明“射影定理”中的结论③．

(2)【结论运用】如图2，正方形的边长为6，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接．

①求证：．

②若，求的长．

4、已知在与中，，点在同一直线上，射线分别平分．

(1)如图1，试说明的理由；

(2)如图2，当交于点G时，设，求与的数量关系，并说明理由；

(3)当时，求的度数．

5、如图，在矩形ABCD中，

(1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作对角线BD的垂直平分线EF分别交AD、BC于E、F点，交BD于O点．

(2)在（1）的条件下，求证：AE=CF．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质解答．

【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝OC，故A正确；

∴，故B正确；

∴AD＝BC，故C正确；

故选：D．

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．

2、D

【解析】

略

3、D

【解析】

略

4、B

【解析】

【分析】

先由平行四边形的性质得，，再证，即可求解．

【详解】

解：四边形是平行四边形，

，，

，

平分，

，

，

，

，

故选：B．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．

5、C

【解析】

【分析】

根据三角形中位线定理即可求出．

【详解】

解：中，、分别是、的中点，

为三角形的中位线，

，

，

故选：C．

【点睛】

本题考查的是三角形中位线定理的应用，解题的关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半．

6、C

【解析】

【分析】

根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠DAF，求得∠AOB=90°，根据三角形的面积公式得到OA=1，由勾股定理即可得到答案．

【详解】

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，

在△ABE与△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（SAS），

∴∠ABE=∠DAF，

∴∠ABE+∠BAO=∠DAF+∠BAO=90°，

∴∠AOB=90°，

∵△ABE≌△DAF，

∴S△ABE=S△DAF，

∴S△ABE-S△AOE=S△DAF-S△AOE，

即S△ABO=S四边形OEDF=1，

∵OA=1，

∴BO=2，

∴AB=，

故选：C．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得△ABE≌△DAF是解题的关键．

7、A

【解析】

【分析】

由正方形1性质和勾股定理得，再由，得，则，即可解决问题．

【详解】

解：设大正方形的边长为，

大正方形的面积是18，

，

，

，

，

，

小正方形的面积，

故选：A．

【点睛】

本题考查了勾股定理、正方形的性质以及完全平方公式等知识，解题的关键是求出．

8、A

【解析】

【分析】

先求出多边形的每一个外角的度数，再利用多边形的外角和即可求出答案．

【详解】

解：∵多边形的每一个内角都等于108°，多边形的内角与外角互为邻补角，

∴每个外角是：180°−108°＝72°，

∴多边形中外角的个数是360°÷72°＝5，则多边形的边数是5．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟练掌握的内容．

9、C

【解析】

【分析】

由菱形对角线互相垂直且平分的性质、结合勾股定理解得，继而解得AC的长，最后根据菱形的面积公式解题．

【详解】

解：如图，，

菱形的周长为20，

，

四边形是菱形，

，，，

由勾股定理得，则，

所以菱形的面积．

故选：C．

【点睛】

本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

10、B

【解析】

【分析】

根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，又∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，且∠EBD=∠A′BE+∠DBC′，继而即可求出答案．

【详解】

解：根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，

又∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，

∴∠EBD=∠A′BE+∠DBC′=180°×=90°．

故选B．

【点睛】

此题考查翻折变换的性质，三角形折叠以后的图形和原图形全等，对应的角相等，得出∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′是解题的关键．

二、填空题

1、4s或s

【解析】

【分析】

分两种情况：①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，②当F在线段CM上，即2≤t≤5，列方程求解．

