高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第3章　三角函数、解三角形3.5(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第3章　三角函数、解三角形3.5(教师版)，共12页。

A级
一、选择题
1．计算sin43°cs13°＋sin47°cs103°的结果等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2)
答案 A
解析 原式＝sin43°cs13°－cs43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝eq \f(1,2).故选A.
2.eq \f(sin47°－sin17°cs30°,cs17°)＝( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
答案 C
解析 sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cs17°＋cs30°·sin17°，
∴原式＝eq \f(sin30°cs17°,cs17°)＝sin30°＝eq \f(1,2).故选C.
3．已知过点(0,1)的直线l：xtanα－y－3tanβ＝0的斜率为2，则tan(α＋β)＝( )
A．－eq \f(7,3) B.eq \f(7,3) C.eq \f(5,7) D．1
答案 D
解析 由题意知tanα＝2，tanβ＝－eq \f(1,3).
∴tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \f(2－\f(1,3),1－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))))＝1.故选D.
4．cseq \f(π,9)·cseq \f(2π,9)·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,9)))＝( )
A．－eq \f(1,8) B．－eq \f(1,16) C.eq \f(1,16) D.eq \f(1,8)
答案 A
解析 cseq \f(π,9)·cseq \f(2π,9)·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,9)))
＝cs20°·cs40°·cs100°＝－cs20°·cs40°·cs80°
＝－eq \f(sin20°·cs20°·cs40°·cs80°,sin20°)
＝－eq \f(\f(1,2)sin40°·cs40°·cs80°,sin20°)＝－eq \f(\f(1,4)sin80°·cs80°,sin20°)
＝－eq \f(\f(1,8)sin160°,sin20°)＝－eq \f(\f(1,8)sin20°,sin20°)＝－eq \f(1,8).故选A.
5．eq \f(\r(3),cs10°)－eq \f(1,sin170°)＝( )
A．4 B．2 C．－2 D．－4
答案 D
解析 eq \f(\r(3),cs10°)－eq \f(1,sin170°)＝eq \f(\r(3),cs10°)－eq \f(1,sin10°)
＝eq \f(\r(3)sin10°－cs10°,sin10°cs10°)＝eq \f(2sin10°－30°,\f(1,2)sin20°)＝eq \f(－2sin20°,\f(1,2)sin20°)＝－4.
故选D.
6．若0<αA.eq \f(\r(3),3) B．－eq \f(\r(3),3) C.eq \f(5\r(3),9) D．－eq \f(\r(6),9)
答案 C
解析 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))，
由0<α由－eq \f(π,2)<β<0，得eq \f(π,4)代入上式，得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))＝eq \f(5\r(3),9)，故选C.
7．已知tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝eq \f(1,2)，则eq \f(sin2α,sin2β)的值为( )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C．3 D．－3
答案 A
解析 eq \f(sin2α,sin2β)＝eq \f(sin[α＋β＋α－β],sin[α＋β－α－β])
＝eq \f(sinα＋βcsα－β＋csα＋βsinα－β,sinα＋βcsα－β－csα＋βsinα－β)
＝eq \f(tanα＋β＋tanα－β,tanα＋β－tanα－β)＝eq \f(1,3).故选A.
8．若将函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋eq \r(3)cs(2x＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度，平移后的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))对称，则函数g(x)＝cs(x＋φ)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,6)))上的最小值是( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(1,2)
答案 D
解析 ∵f(x)＝sin(2x＋φ)＋eq \r(3)cs(2x＋φ)＝2sineq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1())2x＋φ＋eq \f(π,3)eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1())，
∴将函数f(x)的图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度后，
得到函数解析式为y＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＋φ＋\f(π,3)))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋φ＋\f(π,3)))的图象．∵该图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))对称，对称中心在函数图象上，
∴2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,2)＋φ＋\f(π,3)))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋φ＋\f(π,3)))＝0，
解得π＋φ＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，即φ＝kπ－eq \f(5π,6)，k∈Z.
∵0<φ<π，∴φ＝eq \f(π,6)，∴g(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，
∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,6)))，∴x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，
则函数g(x)＝cs(x＋φ)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,6)))上的最小值是eq \f(1,2).故选D.
9．在斜三角形ABC中，sinA＝－eq \r(2)csB·csC，且tanBtanC＝1－eq \r(2)，则角A的值为( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,2) D.eq \f(3π,4)
答案 A
解析 由题意知，－eq \r(2)csBcsC＝sinA＝sin(B＋C)＝sinBcsC＋csBsinC，等式－eq \r(2)csBcsC＝sinBcsC＋csBsinC两边同除以csBcsC，得tanB＋tanC＝－eq \r(2)，又tan(B＋C)＝eq \f(tanB＋tanC,1－tanBtanC)＝－1＝－tanA，即tanA＝1，所以A＝eq \f(π,4).故选A.
