初中数学第二十二章 四边形综合与测试精品课时练习

八年级数学下册第二十二章四边形同步测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、在Rt△ABC中，∠B＝90°，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形AEDF的周长是（       ）

A．18 B．16 C．14 D．12

2、如图，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到矩形．此时点A的对应点恰好落在对角线AC的中点处．若AB＝3，则点B与点之间的距离为（       ）

A．3 B．6 C． D．

3、陈师傅应客户要求加工4个长为4cm、宽为3cm的矩形零件．在交付客户之前，陈师傅需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，下图中有可能不合格的零件是（       ）

A． B．

C． D．

4、下列关于的叙述，正确的是（       ）

A．若，则是矩形 B．若，则是正方形

C．若，则是菱形 D．若，则是正方形

5、如图，点A，B，C在同一直线上，且，点D，E分别是AB，BC的中点．分别以AB，DE，BC为边，在AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作，，，若，则等于（       ）

A． B． C． D．

6、如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在AD、CD上，且AE＝DF，若四边形OEDF的面积是1，OA的长为1，则正方形的边长AB为（　　）

A．1 B．2 C． D．2

7、平面上六个点A，B，C，D，E，F，构成如图所示的图形，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F度数是（       ）

A．135度 B．180度 C．200度 D．360度

8、如图，菱形OABC的边OA在平面直角坐标系中的x轴上，，，则点C的坐标为（       ）

A． B． C． D．

9、如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，，，E是OB的中点，P是CD的中点，连接PE，则线段PE的长为（       ）

A． B． C． D．

10、下列命题不正确的是（       ）

A．三边对应相等的两三角形全等

B．若，则

C．有一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形

D．的三边为a、b、c，若，则是直角三角形．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，已知AD为的高，，以AB为底边作等腰，，交AC于F，连ED，EC，有以下结论：①；②；③；④；其中正确的是___．

2、如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，若CE=4cm，AD=5cm，则平行四边形ABCD的周长是___cm．

3、如图，在平行四边形 ABCD 中，∠D=100°，AC 为对角线，将△ACD 绕点 A 顺时针旋转一定的角度后得到△AEF，使点 D 的对应点 E 落在边 AB 上，若点 C 的对应点 F 落在边CB 的延长线上，则∠EFB 的度数为___．

4、如图，，矩形的顶点、分别在边、上，当在边上运动时，随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，．在运动过程中：

（1）斜边中线的长度是否发生变化___（填“是”或“否”）；

（2）点到点的最大距离是___．

5、如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，且顶点B的坐标是（1，2），如果以O为圆心，OB长为半径画弧交x轴的正半轴于点P，那么点P的坐标是_______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、数学学习小组在学习了三角形中位线定理后，对四边形中有关中点的问题进行了探究：如图，在四边形中，E，F分别是边的中点．

(1)若，，，，求的长．小兰说：取的中点P，连接，．利用三角形中位线定理就能解答此题，请你根据小兰提供的思路解答此题；

(2)小花说：根据小兰的解题思路得到启发，如果满足，就能得到、、的数量关系，你觉得小花说得对吗？若对，请你帮小花得到、、的数量关系，并说明理由．

2、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝5cm，∠BOC＝120°，求矩形对角线的长．

3、已知正多边形的内角和比外角和大720°，求该正多边形所有对角线的条数．

4、如图，直线，线段分别与直线、交于点、点，满足．

(1)使用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，交线段于点，连接、、、．（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）

(2)求证：四边形为菱形．（请补全下面的证明过程）

证明：

____①____

垂直平分

，

∴____②____

____③____

∴四边形是___④_____

∴四边形是菱形（______⑤__________）（填推理的依据）．

5、如图，在矩形ABCD中，

(1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作对角线BD的垂直平分线EF分别交AD、BC于E、F点，交BD于O点．

