高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第3章　三角函数、解三角形3.1(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第3章　三角函数、解三角形3.1(教师版)，共7页。

一、选择题
1．给出下列四个命题：
①－eq \f(3π,4)是第二象限角；②eq \f(4π,3)是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 ①中－eq \f(3π,4)是第三象限角，故①错．②中eq \f(4π,3)＝π＋eq \f(π,3)，从而eq \f(4π,3)是第三象限角，故②正确．③中－400°＝－360°－40°，从而③正确．④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确．故选C.
2．sin2·cs3·tan4的值( )
A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在
答案 A
解析 ∵eq \f(π,2)<2<3<π<40，cs3<0，
tan4>0.∴sin2·cs3·tan4<0，故选A.
3．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
答案 C
解析 设此扇形的半径为r，弧长是l，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2r＋l＝6，,\f(1,2)rl＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝1，,l＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝2，,l＝2.))
从而α＝eq \f(l,r)＝eq \f(4,1)＝4或α＝eq \f(l,r)＝eq \f(2,2)＝1.故选C.
4．若eq \f(π,4)<θA．sinθ>csθ>tanθ B．csθ>tanθ>sinθ
C．sinθ>tanθ>csθ D．tanθ>sinθ>csθ
答案 D
解析 ∵eq \f(π,4)<θ1，sinθ－csθ＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4))).
∵eq \f(π,4)<θ0，∴sinθ>csθ.故选D.
5．在△ABC中，若sinA·csB·tanC<0，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
答案 B
解析 ∵△ABC中每个角都在(0，π)内，∴sinA>0.
∵sinA·csB·tanC<0，∴csB·tanC<0.
若B，C同为锐角，则csB·tanC>0.
∴B，C中必定有一个钝角．
∴△ABC是钝角三角形．故选B.
6．已知角α的终边经过点(3a,4a)(a≠0)，则sinα＋csα的值为( )
A.eq \f(7,5) B．－eq \f(7,5) C．±eq \f(7,5) D．±eq \f(3,4)
答案 C
解析 ∵角α的终边经过点(3a,4a)(a≠0)，当a>0时，r＝5a，
sinα＝eq \f(y,r)＝eq \f(4,5)，csα＝eq \f(x,r)＝eq \f(3,5)，sinα＋csα＝eq \f(7,5)；
当a<0时，r＝|5a|＝－5a，sinα＝eq \f(y,r)＝－eq \f(4,5)，csα＝eq \f(x,r)＝－eq \f(3,5)，
sinα＋csα＝－eq \f(7,5).
综上可得，sinα＋csα＝±eq \f(7,5).故选C.
7．已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是( )
A．若α，β是第一象限的角，则csα>csβ
B．若α，β是第二象限的角，则tanα>tanβ
C．若α，β是第三象限的角，则csα>csβ
D．若α，β是第四象限的角，则tanα>tanβ
答案 D
解析 由三角函数线可知，选D.
8．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )
A．2 B．sin2 C.eq \f(2,sin1) D．2sin1
答案 C
解析 如图，∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交弧AB于D.则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝eq \f(1,2)AB＝1，
在Rt△AOC中，AO＝eq \f(AC,sin∠AOC)＝eq \f(1,sin1)，
即r＝eq \f(1,sin1)，从而弧AB的长为l＝|α|·r＝eq \f(2,sin1).故选C.
9．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )
A．sinα＋csα<0 B．tanα－sinα<0
C．csα－tanα<0 D．tanαsinα<0
答案 B
解析 ∵α是第三象限角，∴sinα<0，csα<0，tanα>0，则可排除A，C，D.故选B.
10．已知角α的终边经过点(eq \r(m)，eq \r(3,m))，若α＝eq \f(7π,3)，则m的值为( )
A．27 B.eq \f(1,27) C．9 D.eq \f(1,9)
答案 B
解析 角α的终边经过点(eq \r(m)，eq \r(3,m))，若α＝eq \f(7π,3)，
则taneq \f(7π,3)＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3)＝eq \f(\r(3,m),\r(m))＝m－eq \f(1,6)，则m＝eq \f(1,27).故选B.
