初中冀教版第二十二章 四边形综合与测试精品习题

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八年级数学下册第二十二章四边形专项训练 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、一多边形的每一个内角都等于它相邻外角的4倍，则该多边形的内角和是（　　）A．360° B．900° C．1440° D．1800°2、下列说法正确的是（　　）A．只有正多边形的外角和为360°B．任意两边对应相等的两个直角三角形全等C．等腰三角形有两条对称轴D．如果两个三角形一模一样，那么它们形成了轴对称图形3、如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE=AD，则∠ACE的度数为（　　　）A．22.5° B．27.5° C．30° D．35°4、在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果AC＝6，BD＝8，那么菱形ABCD的面积是（　　）A．6 B．12 C．24 D．485、如图，在平行四边形中，平分，交边于，，，则的长为（       ）A．1 B．2 C．3 D．56、如图，菱形OABC的边OA在平面直角坐标系中的x轴上，，，则点C的坐标为（       ）A． B． C． D．7、如图，平面直角坐标系xOy中，点A是直线上一动点，将点A向右平移1个单位得到点B，点C（1，0），则OB＋CB的最小值为（       ）A． B． C． D．8、下列命题不正确的是（       ）A．三边对应相等的两三角形全等B．若，则C．有一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形D．的三边为a、b、c，若，则是直角三角形．9、下列命题中是真命题的是（       ）．A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形 D．有一个角为直角的四边形是矩形10、如图．在长方形纸片ABCD中，AB=12，AD=20，所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．点P，Q分别在边AB、AD上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为（       ）A．8 B．10 C．12 D．16第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，连接EB，ED，当时，的度数为______．2、如图，正方形的对角线、相交于点O，等边绕点O旋转，在旋转过程中，当时，的度数为____________．3、已知平行四边形ABCD的周长是30，若AB＝10，则BC＝________．4、如图，平行四边形ABCD中，BD为对角线，，BE平分交DC于点E，连接AE，若，则为______度．5、两组对边分别________的四边形叫做平行四边形．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．（1）计算AC2+BC2的值等于_____；（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2+BC2，并简要说明画图方法（不要求证明）_____．2、如图，平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°．(1)求作：AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）(2)在（1）的条件下，设直线MN交AD于E，且∠C＝22.5°，求证：NE＝AB．3、尺规作图并回答问题：（保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．求作：菱形AECF，使点E，F分别在BC，AD上．请回答：在你的作法中，判定四边形AECF是菱形的依据是　 　．4、如图，在中，于点E，延长BC至点F，使，连接AF，DE，DF．(1)求证：四边形AEFD为矩形；(2)若，，，求DF的长．5、如图，在菱形ABDE中，，点C是边AB的中点，点P是对角线AD上的动点（可与点A，D重合），连接PC，PB．已知，若要，求AP的取值范围．丞泽同学所在的学习小组根据学习函数的经验，设AP长为xcm，PC长为，PB长为．分别对函数，随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是丞泽同学所在学习小组的探究过程，请补充完整：(1)按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与x的几组对应值，表格中的______；x/cm01234561.731.001.00a2.643.614.583.462.642.001.732.002.643.46(2)在同一平面直角坐标系xOy中，请在图中描出补全后的表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；(3)结合函数图象，解决问题：当时，估计AP的长度的取值范围是____________；请根据图象估计当______时，PC取到最小值．（请保留点后两位） -参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】设每一个外角都为x，则相邻的内角为4x，然后根据“邻补角和为180°”列方程求得外角的大小，然后再根据多边形外角和定理求得多边形边数，最后运用多边形内角和公式求解即可．【详解】解：设每一个外角都为x，则相邻的内角为4x，由题意得，4x+x＝180°，解得：x＝36°，多边形的外角和为360°，360°÷36°＝10，所以这个多边形的边数为10，则该多边形的内角和是：（10﹣8）×180＝1440°．故选：C．【点睛】本题主要考查了多边形内角和相邻外角的关系、多边形的外角和、多边形内角和等知识点，掌握多边形的外角和为360°是解答本题的关键．2、B【解析】【分析】选项A根据多边形的外角和定义判断即可；选项B根据三角形全等的判定方法判断即可；选项C根据轴对称图形的定义判断即可；选项D根据轴对称的性质判断即可．【详解】解：A．所有多边形的外角和为，故本选项不合题意；B．任意两边对应相等的两个直角三角形全等，说法正确，故本项符合题意；C．等腰三角形有1条对称轴，故本选项不合题意；D．