高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第11章　算法、复数、推理与证明11.3(学生版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第11章　算法、复数、推理与证明11.3(学生版)，共7页。

一、选择题
1．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2016＝( )
A．3 B．－3 C．6 D．－6
3．已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：
x＋eq \f(1,x)≥2，x＋eq \f(4,x2)＝eq \f(x,2)＋eq \f(x,2)＋eq \f(4,x2)≥3，
x＋eq \f(27,x3)＝eq \f(x,3)＋eq \f(x,3)＋eq \f(x,3)＋eq \f(27,x3)≥4，…，
类比有x＋eq \f(a,xn)≥n＋1(n∈N*)，则a＝( )
A．n B．2n C．n2 D．nn
4．已知an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n，把数列{an}的各项排成如下的三角形：
a1
a2 a3 a4
a5 a6 a7 a8 a9
……
记A(s，t)表示第s行的第t个数，则A(11,12)＝( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))67 B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))68
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))111 D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))112
5．下面使用类比推理恰当的是( )
A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“(a·b)c＝ac·bc”
C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“eq \f(a＋b,c)＝eq \f(a,c)＋eq \f(b,c)(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”
6．如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项，如下表所示：
按如此规律下去，则a2017＝( )
A．502 B．503 C．504 D．505
7．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 eq \r(2＋\r(2＋\r(2＋…)))中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程eq \r(2＋x)＝x确定x＝2，则1＋eq \f(1,1＋\f(1,1＋…))＝( )
A.eq \f(－\r(5)－1,2) B.eq \f(\r(5)－1,2) C.eq \f(1＋\r(5),2) D.eq \f(1－\r(5),2)
8．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝eq \f(2S,a＋b＋c)，类比这个结论可知，四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S－ABC的体积为V，则R等于( )
A.eq \f(V,S1＋S2＋S3＋S4) B.eq \f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)
C.eq \f(3V,S1＋S2＋S3＋S4) D.eq \f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)
9．[x]表示不超过x的最大整数，例如：[π]＝3.
S1＝[eq \r(1)]＋[eq \r(2)]＋[eq \r(3)]＝3
S2＝[eq \r(4)]＋[eq \r(5)]＋[eq \r(6)]＋[eq \r(7)]＋[eq \r(8)]＝10
S3＝[eq \r(9)]＋[eq \r(10)]＋[eq \r(11)]＋[eq \r(12)]＋[eq \r(13)]＋[eq \r(14)]＋[eq \r(15)]＝21，
…，
依此规律，那么S10等于( )
A．210 B．230 C．220 D．240
10．对于问题：“已知两个正数x，y满足x＋y＝2，求eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)的最小值”，给出如下一种解法：
∵x＋y＝2，
∴eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)＝eq \f(1,2)(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(4,y)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(y,x)＋\f(4x,y)))，
∵x>0，y>0，∴eq \f(y,x)＋eq \f(4x,y)≥2eq \r(\f(y,x)·\f(4x,y))＝4，
∴eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)≥eq \f(1,2)(5＋4)＝eq \f(9,2)，
当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y,x)＝\f(4x,y)，,x＋y＝2，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,3)，,y＝\f(4,3)))时，eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)取最小值eq \f(9,2).
参考上述解法，已知A，B，C是△ABC的三个内角，则eq \f(1,A)＋eq \f(9,B＋C)的最小值为( )
A.eq \f(16,π) B.eq \f(8,π) C.eq \f(4,π) D.eq \f(2,π)
二、填空题
11．三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1,2,3.
(1)记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是________；
(2)记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是________．
12．二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝eq \f(4,3)πr3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，则其四维测度W＝________.
13．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金eq \f(1,2)，第2关收税金为剩余的eq \f(1,3)，第3关收税金为剩余的eq \f(1,4)，第4关收税金为剩余的eq \f(1,5)，第5关收税金为剩余的eq \f(1,6)，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x，按此规律通过第8关”，则第8关所收税金为________x.
14．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}．可以推测：
(1)b2016是数列{an}中的第________项；
(2)b2k－1＝________(用k表示)．
三、解答题
15．阅读以下求1＋2＋3＋…＋n的值的过程：
因为(n＋1)2－n2＝2n＋1，
n2－(n－1)2＝2(n－1)＋1
…
22－12＝2×1＋1
以上各式相加得(n＋1)2－1＝2×(1＋2＋3＋…＋n)＋n
所以1＋2＋3＋…＋n＝eq \f(n2＋2n－n,2)＝eq \f(nn＋1,2).
类比上述过程，求12＋22＋32＋…＋n2的值．
16．我们知道，等差数列和等比数列有许多性质可以类比，现在给出一个命题：若数列{an}、{bn}是两个等差数列，它们的前n项的和分别是Sn，Tn，则eq \f(an,bn)＝eq \f(S2n－1,T2n－1).
(1)请你证明上述命题；
(2)请你就数列{an}、{bn}是两个各项均为正的等比数列，类比上述结论，提出正确的猜想，并加以证明．
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
a12
x1
y1
x2
y2
x3
y3
x4
y4
x5
y5
x6
y6