10．已知θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，且sinθ－csθ＝－eq \f(\r(14),4)，则eq \f(2cs2θ－1,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ)))等于( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(4,3) C.eq \f(3,4) D.eq \f(3,2)
答案 D
解析 由sinθ－csθ＝－eq \f(\r(14),4)，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ))＝eq \f(\r(7),4)，
∵θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，∴eq \f(π,4)－θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ))＝eq \f(3,4)，
∴eq \f(2cs2θ－1,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ)))＝eq \f(cs2θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ)))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2θ)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ)))
＝eq \f(sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ)))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ)))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ))＝eq \f(3,2).故选D.
二、填空题
11．已知cs(α＋β)cs(α－β)＝eq \f(1,3)，则cs2α－sin2β＝________.
答案 eq \f(1,3)
解析 ∵(csαcsβ－sinαsinβ)(csαcsβ＋sinαsinβ)＝eq \f(1,3)，
∴cs2αcs2β－sin2αsin2β＝eq \f(1,3).∴cs2α(1－sin2β)－(1－cs2α)sin2β＝eq \f(1,3).
∴cs2α－sin2β＝eq \f(1,3).
12．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝eq \f(1,2)，tanβ＝－eq \f(1,7)，则2α－β的值为________．
答案 －eq \f(3π,4)
解析 ∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝eq \f(tanα－β＋tanβ,1－tanα－βtanβ)＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,7),1＋\f(1,2)×\f(1,7))＝eq \f(1,3)>0，
又α∈(0，π)，∴0<α0，
∴0<2α∵tanβ＝－eq \f(1,7)<0，∴eq \f(π,2)<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－eq \f(3π,4).
13．已知α、β为三角形的两个内角，csα＝eq \f(1,7)，sin(α＋β)＝eq \f(5\r(3),14)，则β＝________.
答案 eq \f(π,3)
解析 因为0<α<π，csα＝eq \f(1,7)，所以sinα＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(4\r(3),7)，
故eq \f(π,3)<α所以0<α＋β所以cs(α＋β)＝－eq \r(1－sin2α＋β)＝－eq \f(11,14)，
所以csβ＝cs[(α＋β)－α]＝cs(α＋β)csα＋sin(α＋β)sinα＝eq \f(1,2)，
又0<β<π，所以β＝eq \f(π,3).
14．已知sinα＝eq \f(1,2)＋csα，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则eq \f(cs2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4))))的值为________．
答案 －eq \f(\r(14),2)
解析 ∵sinα＝eq \f(1,2)＋csα，∴sinα－csα＝eq \f(1,2)，
∴(sinα－csα)2＝1－2sinαcsα＝eq \f(1,4)，∴2sinαcsα＝eq \f(3,4)，
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴sinα＋csα＝eq \r(sin2α＋cs2α＋2sinαcsα)＝ eq \r(1＋\f(3,4))＝eq \f(\r(7),2)，
∴eq \f(cs2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4))))＝eq \f(csα＋sinαcsα－sinα,\f(\r(2),2)sinα－csα)＝－eq \r(2)(sinα＋csα)＝－eq \f(\r(14),2).
B级
三、解答题
15．已知a＝(sinx，eq \r(3)csx)，b＝(csx，－csx)，函数f(x)＝a·b＋eq \f(\r(3),2).
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)若方程f(x)＝eq \f(1,3)在(0，π)上的解为x1，x2，求cs(x1－x2)的值．
解 (1)f(x)＝a·b＋eq \f(\r(3),2)＝(sinx，eq \r(3)csx)·(csx，－csx)＋eq \f(\r(3),2)＝sinx·csx－eq \r(3)cs2x＋eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1,2)sin2x－eq \f(\r(3),2)cs2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
令2x－eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得x＝eq \f(5π,12)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z)，
即函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝eq \f(5π,12)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z)．
(2)由条件知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x1－\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x2－\f(π,3)))＝eq \f(1,3)>0，设x1∴cs(x1－x2)＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－x1))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x1－\f(5π,6)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x1－\f(π,3)))－\f(π,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x1－\f(π,3)))＝eq \f(1,3).
16．已知函数f(x)＝2cs2x－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(7π,6))).