如果两个三角形一模一样，那么它们不一定形成轴对称图形，故本选项不合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了多边形的外角和，轴对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是掌握轴对称图形的概念．3、A【解析】【分析】利用正方形的性质证明∠DBC=45°和BE=BC，进而证明∠BEC=67.5°．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AD，∠DBC=45°，∵BE=AD，∴BE=BC，∴∠BEC=∠BCE=（180°﹣45°）÷2=67.5°，∵AC⊥BD，∴∠COE=90°，∴∠ACE=90°﹣∠BEC=90°﹣67.5°=22.5°，故选：A．【点睛】本题考查正方形的性质，以及等腰三角形的性质，掌握正方形的性质并加以利用是解决本题的关键．4、C【解析】【分析】利用菱形的面积公式即可求解．【详解】解：菱形ABCD的面积＝＝＝24，故选：C．【点睛】本题考查菱形的面积公式，菱形的面积等于对角线乘积的一半．5、B【解析】【分析】先由平行四边形的性质得，，再证，即可求解．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，平分，，，，，故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．6、A【解析】【分析】如图：过C作CE⊥OA，垂足为E，然后求得∠OCE=30°，再根据含30°角直角三角形的性质求得OE，最后运用勾股定理求得CE即可解答.【详解】解：如图：过C作CE⊥OA，垂足为E，∵菱形OABC，∴OC=OA=4∵，∴∠OCE=30°∵OC=4∴OE=2∴CE= ∴点C的坐标为.故选A.【点睛】本题主要考查了菱形的性质、含30°直角三角形的性质、勾股定理等知识点，作出辅助线、求出OE、CE的长度是解答本题的关键.7、A【解析】【分析】设D（﹣1，0），作D点关于直线的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，，作ES⊥x轴于S，根据题意OE就是OB＋CB的最小值，由直线的解析式求得F的坐标，进而求得ED的长，从而求得OS和ES，然后根据勾股定理即可求得OE．【详解】解：设D（﹣1，0），作D点关于直线的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，，交于点，作ES⊥x轴于S，∵AB∥DC，且AB＝OD＝OC＝1，∴四边形ABOD和四边形ABCO是平行四边形，∴AD＝OB，OA＝BC，∴AD＋OA＝OB＋BC，∵AE＝AD，∴AE＋OA＝OB＋BC，即OE＝OB＋BC，∴OB＋CB的最小值为OE，由，当时，，解得：，，，当时，，，，，取的中点，过作轴的垂线交于，，当时，，，，，为的中点，，为等边三角形，，，，，∴FD＝3，∠FDG＝60°，∴DG＝DF＝，∴DE＝2DG＝3，∴ES＝DE＝，DS＝DE＝，∴OS＝，∴OE＝＝，∴OB＋CB的最小值为，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的性质，轴对称﹣最短路线问题以及平行四边形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是证得OE是OB+CB的最小值．8、C【解析】【分析】根据三角形全等的判定定理（定理）、乘方运算法则、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理逐项判断即可得．【详解】解：A、三边对应相等的两三角形全等，此命题正确，不符题意；B、若，则，此命题正确，不符题意；C、有一组对边平行、另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以此项命题不正确，符合题意；D、的三边为、、，若，即，则是直角三角形，此命题正确，不符题意；故选：C．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理、乘方运算法则、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理，熟练掌握各定理是解题关键．9、A【解析】【分析】根据平行线四边形的性质得到对边相等，加上一组邻边相等，可得到四边都相等，根据菱形的定义对A、B进行判断；根据矩形的判定方法对C、D进行判断．【详解】解：A、平行四边形的对边相等，若有一组邻边相等，则四边都相等，所以该选项正确；B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，所以该选项不正确；C、对角线互相平分且相等的四边形为矩形，所以该选项不正确；D、有三个角是直角的四边形是矩形，所以该选项不正确．故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事情的语句叫命题；正确的命题叫真命题；经过证明其正确性的命题称为定理．也考查了平行四边形、矩形和菱形的判定与性质．10、A【解析】【分析】根据翻折的性质，可得BA′与AP的关系，根据线段的和差，可得A′C，根据勾股定理，可得A′C，根据线段的和差，可得答案．【详解】解：①在长方形纸片ABCD中，AB=12，AD=20，∴BC=AD=20，当p与B重合时，BA′=BA=12，CA′=BC-BA′=20-12=8，②当Q与D重合时，由折叠得A′D=AD=20，由勾股定理，得CA′==16，CA′最远是16，CA′最近是8，点A′在BC边上可移动的最大距离为16-8=8，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键．二、填空题1、18°##18度【解析】【分析】由“SAS”可证△DCE≌△BCE，可得∠CED=∠CEB=∠BED=63°，由三角形的外角的性质可求解．【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD=BC=AB，∠DAE=∠BAE=∠DCA=∠BCA=45°，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠CED=∠CEB=∠BED=63°，∵∠CED=∠CAD+∠ADE，∴∠ADE=63°-45°=18°，故答案为：18°．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△DCE≌△BCE是本题的关键．2、或【解析】【分析】分两种情况：①根据正方形与等边三角形的性质得OC=OD，∠COD=90°，OE=OF，∠EOF=60°，可判断△ODE≌△OCF，则∠DOE=∠COF，于是可求∠DOF，即可得出答案；②同理可证得△ODE≌△OCF，所以∠DOE=∠COF，于是可求∠BOF，即可得答案．