高考数学(文数)一轮复习考点测试22《简单的三角恒等变换》（教师版）

这是一份高考数学(文数)一轮复习考点测试22《简单的三角恒等变换》（教师版），共10页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。

一、基础小题
1．已知tanα＝2，则eq \f(sin2α,cs2α)的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
答案 C
解析 eq \f(sin2α,cs2α)＝eq \f(2sinαcsα,cs2α)＝2tanα＝4，故选C．
2．已知csα＝eq \f(1,3)，α∈(π，2π)，则cseq \f(α,2)等于( )
A．eq \f(\r(6),3) B．－eq \f(\r(6),3) C．eq \f(\r(3),3) D．－eq \f(\r(3),3)
答案 B
解析 ∵csα＝eq \f(1,3)，α∈(π，2π)，∴eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))．
∴cseq \f(α,2)＝－eq \r(\f(1＋csα,2))＝－eq \r(\f(1＋\f(1,3),2))＝－eq \f(\r(6),3)．故选B．
3．若cseq \f(π,2)－α＝eq \f(1,3)，则cs(π－2α)＝( )
A．－eq \f(4\r(2),9) B．eq \f(4\r(2),9) C．－eq \f(7,9) D．eq \f(7,9)
答案 C
解析 解法一：因为cseq \f(π,2)－α＝sinα＝eq \f(1,3)，
所以cs(π－2α)＝－cs2α＝2sin2α－1＝－eq \f(7,9)，故选C．
解法二：cs(π－2α)＝2cs2eq \f(π,2)－α－1＝2×eq \f(1,9)－1＝－eq \f(7,9)，故选C．
4．已知tan(α＋β)＝eq \f(1,2)，tanβ＝eq \f(1,3)，则tanα－eq \f(π,4)＝( )
A．eq \f(3,4) B．－eq \f(3,4) C．eq \f(1,7) D．eq \f(6,7)
答案 B
解析 因为tanα＝tan[(α＋β)－β]＝eq \f(tanα＋β－tanβ,1＋tanα＋βtanβ)＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq \f(1,7)，
所以tanα－eq \f(π,4)＝eq \f(tanα－tan\f(π,4),1＋tanαtan\f(π,4))＝eq \f(\f(1,7)－1,1＋\f(1,7))＝－eq \f(3,4)，故选B．
5．若α为锐角，3sinα＝tanα＝eq \r(2)tanβ，则tan2β＝( )
A．eq \f(3,4) B．eq \f(4,3) C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(4,3)
答案 D
解析 因为3sinα＝tanα＝eq \f(sinα,csα)，α为锐角，所以csα＝eq \f(1,3)，sinα＝eq \f(2\r(2),3)，
所以tanα＝eq \f(sinα,csα)＝2eq \r(2)＝eq \r(2)tanβ，所以tanβ＝2，tan2β＝eq \f(4,1－4)＝－eq \f(4,3)．故选D．
6．cs20°cs40°cs80°的值为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,4) C．eq \f(1,8) D．eq \f(1,16)
答案 C
解析 cs20°cs40°cs80°＝eq \f(8sin20°cs20°cs40°cs80°,8sin20°)＝eq \f(sin160°,8sin20°)＝eq \f(1,8)．故选C．
7．已知cs(x＋2θ)＋2sinθsin(x＋θ)＝eq \f(1,3)，则cs2x的值为________．
答案 －eq \f(7,9)
解析 cs(x＋2θ)＋2sinθsin(x＋θ)＝cs(x＋θ)csθ＋sinθsin(x＋θ)＝csx＝eq \f(1,3)，则cs2x＝2cs2x－1＝－eq \f(7,9)．
8．化简：eq \f(2sinπ－α＋sin2α,cs2\f(α,2))＝________．
答案 4sinα
解析 eq \f(2sinπ－α＋sin2α,cs2\f(α,2))＝eq \f(2sinα＋2sinαcsα,\f(1,2)1＋csα)＝eq \f(4sinα1＋csα,1＋csα)＝4sinα．
二、高考小题
9．若tanα＝2taneq \f(π,5)，则eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝eq \f(sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10))))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))
＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,5))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝eq \f(sinαcs\f(π,5)＋csαsin\f(π,5),sinαcs\f(π,5)－csαsin\f(π,5))＝eq \f(tanα＋tan\f(π,5),tanα－tan\f(π,5))，
