高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第3章　三角函数、解三角形3.2(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第3章　三角函数、解三角形3.2(教师版)，共7页。

一、选择题
1．若tan(5π＋α)＝m，则eq \f(sinα－3π＋csπ－α,sin－α－csπ＋α)的值为( )
A.eq \f(m＋1,m－1) B.eq \f(m－1,m＋1) C．－1 D．1
答案 A
解析 由tan(5π＋α)＝m，得tanα＝m.
原式＝eq \f(－sinα－csα,－sinα＋csα)＝eq \f(sinα＋csα,sinα－csα)＝eq \f(tanα＋1,tanα－1)＝eq \f(m＋1,m－1)，
故选A.
2.eq \r(1＋2sinπ－3csπ＋3)化简的结果是( )
A．sin3－cs3 B．cs3－sin3
C．±(sin3－cs3) D．以上都不对
答案 A
解析 ∵sin(π－3)＝sin3，cs(π＋3)＝－cs3，
∴eq \r(1－2sin3·cs3)＝eq \r(sin3－cs32)＝|sin3－cs3|.
∵eq \f(π,2)<3<π，∴sin3>0，cs3<0.∴原式＝sin3－cs3，选A.
3．已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sinα的值是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(3\r(10),10) C.eq \f(3\r(7),7) D.eq \f(3\r(5),5)
答案 B
解析 由tan(π－α)＋3＝0得tanα＝3，即eq \f(sinα,csα)＝3，sinα＝3csα，
所以sin2α＝9(1－sin2α)，10sin2α＝9，sin2α＝eq \f(9,10).
又因为α为锐角，所以sinα＝eq \f(3\r(10),10).故选B.
4．设cs(－80°)＝m，那么tan100°等于( )
A.eq \f(\r(1－m2),m) B．－eq \f(\r(1－m2),m)
C.eq \f(m,\r(1－m2)) D．－eq \f(m,\r(1－m2))
答案 B
解析 ∵cs(－80°)＝m，
∴cs80°＝m，sin80°＝eq \r(1－cs280°)＝eq \r(1－m2).
∴tan100°＝－tan80°＝－eq \f(\r(1－m2),m).故选B.
5．eq \f(sin40°\r(1＋cs80°),\r(1－2sin10°cs10°)＋sin10°)的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \r(2) D.eq \r(3)
答案 B
解析 eq \f(sin40°\r(1＋cs80°),\r(1－2sin10°cs10°)＋sin10°)＝
eq \f(sin40°·\r(2)cs40°,cs10°－sin10°＋sin10°)＝eq \f(\f(\r(2),2)sin80°,cs10°)＝eq \f(\r(2),2).故选B.
6．已知sinθ＋csθ＝eq \f(4,3)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，则sinθ－csθ的值为( )
A.eq \f(\r(2),3) B.eq \f(1,3) C．－eq \f(\r(2),3) D．－eq \f(1,3)
答案 C
解析 (sinθ＋csθ)2＝eq \f(16,9)，∴1＋2sinθcsθ＝eq \f(16,9)，
∴2sinθcsθ＝eq \f(7,9)，由(sinθ－csθ)2＝1－2sinθcsθ＝1－eq \f(7,9)＝eq \f(2,9)，
可得sinθ－csθ＝±eq \f(\r(2),3).又∵θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，sinθ∴sinθ－csθ＝－eq \f(\r(2),3).故选C.
7．已知tanα＝－eq \f(3,4)，则sinα·(sinα－csα)＝( )
A.eq \f(21,25) B.eq \f(25,21) C.eq \f(4,5) D.eq \f(5,4)
答案 A
解析 sinα·(sinα－csα)＝sin2α－sinα·csα
＝eq \f(sin2α－sinα·csα,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan2α－tanα,tan2α＋1)，将tanα＝－eq \f(3,4)代入，
得原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4))),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))2＋1)＝eq \f(21,25)，故选A.
8．cs21°＋cs22°＋cs23°＋…＋cs290°＝( )
A．90 B．45 C．44.5 D．44
答案 C
解析 原式＝(cs21°＋cs289°)＋(cs22°＋cs288°)＋…＋(cs244°＋cs246°)＋cs245°＋cs290°
＝(cs21°＋sin21°)＋(cs22°＋sin22°)＋…＋(cs244°＋sin244°)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2＋0＝1×44＋eq \f(1,2)＋0＝44.5.故选C.
9．已知sinθ＝eq \f(m－3,m＋5)，csθ＝eq \f(4－2m,m＋5)，其中θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则tanθ的值为( )
A．－eq \f(5,12) B.eq \f(5,12)
C．－eq \f(5,12)或－eq \f(3,4) D．与m的值有关
答案 A
解析 已知sinθ＝eq \f(m－3,m＋5)，csθ＝eq \f(4－2m,m＋5)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m－3,m＋5)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4－2m,m＋5)))2＝1所以m＝8，满足题意，tanθ＝eq \f(sinθ,csθ)＝eq \f(m－3,4－2m)＝－eq \f(5,12).故选A.