【详解】解：情况1，如下图：∵四边形ABCD是正方形，∴OD=OC，∠AOD=∠COD=90°，∵△OEF是等边三角形，∴OE=OF，∠EOF=60°，在△ODE和△OCF中，∴△ODE≌△OCF（SSS），∴∠DOE＝∠COF，∴∠DOF＝∠COE，∴∠DOF＝（∠COD-∠EOF）=×（90°﹣60°）＝15°，∴∠AOF=∠AOD+∠DOF=90°+15°=105°；情况2，如下图：连接DE、CF，∵四边形ABCD为正方形，∴OC＝OD，∠AOD=∠COB＝90°，∵△OEF为等边三角形，∴OE＝OF，∠EOF＝60°，在△ODE和△OCF中，∴△ODE≌△OCF（SSS），∴∠DOE＝∠COF，∴∠DOE＝∠COF＝（360°-∠COD-∠EOF）=×（360°﹣90°﹣60°）＝105°，∴∠BOF＝∠COF-∠COB=105°-90°=15°，∴∠AOF=∠AOB-∠BOF=90°-15°=75°，故答案为：105°或75°．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形与等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，做题的关键是注意两种情况和证三角形全等．3、5【解析】略4、22【解析】【分析】先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的判定证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，最后根据全等三角形的性质即可得．【详解】解：平行四边形中，，，，，平分，，是等边三角形，，，在和中，，，，故答案为：22．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．5、平行【解析】略三、解答题1、     11     见解析【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理求出即可；（2）首先分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；进而得出答案．【详解】解：（1）AC2+BC2＝（）2+32＝11；故答案为：11；（2）分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；延长DE交MN于点Q，连接QC，平移QC至AG，BP位置，直线GP分别交AF，BH于点T，S，则四边形ABST即为所求，如图，【点睛】本题考查了勾股定理，无刻度直尺作图，平行四边形与矩形的性质，掌握勾股定理以及特殊四边形的性质是解题的关键．2、 (1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）根据题意作AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N（2）连接，根据平行四边形的性质求得，进而根据垂直平分线的性质以及导角可求得 是等腰直角三角形，进而证明即可得证NE＝AB．(1)如图，AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N(2)如图，连接四边形是平行四边形，，则是的垂直平分线又在与中，【点睛】本题考查了作垂直平分线，平行四边形的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形全等的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．3、证明见解析；邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形．【解析】【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形或对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．【详解】解：如图，四边形AECF即为所求作．理由：四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠EAO=∠FCO，∵EF垂直平分线段AC，∴OA=OC，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵EA=EC或AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．故答案为：邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形．【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4、 (1)见解析(2)【解析】【分析】（1）根据线段的和差关系可得BC＝EF，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，即可得出AD＝EF，可证明四边形AEFD为平行四边形，根据AE⊥BC即可得结论；（2）根据矩形的性质可得AF＝DE，可得△BAF为直角三角形，利用“面积法”可求出AE的长，即可得答案．(1)∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD为平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD为矩形．(2)∵四边形AEFD为矩形，∴AF＝DE＝4，DF=AE，∵，，，∴AB2+AF2＝BF2，∴△BAF为直角三角形，∠BAF＝90°，∴，∴AE=，∴．【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．5、 (1)(2)见解析(3)0≤AP≤3，1.50【解析】【分析】（1）证明△PAB为直角三角形，再根据勾股定理得出，而点C是线段AB的中点，即可求解；（2）描点绘出函数图象即可；（3）观察分析函数图象即可求解．(1)解：在菱形ABDE中，AB=BD∵，∴，∵AD=6当x=AP=3时，则P为AD的中点∴，∴AB=2BP，，∴，∵点C是边AB的中点，∴，即(2)描点绘出函数图象如下（0≤x≤6）(3)当PC的长度不大于PB长度时，即y1≤y2，从图象看，此时，0≤x≤3，即0≤AP≤3，从图象看，当x大约为1.50时，y1即PC取到最小值；故答案为：0≤AP≤3；1.50．【点睛】本题考查函数的图象，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．