(2)在（1）的条件下，求证：AE=CF．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【解析】

略

2、B

【解析】

【分析】

连接，由矩形的性质得出∠ABC=90°，AC=BD，由旋转的性质得出，证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，由直角三角形的性质求出AC的长，由矩形的性质可得出答案．

【详解】

解：连接，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，AC=BD，

∵点是AC的中点， ∴，

∵将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到矩形，

∴

∴，

∴是等边三角形，

∴∠BAA'=60°，

∴∠ACB=30°，

∵AB=3， ∴AC=2AB=6，

∴．

即点B与点之间的距离为6．

故选：B．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，求出AC的长是解本题的关键．

3、C

【解析】

【分析】

根据矩形的判定定理判断即可．

【详解】

∵A满足的条件是有一个角是直角的平行四边形是矩形，

∴A合格，不符合题意；

∵B满足的条件是三个角是直角的四边形是矩形，

∴B合格，不符合题意；

∵C满足的条件是有一个角是直角的四边形，

∴无法判定，C不合格，符合题意；

∵D满足的条件是有一个角是直角的平行四边形是矩形，

∴D合格，不符合题意；

故选C．

【点睛】

本题考查了矩形的判定定理，正确理解题意，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．

4、A

【解析】

【分析】

由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项、、错误，正确；即可得出结论．

【详解】

解：中，，

四边形是矩形，选项符合题意；

中，，

四边形是菱形，不一定是正方形，选项不符合题意；

中，，

四边形是矩形，不一定是菱形，选项不符合题意；

中，，

四边形是菱形，选项不符合题意；

故选：．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键．

5、B

【解析】

【分析】

设BE＝x，根据正方形的性质、平行四边形的面积公式分别表示出S1，S2，S3，根据题意计算即可．

【详解】

∵，

∴AB＝2BC，

又∵点D，E分别是AB，BC的中点，

∴设BE＝x，则EC＝x，AD＝BD＝2x，

∵四边形ABGF是正方形，

∴∠ABF＝45°，

∴△BDH是等腰直角三角形，

∴BD＝DH＝2x，

∴S1＝DH•AD＝，即2x•2x＝，

∴x2＝，

∵BD＝2x，BE＝x，

∴S2＝MH•BD＝（3x−2x）•2x＝2x2，

S3＝EN•BE＝x•x＝x2，

∴S2＋S3＝2x2＋x2＝3x2＝，

故选：B．

【点睛】

本题考查的是正方形的性质、平行四边形的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是90°是解题的关键．

6、C

【解析】

【分析】

根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠DAF，求得∠AOB=90°，根据三角形的面积公式得到OA=1，由勾股定理即可得到答案．

【详解】

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，

在△ABE与△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（SAS），

∴∠ABE=∠DAF，

∴∠ABE+∠BAO=∠DAF+∠BAO=90°，

∴∠AOB=90°，

∵△ABE≌△DAF，

∴S△ABE=S△DAF，

∴S△ABE-S△AOE=S△DAF-S△AOE，

即S△ABO=S四边形OEDF=1，

∵OA=1，

∴BO=2，

∴AB=，

故选：C．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得△ABE≌△DAF是解题的关键．

7、D

【解析】

【分析】

根据三角形外角性质及四边形内角和求解即可．

【详解】

解：如下图所示：

根据三角形的外角性质得，∠1=∠C+∠E，∠2=∠B+∠D，

∵∠1+∠2+∠A+∠F=360°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°，

故选：D．

【点睛】

此题考查了三角形的外角性质，熟记三角形外角性质及四边形内角和为360°是解题的关键．

8、A

【解析】

【分析】

如图：过C作CE⊥OA，垂足为E，然后求得∠OCE=30°，再根据含30°角直角三角形的性质求得OE，最后运用勾股定理求得CE即可解答.

【详解】

解：如图：过C作CE⊥OA，垂足为E，

∵菱形OABC，

∴OC=OA=4

∵，

∴∠OCE=30°

∵OC=4

∴OE=2

∴CE=

∴点C的坐标为.