【详解】

解：①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，

则有t＝4﹣2t，解得t＝，

②当F在线段CM上，即2≤t≤5，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，

则有t＝2t﹣4，解得t＝4，

综上所述，t＝4或，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，

故答案为：4s或s．

【点睛】

此题考查了动点问题，一元一次方程与动点问题，平行四边形的定义，熟记平行四边形的定义是解题的关键．

2、

【解析】

【分析】

根据正多边形外角和和内角和的性质，得、；根据四边形内角和的性质，计算得；根据五边形内角和的性质，计算得，再根据三角形外角的性质计算，即可得到答案．

【详解】

如图，延长BA

∵正十边形

∴，正十边形内角，即

根据题意，得四边形内角和为：，且

∴

∴

根据题意，得五边形内角和为：，且

∴

∴

故答案为：．

【点睛】

本题考查了正多边形、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形外角和、正多边形内角和的性质，从而完成求解．

3、     平行     相等     相等     互相平分     平行且相等

【解析】

略

4、①②⑤

【解析】

【分析】

先由题意得到∠ABE=∠ACB=∠BCG=90°，∠BAC=45°，再由角平分线的性质得到∠BAE=∠DAC=22.5°，从而推出∠BEA=∠ADC，则∠BDE=∠BED，再由三线合一定理即可证明BM⊥DE，∠GBE=∠DBG，即可判断②；得到∠MAG+∠MGA=90°，再由∠CBG+∠CGB=90°，可得∠DAC=∠GBC=22.5°，则∠GBE=22.5°，2∠GBE=45°，从而可证明△ACD≌△BCG，即可判断①；则CD=CG，再由AC=BC=BD+CD，可得到AC=BE+CG，即可判断⑤；由∠G=180°-∠BCG-∠CBG=67.5°，即可判断④；延长BE交AC延长线于G，先证△ABH是等腰直角三角形，得到C为AH的中点，然后证BE≠HE，即E不是BH的中点，得到CE不是△ABH的中位线，则CE与AB不平行，即可判断③．

【详解】

解：∵∠ACB=90°，BE⊥AB，AC=BC，

∴∠ABE=∠ACB=∠BCG=90°，∠BAC=45°，

∴∠BAE+∠BEA=90°，∠DAC+∠ADC=90°，

∵AF平分∠BAC，

∴∠BAE=∠DAC=22.5°，

∴∠BEA=∠ADC，

又∵∠ADC=∠BDE，

∴∠BDE=∠BED，

∴BD=ED，

又∵M是DE的中点，

∴BM⊥DE，∠GBE=∠DBG，

∴BG垂直平分DE，∠AMG=90°，故②正确，

∴∠MAG+∠MGA=90°，

∵∠CBG+∠CGB=90°，

∴∠DAC=∠GBC=22.5°，

∴∠GBE=22.5°，

∴2∠GBE=45°，

又∵AC=BC，

∴△ACD≌△BCG（ASA），故①正确；

∴CD=CG，

∵AC=BC=BD+CD，

∴AC=BE+CG，故⑤正确；

∵∠G=180°-∠BCG-∠CBG=67.5°，

∴∠G≠2∠GBE，故④错误；

如图所示，延长BE交AC延长线于G，

∵∠ABH=∠ABC+∠CBH=90°，∠BAC=45°，

∴△ABH是等腰直角三角形，

∵BC⊥AH，

∴C为AH的中点，

∵AB≠AH，AF是∠BAH的角平分线，

∴BE≠HE，即E不是BH的中点，

∴CE不是△ABH的中位线，

∴CE与AB不平行，

∴BE与CE不垂直，故③错误；

故答案为：①②⑤．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理，三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质与判定条件是解题的挂件．

5、

【解析】

【分析】

在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．证明，推出点在射线上运动，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，求出即可．

【详解】

解：在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．

，，

是等边三角形，

，，

，，

是等边三角形，

，，

，

，

在和中，

，

，

，

，

点在射线上运动，

根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，

，，

，，

，

∴GT//AB

∵BG//AT

四边形是平行四边形，

，，

∴

在中，

∴

，

的最小值为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

三、解答题

1、 (1)证明见解析

(2)10

【解析】

【分析】

（1）利用AC平分∠BAD，AB∥CD，得到∠DAC＝∠DCA，即可得到AD＝DC，利用一组对边平行且相等可证明四边形ABCD是平行四边形，再结合AB＝AD，即可求证结论；

