高考数学(文数)一轮复习考点测试46《椭圆》（教师版）

这是一份高考数学(文数)一轮复习考点测试46《椭圆》（教师版），共12页。试卷主要包含了了解椭圆的简单应用，理解数形结合的思想，故选C等内容，欢迎下载使用。

本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分或12分，中、高等难度
考纲研读
1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)
2．了解椭圆的简单应用
3．理解数形结合的思想
一、基础小题
1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于eq \f(1,2)，则C的方程是( )
A．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,\r(3))＝1 C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,4)＋y2＝1
答案 C
解析 依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝eq \f(c,a)⇒a＝2，b2＝a2－c2＝3，
因此其方程是eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，故选C．
2．到点A(－4，0)与点B(4，0)的距离之和为10的点的轨迹方程为( )
A．eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1 B．eq \f(x2,25)－eq \f(y2,16)＝1 C．eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1 D．eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1
答案 C
解析 由椭圆的定义可知该点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，而c＝4，a＝5，故b2＝a2－c2＝9．故选C．
3．已知△ABC的顶点B，C在椭圆eq \f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2eq \r(3) B．6 C．4eq \r(3) D．12
答案 C
解析 依题意，记椭圆的另一个焦点为F，则△ABC的周长等于|AB|＋|AC|＋|BC|＝|AB|＋|AC|＋|BF|＋|CF|＝(|AB|＋|BF|)＋(|AC|＋|CF|)＝4eq \r(3)，故选C．
4．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m等于( )
A．eq \f(1,2) B．2 C．4 D．eq \f(1,4)
答案 D
解析 由x2＋eq \f(y2,\f(1,m))＝1及题意知，2eq \r(\f(1,m))＝2×2×1，m＝eq \f(1,4)，故选D．
5．已知动点M(x，y)满足eq \r(x＋22＋y2)＋eq \r(x－22＋y2)＝4，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
答案 D
解析 设点F1(－2，0)，F2(2，0)，由题意知动点M满足|MF1|＋|MF2|＝4＝|F1F2|，故动点M的轨迹是线段F1F2．故选D．
6．设F1，F2为椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则eq \f(|PF2|,|PF1|)的值为( )
A．eq \f(5,14) B．eq \f(5,13) C．eq \f(4,9) D．eq \f(5,9)
答案 B
解析 由题意知a＝3，b＝eq \r(5)．由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝6．在△PF1F2中，因为PF1的中点在y轴上，O为F1F2的中点，由三角形中位线的性质可推得PF2⊥x轴，所以由x＝c时可得|PF2|＝eq \f(b2,a)＝eq \f(5,3)，所以|PF1|＝6－|PF2|＝eq \f(13,3)，所以eq \f(|PF2|,|PF1|)＝eq \f(5,13)，故选B．
7．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
答案 B
解析 点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，动点P的轨迹是椭圆．故选B．
8．若椭圆的方程为eq \f(x2,10－a)＋eq \f(y2,a－2)＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________．
答案 4或8
解析 对椭圆的焦点位置进行讨论．由椭圆的焦距为4得c＝2，当2二、高考小题
9．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2) C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(2\r(2),3)
答案 C
解析 根据题意，可知c＝2，因为b2＝4，所以a2＝b2＋c2＝8，即a＝2eq \r(2)，所以椭圆C的离心率为e＝eq \f(2,2\r(2))＝eq \f(\r(2),2)．故选C．
10．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1－eq \f(\r(3),2) B．2－eq \r(3) C．eq \f(\r(3)－1,2) D．eq \r(3)－1
答案 D
解析 在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，
设|PF2|＝m，则2c＝|F1F2|＝2m，|PF1|＝eq \r(3)m，
又由椭圆定义可知2a＝|PF1|＋|PF2|＝(eq \r(3)＋1)m，
则离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(2m,\r(3)＋1m)＝eq \r(3)－1．故选D．
11．已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq \f(\r(3),6)的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(1,2) C．eq \f(1,3) D．eq \f(1,4)
答案 D