故选A.

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质、含30°直角三角形的性质、勾股定理等知识点，作出辅助线、求出OE、CE的长度是解答本题的关键.

9、A

【解析】

【分析】

取OD的中点H，连接HP，由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO＝4，OB＝OD＝6，由三角形中位线定理可得，，可得EH＝6，，由勾股定理可求PE的长．

【详解】

解：如图，取OD的中点H，连接HP

∵四边形ABCD是菱形

∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，OB＝OD＝6

∵点H是OD中点，点E是OB的中点，点P是CD的中点

∴OH=3，OE=3，，

∴EH＝6，

在中，由勾股定理可得：

∴

故选：A

【点睛】

本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．

10、C

【解析】

【分析】

根据三角形全等的判定定理（定理）、乘方运算法则、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理逐项判断即可得．

【详解】

解：A、三边对应相等的两三角形全等，此命题正确，不符题意；

B、若，则，此命题正确，不符题意；

C、有一组对边平行、另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以此项命题不正确，符合题意；

D、的三边为、、，若，即，则是直角三角形，此命题正确，不符题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定定理、乘方运算法则、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理，熟练掌握各定理是解题关键．

二、填空题

1、①③

【解析】

【分析】

只要证明，，是的中位线即可一一判断；

【详解】

解：如图延长交于，交于．设交于．

，，

，

，，

，故①正确，

，，

，

，

，

不垂直，故②错误，

，

，

，，

，

，

是等腰直角三角形，平分，

，

，

，

，

，故③正确，

，

，

，

，

，故④正确．

故答案是：①③．

【点睛】

本题考查等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

2、28

【解析】

【分析】

只要证明AD=DE=5cm，即可解决问题．

【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD=BC=5cm，CD=AB，

∴∠EAB=∠AED，

∵∠EAB=∠EAD，

∴∠DEA=∠DAE，

∴AD=DE=5cm，

∵EC=4cm，

∴AB=DC=9cm，

∴四边形ABCD的周长=2（5+9）=28（cm），

故答案为：28．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

3、20°##20度

【解析】

【分析】

根据平行四边形 ABCD 性质求出∠DAB=180°-∠D=80°，根据△ACD 绕点 A 顺时针旋转一定的角度后得到△AEF，得出AF=AC，∠FAE=∠CAD，∠AFE=∠ACD，利用等腰三角形性质求出∠AFC=∠ACF=，根据平行线性质∠DAC=∠ACF=50°，利用三角形内角和求出∠ACD=180°-∠D-∠CAD=180°-100°-50°=30°即可．

【详解】

解：在平行四边形 ABCD 中，∠D=100°，

∴∠DAB=180°-∠D=80°，

∵△ACD 绕点 A 顺时针旋转一定的角度后得到△AEF，

∴AF=AC，∠FAE=∠CAD，∠AFE=∠ACD，

∴∠FAC=∠FAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC=∠BAD=80°

∴∠AFC=∠ACF=

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACF=50°，

∴∠ACD=180°-∠D-∠CAD=180°-100°-50°=30°，

∴∠AFE=∠ACD=30°，

∴∠EFB=∠AFC-∠AFE=50°-30°=20°，

故答案为20°．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质，图形旋转性质，等腰三角形性质，角的和差，三角形内角和，掌握平行四边形的性质，图形旋转性质，等腰三角形性质，角的和差，三角形内角和是解题关键．

4、     否    

【解析】

【分析】

（1）设斜边中点为，根据直角三角形斜边中线即可；

（2）取的中点，连接、、，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当、、Q三点共线时，点到点的距离最大，再根据勾股定理列式求出的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，两者相加即可得解．