（2）根据菱形的性质，得到CD＝13，AO＝CO＝12，结合中位线性质，可得四边形BDEG是平行四边形，利用勾股定理即可得到OB、OD的长度，即可求解．

(1)

证明：∵AC平分∠BAD，AB∥CD，

∴∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BAC，

∴∠DAC＝∠DCA，

∴AD＝DC，

又∵AB∥CD，AB＝AD，

∴AB∥CD且AB＝CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB＝AD，

∴四边形ABCD是菱形．

(2)

解：连接BD，交AC于点O，如图：

∵菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，

∴CD＝13，AO＝CO＝12，

∵点E、F分别是边CD、BC的中点，

∴EF∥BD（中位线），

∵AC、BD是菱形的对角线，

∴AC⊥BD，OB＝OD，

又∵AB∥CD，EF∥BD，

∴DE∥BG，BD∥EG，

∵四边形BDEG是平行四边形，

∴BD＝EG，

在△COD中，

∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，

∴，

∴EG＝BD＝10．

【点睛】

本题考查了平行四边形性质判定方法、菱形的判定和性质、等腰三角形性质、勾股定理等知识，关键在于熟悉四边形的判定方法和在题目中找到合适的判定条件．

2、 (1)∠DGF=25°；

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）由旋转的性质得出AB=AE，AD=AG，∠BAD=∠EAG=∠AGF=90°，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出答案；

（2）证出四边形ABDF是平行四边形，由平行四边形的性质可得出结论．

(1)

解：由旋转得AB=AE，AD=AG，∠BAD=∠EAG=∠AGF=90°，

∴∠BAE=∠DAG=50°，

∴∠AGD=∠ADG==65°，

∴∠DGF=90°-65°=25°；

(2)

证明：连接AF，

由旋转得矩形AEFG≌矩形△ABCD，

∴AF=BD，∠FAE=∠ABE=∠AEB，

∴AF∥BD，

∴四边形ABDF是平行四边形，

∴DF=AB=DC．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟记矩形的性质并准确识图是解题的关键．

3、 (1)见解析；

(2)①见解析；②．

【解析】

【分析】

（1）由AA证明，再由相似三角形对应边称比例得到，继而解题；

（2）①由“射影定理”分别解得，，整理出，再结合即可证明；

②由勾股定理解得，再根据得到，代入数值解题即可．

(1)

证明：

(2)

①四边形ABCD是正方形

②在中，

在，

．

【点睛】

本题考查相似三角形的综合题，涉及勾股定理、正方形等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

4、 (1)理由见解析

(2)，理由见解析

(3)

【解析】

【分析】

（1），，可知，进而可说明；

（2）如图1所示，连接并延长至点K，分别平分，则设，为的外角，，同理，

，得；又由（1）中证明可知，，进而可得到结果；

（3）如图2所示，过点C作，则，，可得，由（1）中证明可得，在中， ，即，进而可得到结果．

(1)

证明：

又

在和中

．

(2)

解：．

理由如下：如图1所示，连接并延长至点K

分别平分

则设

为的外角

同理可得

即

．

又由（1）中证明可知

由三角形内角和公式可得

即

．

(3)

解：当时，如图2所示，过点C作，则

，即

由（1）中证明可得

在中，根据三角形内角和定理有

即

即

即，解得：

故．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的性质等知识，连接并延长，利用三角形外角性质证得是解题的关键．

5、 (1)见解析

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）利用尺规作出图形即可．

（2）利用全等三角形的性质证明即可．

(1)

解：如图，直线EF即为所求作．

．

(2)

证明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠ADB=∠DBC，

∵EF为BD的垂直平分线，

∴∠EOD=∠FOB=90°，OB=OD，

在△EOD与△FOB中，

，

∴△EOD≌△FOB（ASA），

∴ED=BF，

∴AD-ED=BC-BF，即AE=CF．

【点睛】

本题考查了作图-复杂作图，线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．