解析 依题意易知|PF2|＝|F1F2|＝2c，且P在第一象限内，由∠F1F2P＝120°可得P点的坐标为(2c，eq \r(3)c)．又因为kAP＝eq \f(\r(3),6)，即eq \f(\r(3)c,2c＋a)＝eq \f(\r(3),6)，所以a＝4c，e＝eq \f(1,4)，故选D．
12．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A．eq \f(\r(6),3) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(\r(2),3) D．eq \f(1,3)
答案 A
解析 由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为a．
又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝eq \f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，解得a＝eq \r(3)b，
∴eq \f(b,a)＝eq \f(1,\r(3))，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2－b2),a)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3))))2)＝eq \f(\r(6),3)．故选A．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝eq \f(b,2)与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
答案 eq \f(\r(6),3)
解析 由已知条件易得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)a，\f(b,2)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)a，\f(b,2)))，F(c，0)，
∴eq \(BF,\s\up6(→))＝c＋eq \f(\r(3),2)a，－eq \f(b,2)，eq \(CF,\s\up6(→))＝c－eq \f(\r(3),2)a，－eq \f(b,2)，由∠BFC＝90°，可得eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝0，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－\f(\r(3),2)a))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋\f(\r(3),2)a))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2)))2＝0，c2－eq \f(3,4)a2＋eq \f(1,4)b2＝0，
即4c2－3a2＋(a2－c2)＝0，亦即3c2＝2a2，所以eq \f(c2,a2)＝eq \f(2,3)，则e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)．
三、模拟小题
14．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )
A．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,32)＝1 B．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1 C．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1 D．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1
答案 B
解析 椭圆长轴长为6，即2a＝6，得a＝3，∵两焦点恰好将长轴三等分，∴2c＝eq \f(1,3)·2a＝2，得c＝1，因此，b2＝a2－c2＝9－1＝8，∴此椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1．故选B．
15．已知点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( )
A．eq \f(\r(5),5) B．eq \f(\r(10),5) C．eq \f(2\r(5),5) D．eq \f(2\r(10),5)
答案 A
解析 A(－1，0)关于直线l：y＝x＋3的对称点为A′(－3，2)，连接A′B交直线l于点P，则此时椭圆C的长轴长最短，为|A′B|＝2eq \r(5)，所以椭圆C的离心率的最大值为eq \f(1,\r(5))＝eq \f(\r(5),5)．故选A．
16．设P为椭圆C：eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为( )
A．24 B．12 C．8 D．6
答案 C
解析 ∵P为椭圆C：eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝8，又∵|F1F2|＝2c＝2eq \r(49－24)＝10，∴易知△PF1F2是直角三角形，
S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝24，∵△PF1F2的重心为点G，∴S△PF1F2＝3S△GPF1，
∴△GPF1的面积为8，故选C．
17．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若eq \(NM,\s\up6(→))·eq \(NF,\s\up6(→))＝0，则椭圆的离心率为( )
A．eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(2)－1,2) C．eq \f(\r(3)－1,2) D．eq \f(\r(5)－1,2)
答案 D
解析 由题意知，M(－a，0)，N(0，b)，F(c，0)，∴eq \(NM,\s\up6(→))＝(－a，－b)，eq \(NF,\s\up6(→))＝(c，－b)．
∵eq \(NM,\s\up6(→))·eq \(NF,\s\up6(→))＝0，∴－ac＋b2＝0，即b2＝ac．又b2＝a2－c2，∴a2－c2＝ac．
∴e2＋e－1＝0，解得e＝eq \f(\r(5)－1,2)或e＝eq \f(－\r(5)－1,2)(舍去)．∴椭圆的离心率为eq \f(\r(5)－1,2)，故选D．
