高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第4章　平面向量 4.2(学生版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第4章　平面向量 4.2(学生版)，共6页。

一、选择题
1．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向
2．已知eq \(OA,\s\up16(→))＝(1，－3)，eq \(OB,\s\up16(→))＝(2，－1)，eq \(OC,\s\up16(→))＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是( )
A．k＝－2 B．k＝eq \f(1,2) C．k＝1 D．k＝－1
3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝( )
A．(2,6) B．(－2,6)
C．(2，－6) D．(－2，－6)
4．在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝4，D是AB上一点，且eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(CD,\s\up16(→))＝5，则|eq \(BD,\s\up16(→))|等于( )
A．6 B．4 C．2 D．1
5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量eq \(OA,\s\up16(→))＝a，eq \(OB,\s\up16(→))＝b，其中a＝(3,1)，b＝(1,3)．若eq \(OC,\s\up16(→))＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，则C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )
6．已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)且a∥b，若x，y均为正数，则eq \f(3,x)＋eq \f(2,y)的最小值是( )
A．24 B．8 C.eq \f(8,3) D.eq \f(5,3)
7．如图所示，两个非共线向量eq \(OA,\s\up16(→))、eq \(OB,\s\up16(→))的夹角为θ，N为OB中点，M为OA上靠近A的三等分点，点C在直线MN上，且eq \(OC,\s\up16(→))＝xeq \(OA,\s\up16(→))＋yeq \(OB,\s\up16(→))(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值为( )
A.eq \f(4,25) B.eq \f(2,5) C.eq \f(4,9) D.eq \f(2,3)
8．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若eq \(DE,\s\up16(→))＝λeq \(AB,\s\up16(→))＋μeq \(AD,\s\up16(→))(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝( )
A.eq \f(5,8) B.eq \f(1,4) C．1 D.eq \f(5,16)
9．已知A，B，C三点不共线，且eq \(AD,\s\up16(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up16(→))＋2eq \(AC,\s\up16(→))，则eq \f(S△ABD,S△ACD)＝( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,2) C．6 D.eq \f(1,6)
10．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，且∠B＝90°，∠BCD＝135°，记向量eq \(AB,\s\up16(→))＝a，eq \(AC,\s\up16(→))＝b，则eq \(AD,\s\up16(→))＝( )
A.eq \r(2)a－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(\r(2),2)))b B．－eq \r(2)a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(\r(2),2)))b
C．－eq \r(2)a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(2),2)))b D.eq \r(2)a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(2),2)))b
二、填空题
11．在梯形ABCD中，AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为________．
13．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，点P是△ABC内一点(含边界)，若eq \(AP,\s\up16(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up16(→))＋λeq \(AC,\s\up16(→))，则|eq \(AP,\s\up16(→))|的最大值为________．
14．已知三角形ABC中，AB＝AC，BC＝4，∠BAC＝120°，eq \(BE,\s\up16(→))＝3eq \(EC,\s\up16(→))，若点P是BC边上的动点，则eq \(AP,\s\up16(→))·eq \(AE,\s\up16(→))的取值范围是________．
三、解答题
15．给定两个长度为1的平面向量eq \(OA,\s\up16(→))和eq \(OB,\s\up16(→))，它们的夹角为eq \f(2π,3).
如图所示，点C在以O为圆心的上运动．若eq \(OC,\s\up16(→))＝xeq \(OA,\s\up16(→))＋yeq \(OB,\s\up16(→))，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．
16．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1，0)，|eq \(OC,\s\up16(→))|＝1，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点．
(1)若x＝eq \f(3,4)π，设点D为线段OA上的动点，求|eq \(OC,\s\up16(→))＋eq \(OD,\s\up16(→))|的最小值；
(2)若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，向量m＝eq \(BC,\s\up16(→))，n＝(1－csx，sinx－2csx)，求m·n的最小值及对应的x值．
解 (1)设D(t,0)(0≤t≤1)，由题易知Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，
所以eq \(OC,\s\up16(→))＋eq \(OD,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)＋t，\f(\r(2),2)))，
所以|eq \(OC,\s\up16(→))＋eq \(OD,\s\up16(→))|2＝eq \f(1,2)－eq \r(2)t＋t2＋eq \f(1,2)＝t2－eq \r(2)t＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(\r(2),2)))2＋eq \f(1,2)(0≤t≤1)，
所以当t＝eq \f(\r(2),2)时，|eq \(OC,\s\up16(→))＋eq \(OD,\s\up16(→))|2最小，最小值为eq \f(\r(2),2).
(2)由题意得C(csx，sinx)，m＝eq \(BC,\s\up16(→))＝(csx＋1，sinx)，
则m·n＝1－cs2x＋sin2x－2sinxcsx
＝1－cs2x－sin2x＝1－eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))).
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以eq \f(π,4)≤2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，
所以当2x＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(π,8)时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))取得最大值1，
所以m·n的最小值为1－eq \r(2)，此时x＝eq \f(π,8).