∵tanα＝2taneq \f(π,5)，∴eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝eq \f(3tan\f(π,5),tan\f(π,5))＝3．故选C．
10．已知sinα＋csβ＝1，csα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________．
答案 －eq \f(1,2)
解析 解法一：因为sinα＋csβ＝1，csα＋sinβ＝0，所以(1－sinα)2＋(－csα)2＝1，所以sinα＝eq \f(1,2)，csβ＝eq \f(1,2)，因此sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)－cs2α＝eq \f(1,4)－1＋sin2α＝eq \f(1,4)－1＋eq \f(1,4)＝－eq \f(1,2)．
解法二：由(sinα＋csβ)2＋(csα＋sinβ)2＝1，得2＋2sin(α＋β)＝1，
所以sin(α＋β)＝－eq \f(1,2)．
11．已知2cs2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________．
答案 eq \r(2) 1
解析 ∵2cs2x＋sin2x＝1＋cs2x＋sin2x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋1，∴A＝eq \r(2)，b＝1．
12．已知θ是第四象限角，且sinθ＋eq \f(π,4)＝eq \f(3,5)，则tanθ－eq \f(π,4)＝________．
答案 －eq \f(4,3)
解析 解法一：∵sinθ＋eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)×(sinθ＋csθ)＝eq \f(3,5)，
∴sinθ＋csθ＝eq \f(3\r(2),5) ①，∴2sinθcsθ＝－eq \f(7,25)．
∵θ是第四象限角，∴sinθ＜0，csθ＞0，
∴sinθ－csθ＝－eq \r(1－2sinθcsθ)＝－eq \f(4\r(2),5) ②，
由①②得sinθ＝－eq \f(\r(2),10)，csθ＝eq \f(7\r(2),10)，∴tanθ＝－eq \f(1,7)，
∴tanθ－eq \f(π,4)＝eq \f(tanθ－1,1＋tanθ)＝－eq \f(4,3)．
解法二：∵θ＋eq \f(π,4)＋eq \f(π,4)－θ＝eq \f(π,2)，∴sinθ＋eq \f(π,4)＝cseq \f(π,4)－θ＝eq \f(3,5)，
又2kπ－eq \f(π,2)＜θ＜2kπ，k∈Z，∴2kπ－eq \f(π,4)＜θ＋eq \f(π,4)＜2kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z，
∴csθ＋eq \f(π,4)＝eq \f(4,5)，∴sineq \f(π,4)－θ＝eq \f(4,5)，∴taneq \f(π,4)－θ＝eq \f(sin\f(π,4)－θ,cs\f(π,4)－θ)＝eq \f(4,3)，
∴tanθ－eq \f(π,4)＝－taneq \f(π,4)－θ＝－eq \f(4,3)．
解法三：∵θ是第四象限角，
∴2kπ－eq \f(π,2)＜θ＜2kπ，k∈Z，∴2kπ－eq \f(π,4)＜θ＋eq \f(π,4)＜2kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z，
又sinθ＋eq \f(π,4)＝eq \f(3,5)，∴csθ＋eq \f(π,4)＝eq \f(4,5)，
∴tanθ－eq \f(π,4)＝eq \f(tanθ－1,tanθ＋1)＝eq \f(sinθ－csθ,sinθ＋csθ)＝eq \f(－cs\f(π,4)＋θ,sin\f(π,4)＋θ)＝eq \f(－\f(4,5),\f(3,5))＝－eq \f(4,3)．
三、模拟小题
13．若α∈eq \f(π,2)，π，且3cs2α＝sineq \f(π,4)－α，则sin2α的值为( )
A．－eq \f(1,18) B．eq \f(1,18) C．－eq \f(17,18) D．eq \f(17,18)
答案 C
解析 由3cs2α＝sineq \f(π,4)－α可得3(cs2α－sin2α)＝
eq \f(\r(2),2)(csα－sinα)，又由α∈eq \f(π,2)，π可知csα－sinα≠0，
于是3(csα＋sinα)＝eq \f(\r(2),2)，所以1＋2sinαcsα＝eq \f(1,18)，故sin2α＝－eq \f(17,18)．故选C．
14．已知α，β均为锐角，且sinα＝eq \f(4\r(3),7)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，则β等于( )
A．eq \f(π,3) B．eq \f(π,4) C．eq \f(π,6) D．eq \f(π,12)
答案 A
解析 ∵α为锐角且sinα＝eq \f(4\r(3),7)，∴csα＝eq \f(1,7)．
∵α，β均为锐角，∴0