18．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，且60°<∠PF1F2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A．eq \f(\r(3)－1,2)，1 B．eq \f(\r(3)－1,2)，eq \f(1,2) C．eq \f(1,2)，1 D．0，eq \f(1,2)
答案 B
解析 由题意可得，|PF2|2＝|F1F2|2＋|PF1|2－2|F1F2|·|PF1|cs∠PF1F2＝4c2＋4c2－2·2c·2c·cs∠PF1F2，即|PF2|＝2eq \r(2)c·eq \r(1－cs∠PF1F2)，所以a＝eq \f(|PF1|＋|PF2|,2)＝c＋eq \r(2)c·eq \r(1－cs∠PF1F2)，又60°<∠PF1F2<120°，∴－eq \f(1,2)所以2c一、高考大题
1．已知斜率为k的直线l与椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1交于A，B两点．线段AB的中点为M(1，m)(m>0)．
(1)证明：k<－eq \f(1,2)；
(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且Feq \(P,\s\up6(→))＋Feq \(A,\s\up6(→))＋Feq \(B,\s\up6(→))＝0．证明：|eq \(FA,\s\up6(→))|，|eq \(FP,\s\up6(→))|，|eq \(FB,\s\up6(→))|成等差数列，并求该数列的公差．
解 (1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \f(x\\al(2,1),4)＋eq \f(y\\al(2,1),3)＝1，eq \f(x\\al(2,2),4)＋eq \f(y\\al(2,2),3)＝1．
两式相减，并由eq \f(y1－y2,x1－x2)＝k得eq \f(x1＋x2,4)＋eq \f(y1＋y2,3)·k＝0．
由题设知eq \f(x1＋x2,2)＝1，eq \f(y1＋y2,2)＝m，于是k＝－eq \f(3,4m)．①
由题设得m0，即0(2)由题意得F(1，0)．设P(x3，y3)，
则由(1)及题设得(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0，0)，
x3＝3－(x1＋x2)＝1，y3＝－(y1＋y2)＝－2m<0．
又点P在C上，所以m＝eq \f(3,4)，从而P1，－eq \f(3,2)，|Feq \(P,\s\up6(→))|＝eq \f(3,2)．
于是|Feq \(A,\s\up6(→))|＝eq \r(x1－12＋y\\al(2,1))＝eq \r(x1－12＋31－\f(x\\al(2,1),4))＝2－eq \f(x1,2)．同理|Feq \(B,\s\up6(→))|＝2－eq \f(x2,2)．
所以|Feq \(A,\s\up6(→))|＋|Feq \(B,\s\up6(→))|＝4－eq \f(1,2)(x1＋x2)＝3．
故2|Feq \(P,\s\up6(→))|＝|Feq \(A,\s\up6(→))|＋|Feq \(B,\s\up6(→))|，即|eq \(FA,\s\up6(→))|，|eq \(FP,\s\up6(→))|，|eq \(FB,\s\up6(→))|成等差数列．
设该数列的公差为d，则2|d|＝||eq \(FB,\s\up6(→))|－|eq \(FA,\s\up6(→))||＝eq \f(1,2)|x1－x2|＝eq \f(1,2)eq \r(x1＋x22－4x1x2)． ②
将m＝eq \f(3,4)代入①得k＝－1．所以l的方程为y＝－x＋eq \f(7,4)，
代入C的方程，并整理得7x2－14x＋eq \f(1,4)＝0．
故x1＋x2＝2，x1x2＝eq \f(1,28)，代入②解得|d|＝eq \f(3\r(21),28)．
所以该数列的公差为eq \f(3\r(21),28)或－eq \f(3\r(21),28)．
2．设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为eq \f(\r(5),3)，|AB|＝eq \r(13)．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l：y＝kx(k<0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．
解 (1)设椭圆的焦距为2c，由已知得eq \f(c2,a2)＝eq \f(5,9)，
又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b．
由|AB|＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(13)，从而a＝3，b＝2．
所以，椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1．
(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点M的坐标为(x2，y2)，
由题意，x2>x1>0，点Q的坐标为(－x1，－y1)．
由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得|PM|＝2|PQ|，
从而x2－x1＝2[x1－(－x1)]，即x2＝5x1．
易知直线AB的方程为2x＋3y＝6，
由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝6，,y＝kx，))消去y，可得x2＝eq \f(6,3k＋2)．
由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,9)＋\f(y2,4)＝1，,y＝kx))消去y，可得x1＝eq \f(6,\r(9k2＋4))．
由x2＝5x1，可得eq \r(9k2＋4)＝5(3k＋2)，两边平方，整理得18k2＋25k＋8＝0，
解得k＝－eq \f(8,9)，或k＝－eq \f(1,2)．
当k＝－eq \f(8,9)时，x2＝－9<0，不符合题意，舍去；
当k＝－eq \f(1,2)时，x2＝12，x1＝eq \f(12,5)，符合题意．
所以，k的值为－eq \f(1,2)．
3．已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，焦点在x轴上，离心率为eq \f(\r(3),2)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5．
解 (1)设椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，))解得c＝eq \r(3)，所以b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1．