(1)求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时x的取值集合；
(2)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝eq \f(3,2)，b＋c＝2.求实数a的取值范围．
解 (1)f(x)＝2cs2x－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(7π,6)))
＝(1＋cs2x)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2xcs\f(7π,6)－cs2xsin\f(7π,6)))
＝1＋eq \f(\r(3),2)sin2x＋eq \f(1,2)cs2x＝1＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
∴函数f(x)的最大值为2.
当且仅当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＝1，即2x＋eq \f(π,6)＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即x＝kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z时取到．
∴函数f(x)的最大值为2时x的取值集合为xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝kπ＋\f(π,6)，k∈Z)).
(2)由题意，f(A)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,6)))＋1＝eq \f(3,2)，
化简得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,6)))＝eq \f(1,2).
∵A∈(0，π)，∴2A＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(13π,6)))，
∴2A＋eq \f(π,6)＝eq \f(5π,6)，∴A＝eq \f(π,3).
在△ABC中，根据余弦定理，
得a2＝b2＋c2－2bccseq \f(π,3)＝(b＋c)2－3bc.
由b＋c＝2，知bc≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b＋c,2)))2＝1，即a2≥1.
∴当且仅当b＝c＝1时，取等号．
又由b＋c>a得a<2.所以a的取值范围是[1,2)．
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB＋eq \r(3)acsB＝eq \r(3)c.
(1)求角A的大小；
(2)已知函数f(x)＝λcs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(A,2)))－3(λ>0，ω>0)的最大值为2，将y＝f(x)的图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的eq \f(3,2)倍后便得到函数y＝g(x)的图象，若函数y＝g(x)的最小正周期为π.当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，求函数f(x)的值域．
解 (1)∵asinB＋eq \r(3)acsB＝eq \r(3)c，
∴sinAsinB＋eq \r(3)sinAcsB＝eq \r(3)sinC.
∵C＝π－(A＋B)，
∴sinAsinB＋eq \r(3)sinAcsB＝eq \r(3)sin(A＋B)
＝eq \r(3)(sinAcsB＋csAsinB)．
即sinAsinB＝eq \r(3)csAsinB.
∵sinB≠0，∴tanA＝eq \r(3)，∵0(2)由A＝eq \f(π,3)，得f(x)＝λcs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))－3＝λ·eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx＋\f(π,3))),2)－3＝eq \f(λ,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx＋\f(π,3)))＋eq \f(λ,2)－3，
∴λ－3＝2，λ＝5.
∴f(x)＝5cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))－3＝eq \f(5,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx＋\f(π,3)))－eq \f(1,2)，
从而g(x)＝eq \f(5,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)ωx＋\f(π,3)))－eq \f(1,2)，∴eq \f(2π,\f(4,3)ω)＝π，得ω＝eq \f(3,2)，
∴f(x)＝eq \f(5,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,3)))－eq \f(1,2).
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，eq \f(π,3)≤3x＋eq \f(π,3)≤eq \f(11π,6)，∴－1≤cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,3)))≤eq \f(\r(3),2)，
从而－3≤f(x)≤eq \f(5\r(3)－2,4)，∴f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－3，\f(5\r(3)－2,4))).
18．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2x))－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3π,4))).
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,3)))，且F(x)＝－4λf(x)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,3)))的最小值是－eq \f(3,2)，求实数λ的值．
解 (1)∵f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2x))－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3π,4)))
＝eq \f(1,2)cs2x＋eq \f(\r(3),2)sin2x＋(sinx－csx)(sinx＋csx)
＝eq \f(1,2)cs2x＋eq \f(\r(3),2)sin2x＋sin2x－cs2x
＝eq \f(1,2)cs2x＋eq \f(\r(3),2)sin2x－cs2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))).
∴函数f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
由2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)得kπ－eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．
(2)F(x)＝－4λf(x)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,3)))
＝－4λsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－2sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))))
＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－4λsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－1
＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－λ))2－1－2λ2.
∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,3)))，∴0≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)，∴0≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))≤1.
①当λ<0时，当且仅当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＝0时，F(x)取得最小值，最小值为－1，这与已知不相符；
②当0≤λ≤1时，当且仅当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＝λ时，F(x)取得最小值，最小值为－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－eq \f(3,2)，解得λ＝－eq \f(1,2)(舍)或λ＝eq \f(1,2)；
③当λ>1时，当且仅当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＝1时，F(x)取得最小值，最小值为1－4λ，由已知得1－4λ＝－eq \f(3,2)，解得λ＝eq \f(5,8)，这与λ>1矛盾．
综上所述，λ＝eq \f(1,2).