二、填空题
11．若角θ的终边经过点P(－eq \r(3)，m)(m≠0)且sinθ＝eq \f(\r(2),4)m，则csθ的值为________．
答案 －eq \f(\r(6),4)
解析 点P(－eq \r(3)，m)是角θ终边上一点，
由三角函数定义可知sinθ＝eq \f(m,\r(3＋m2)).又sinθ＝eq \f(\r(2),4)m，∴eq \f(m,\r(3＋m2))＝eq \f(\r(2),4)m.
又m≠0，∴m2＝5，∴csθ＝eq \f(－\r(3),\r(3＋m2))＝－eq \f(\r(6),4).
12．已知eq \f(1,|sinα|)＝－eq \f(1,sinα)，且lg csα有意义，则α所在象限为第________象限．
答案 四
解析 由eq \f(1,|sinα|)＝－eq \f(1,sinα)可知，sinα<0，
∴α是第三或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上的角．
由lg csα有意义可知csα>0，
∴α是第一或第四象限角或终边在x轴的非负半轴上的角，综上可知角α是第四象限角．
13．若角α的终边在直线y＝－3x上，则10sinα＋eq \f(3,csα)＝________.
答案 0
解析 设角α终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，
则r＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(k2＋－3k2)＝eq \r(10)|k|.当k>0时，r＝eq \r(10)k.
∴sinα＝eq \f(－3k,\r(10)k)＝－eq \f(3,\r(10))，eq \f(1,csα)＝eq \f(\r(10)k,k)＝eq \r(10).
∴10sinα＋eq \f(3,csα)＝－3eq \r(10)＋3eq \r(10)＝0.
当k<0时，r＝－eq \r(10)k.
∴sinα＝eq \f(－3k,－\r(10)k)＝eq \f(3,\r(10))，eq \f(1,csα)＝eq \f(－\r(10)k,k)＝－eq \r(10).
∴10sinα＋eq \f(3,csα)＝3eq \r(10)－3eq \r(10)＝0.
综上，10sinα＋eq \f(3,csα)＝0.
14．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正方向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，eq \(OP,\s\up16(→))的坐标为________．
答案 (2－sin2,1－cs2)
解析 因为圆心由(0,1)平移到了(2,1)，所以在此过程中P点所经过的弧长为2，其所对圆心角为2.
如图所示，过P点作x轴的垂线，垂足为A，圆心为C，与x轴相切于点B，过C作PA的垂线，垂足为D，
则∠PCD＝2－eq \f(π,2)，|PD|＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(π,2)))＝－cs2，|CD|＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(π,2)))＝sin2，
所以P点坐标为(2－sin2,1－cs2)，
即eq \(OP,\s\up16(→))的坐标为(2－sin2,1－cs2)．
三、解答题
15．已知扇形AOB的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解 设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
(1)由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2r＋l＝8，,\f(1,2)lr＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝3，,l＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝1，,l＝6，))
∴α＝eq \f(l,r)＝eq \f(2,3)或α＝eq \f(l,r)＝6.
(2)∵2r＋l＝8，
∴S扇＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4，
当且仅当r＝2，即α＝eq \f(l,r)＝2时，扇形面积取得最大值4.
∴弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.
16．已知sinα<0，tanα>0.
(1)求α角的集合；
(2)求eq \f(α,2)终边所在的象限；
(3)试判断taneq \f(α,2)sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)的符号．
解 (1)由sinα<0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；
由tanα>0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，
其集合为{αeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(2kπ＋π<α<2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z)).
(2)由2kπ＋π<α<2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，
得kπ＋eq \f(π,2)故eq \f(α,2)终边在第二、四象限．
(3)当eq \f(α,2)在第二象限时，taneq \f(α,2)<0，
sineq \f(α,2)>0，cseq \f(α,2)<0，
所以taneq \f(α,2)sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)取正号；
当eq \f(α,2)在第四象限时，taneq \f(α,2)<0，
sineq \f(α,2)<0，cseq \f(α,2)>0，
所以taneq \f(α,2)sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)也取正号．
因此，taneq \f(α,2)sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)取正号．