10．已知3cs2α＋4sinαcsα＋1＝0，则eq \f(sin4α－cs4α,sin2α－sinαcsα)＝( )
A．－2 B．2 C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
答案 D
解析 ∵3cs2α＋4sinαcsα＋1＝0，∴4cs2α＋4sinαcsα＋sin2α＝0，
∴(sinα＋2csα)2＝0，∴tanα＝－2.
eq \f(sin4α－cs4α,sinαsinα－csα)＝eq \f(sin2α－cs2α,sinαsinα－csα)＝eq \f(sinα＋csα,sinα)＝1＋eq \f(1,tanα)＝eq \f(1,2).故选D.
二、填空题
11．已知θ为第四象限角，sinθ＋3csθ＝1，则tanθ＝________.
答案 －eq \f(4,3)
解析 由(sinθ＋3csθ)2＝1＝sin2θ＋cs2θ，得6sinθcsθ＝－8cs2θ，又因为θ为第四象限角，所以csθ≠0，所以6sinθ＝－8csθ，
所以tanθ＝－eq \f(4,3).
12．已知θ是三角形的一个内角，且sinθ、csθ是关于x的方程4x2＋px－2＝0的两根，则θ等于________．
答案 eq \f(3π,4)
解析 由题意知sinθ·csθ＝－eq \f(1,2)，联立
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin2θ＋cs2θ＝1，,sinθ·csθ＝－\f(1,2)，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinθ＝\f(\r(2),2)，,csθ＝－\f(\r(2),2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinθ＝－\f(\r(2),2)，,csθ＝\f(\r(2),2)，))
又θ为三角形的一个内角，∴sinθ>0，则csθ＝－eq \f(\r(2),2)，
∴θ＝eq \f(3π,4).
13．已知eq \f(1－csx,sinx)＝－eq \f(1,3)，则eq \f(1＋csx,sinx)的值是________．
答案 －3
解析 ∵sin2x＋cs2x＝1，
∴sin2x＝1－cs2x，即eq \f(1－csx,sinx)＝eq \f(sinx,1＋csx)，
∵eq \f(1－csx,sinx)＝－eq \f(1,3)，∴eq \f(1＋csx,sinx)＝eq \f(sinx,1－csx)＝－3.
14．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－eq \r(2)sin(π－B)，eq \r(3)csA＝－eq \r(2)cs(π－B)，则C＝________.
答案 eq \f(7π,12)
解析 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinA＝\r(2)sinB，①,\r(3)csA＝\r(2)csB，②))
①2＋②2，得2cs2A＝1，即csA＝±eq \f(\r(2),2)，
当csA＝eq \f(\r(2),2)时，csB＝eq \f(\r(3),2)，又A、B是三角形的内角，
所以A＝eq \f(π,4)，B＝eq \f(π,6)，所以C＝π－(A＋B)＝eq \f(7π,12).
当csA＝－eq \f(\r(2),2)时，csB＝－eq \f(\r(3),2).
又A、B是三角形的内角，所以A＝eq \f(3π,4)，B＝eq \f(5π,6)，不合题意．
综上，C＝eq \f(7π,12).
三、解答题
15．已知－eq \f(π,2)<α<0，且函数f(α)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))－sinα·eq \r(\f(1＋csα,1－csα))－1.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝eq \f(1,5)，求sinα·csα和sinα－csα的值．
解 (1)f(α)＝sinα－sinα·eq \r(\f(1＋csα2,1－cs2α))－1＝sinα＋sinα·eq \f(1＋csα,sinα)－1
＝sinα＋csα.
(2)由f(α)＝sinα＋csα＝eq \f(1,5)，平方可得sin2α＋2sinα·csα＋cs2α＝eq \f(1,25)，则2sinα·csα＝－eq \f(24,25).
∴sinα·csα＝－eq \f(12,25).∵(sinα－csα)2＝1－2sinα·csα＝eq \f(49,25)，
又－eq \f(π,2)<α<0，∴sinα<0，csα>0，∴sinα－csα<0，
∴sinα－csα＝－eq \f(7,5).
16．已知f(x)＝eq \f(cs2nπ＋x·sin2nπ－x,cs2[2n＋1π－x])(n∈Z)．
(1)化简f(x)的表达式；
(2)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2018)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(504π,1009)))的值．
解 (1)f(x)＝eq \f(cs2nπ＋x·sin2nπ－x,cs2[2n＋1π－x]) ＝eq \f(cs2x·sin2x,cs2x)＝sin2x.
(2)由(1)得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2018)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(504π,1009)))＝sin2eq \f(π,2018)＋sin2eq \f(1008π,2018)
＝sin2eq \f(π,2018)＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(π,2018)))＝sin2eq \f(π,2018)＋cs2eq \f(π,2018)＝1.