【详解】

解：（1）如图，设斜边中点为，在运动过程中，斜边中线

长度不变，故不变，

故答案为：否；

（2）连接、、，在矩形的运动过程当中，根据三角形的任意两边之和大于第三边有，

当、、三点共线时，则有，此时，取得最大值，如图所示，

为中点，

，

又，

，

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点、Q、三点共线时，点到点的距离最大是解题的关键．

5、（，0）

【解析】

【分析】

利用勾股定理求出OB的长度，同圆的半径相等即可求解．

【详解】

由题意可得：OP＝OB，OC＝AB＝2，BC＝OA＝1，

∵OB＝＝＝，

∴OP＝，

∴点P的坐标为（，0）．

故答案为：（，0）．

【点睛】

本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．

三、解答题

1、 (1)

(2)，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题意作出辅助线，根据中位线的性质求得，根据平行线的性质求得，进而勾股定理即可求得;

（2）方法同（1）．

(1)

解：如图，取的中点P，连接，，

P，E，F分别是边的中点, ，，

,，

，，

,，

，

在中，，

(2)

，理由如下，

如图，取的中点P，连接，，

P，E，F分别是边的中点,，

,，

，

,，

，

在中，，

即

【点睛】

本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行线的性质，掌握中位线定理是解题的关键．

2、10cm

【解析】

【分析】

根据矩形性质得出∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，推出OA＝OB，求出等边三角形AOB，求出OA＝OB＝AB＝5，即可得出答案．

【详解】

解：∵∠BOC＝120°，

∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，

∴OA＝OB，

∵∠AOB＝60°，

∴△AOB是等边三角形，

∵AB＝5cm，

∴OA＝OB＝AB＝5cm，

∴AC＝2AO＝10cm，BD＝AC＝10cm．

【点睛】

本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OA、OB的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．

3、20条

【解析】

【分析】

多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，外角和是固定的360°，根据正多边形内角和与外角和的差等于720°，列方程求出正多边形的边数．然后根据n边形共有条对角线，得出此正多边形的所有对角线的条数．

【详解】

解：设此正多边形为正n边形．

由题意得：，

解得n＝8，

∴此正多边形所有的对角线条数为：＝20．

答：这个正多边形的所有对角线有20条．

【点睛】

此题考查多边形的边数与对角线条数,一元一次方程，解题关键在于掌握多边形内角和公式和外角和，以及对角线条数计算公式.．

4、 (1)见解析

(2)①；②；③；④平行四边形；⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形

【解析】

【分析】

（1）分别以A、D为圆心，大于AD的一半长为半径，画弧，两弧交于两点，然后过这两点作直线交l1于E，交l2于F，直线EF为线段AD的垂直平分线，连接、、、即可；

（2）：根据，内错角相等得出∠2①，根据垂直平分       ，得出，，可证②△EOC，根据全等三角形性质得出OF③，再证，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形④，根据对角线互相垂直即可得出四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形⑤）．

(1)

解：分别以A、D为圆心，大于AD的一半长为半径，画弧，两弧交于两点，然后过这两点作直线交l1于E，交l2于F，直线EF为线段AD的垂直平分线，连接、、、即可；

如图所示

(2)

证明：，

∠2①，

垂直平分       ，

，，

∴②△EOC，

OF③，

，

，

，

∴四边形是平行四边形④，

，

∴四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形⑤），

故答案为：①；②；③；④平行四边形；⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

【点睛】

本题考查尺规作图，垂直平分线性质，三角形全等判定与性质，菱形的判定，掌握尺规作图，垂直平分线性质，三角形全等判定与性质，菱形的判定是解题关键．

5、 (1)见解析

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）利用尺规作出图形即可．

（2）利用全等三角形的性质证明即可．

(1)

解：如图，直线EF即为所求作．

．

(2)

证明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠ADB=∠DBC，

∵EF为BD的垂直平分线，

∴∠EOD=∠FOB=90°，OB=OD，

在△EOD与△FOB中，

，

∴△EOD≌△FOB（ASA），

∴ED=BF，

∴AD-ED=BC-BF，即AE=CF．

【点睛】

本题考查了作图-复杂作图，线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．