(2)证明：设M(m，n)，则D(m，0)，N(m，－n)，
由题设知m≠±2，且n≠0．
直线AM的斜率kAM＝eq \f(n,m＋2)，
故直线DE的斜率kDE＝－eq \f(m＋2,n)，
所以直线DE的方程为y＝－eq \f(m＋2,n)(x－m)，
直线BN的方程为y＝eq \f(n,2－m)(x－2)．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\f(m＋2,n)x－m，,y＝\f(n,2－m)x－2，))解得点E的纵坐标yE＝－eq \f(n4－m2,4－m2＋n2)．
由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，所以yE＝－eq \f(4,5)n．
又S△BDE＝eq \f(1,2)|BD|·|yE|＝eq \f(2,5)|BD|·|n|，S△BDN＝eq \f(1,2)|BD|·|n|，
所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5．
二、模拟大题
4．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \f(1,2)，直线y＝1与C的两个交点间的距离为eq \f(4\r(6),3)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)分别过F1，F2作l1，l2满足l1∥l2，设l1，l2与C的上半部分分别交于A，B两点，求四边形ABF2F1面积的最大值．
解 (1)易知椭圆过点eq \f(2\r(6),3)，1，
所以eq \f(8,3a2)＋eq \f(1,b2)＝1，①
又eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，②
a2＝b2＋c2，③
所以由①②③得a2＝4，b2＝3，
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1．
(2)设直线l1的方程为x＝my－1，它与C的另一个交点为D．
将直线l1与椭圆C的方程联立，消去x，
得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，Δ＝144(m2＋1)>0．
|AD|＝eq \r(1＋m2)·eq \f(12\r(1＋m2),3m2＋4)，
又F2到l1的距离d＝eq \f(2,\r(1＋m2))，所以S△ADF2＝eq \f(12\r(1＋m2),3m2＋4)．
令t＝eq \r(1＋m2)，t≥1，则S△ADF2＝eq \f(12,3t＋\f(1,t))，
当t＝1时，S△ADF2取得最大值，为3．
又S四边形ABF2F1＝eq \f(1,2)·(|BF2|＋|AF1|)·d＝eq \f(1,2)(|AF1|＋|DF1|)·d＝eq \f(1,2)|AD|d＝S△ADF2，
所以四边形ABF2F1面积的最大值为3．
5．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq \f(\r(6),3)，原点到过点A(0，－b)和B(a，0)的直线的距离为eq \f(\r(3),2)．
(1)求椭圆的方程；
(2)设F1，F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P，Q两点，求△PQF1内切圆半径r的最大值．
解 (1)直线AB的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－b)＝1，即bx－ay－ab＝0．
原点到直线AB的距离为eq \f(|－ab|,\r(－a2＋b2))＝eq \f(\r(3),2)，
即3a2＋3b2＝4a2b2，①
由e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)，得c2＝eq \f(2,3)a2，②
又a2＝b2＋c2，③
所以联立①②③可得a2＝3，b2＝1，c2＝2．
故椭圆的方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1．
(2)由(1)得F1(－eq \r(2)，0)，F2(eq \r(2)，0)，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．易知直线PQ的斜率不为0，故设其方程为x＝ky＋eq \r(2)，
联立直线与椭圆的方程得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ky＋\r(2)，,\f(x2,3)＋y2＝1，))消去x得(k2＋3)y2＋2eq \r(2)ky－1＝0．
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝－\f(2\r(2)k,k2＋3)，,y1y2＝－\f(1,k2＋3).))④
而S△PQF1＝S△F1F2P＋S△F1F2Q＝eq \f(1,2)|F1F2||y1－y2|＝eq \r(2)eq \r(y1＋y22－4y1y2)，⑤
将④代入⑤，得S△PQF1＝eq \r(2)eq \r(－\f(2\r(2)k,k2＋3)2＋\f(4,k2＋3))＝eq \f(2\r(6) \r(k2＋1),k2＋3)．
又S△PQF1＝eq \f(1,2)(|PF1|＋|F1Q|＋|PQ|)·r＝2a·r＝2eq \r(3)r，
所以eq \f(2\r(6) \r(k2＋1),k2＋3)＝2eq \r(3)r，故r＝eq \f(\r(2) \r(k2＋1),k2＋3)＝eq \f(\r(2),\r(k2＋1)＋\f(2,\r(k2＋1)))≤eq \f(1,2)，
当且仅当eq \r(k2＋1)＝eq \f(2,\r(k2＋1))，即k＝±1时取等号．
故△PQF1内切圆半径r的最大值为eq \f(1,2)．
6．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1(a>2)，直线l：y＝kx＋1(k≠0)与椭圆C相交于A，B两点，点D为AB的中点．
(1)若直线l与直线OD(O为坐标原点)的斜率之积为－eq \f(1,2)，求椭圆C的方程；
(2)在(1)的条件下，y轴上是否存在定点M，使得当k变化时，总有∠AMO＝∠BMO(O为坐标原点)？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解 (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,4)＝1，,y＝kx＋1k≠0，))得(4＋a2k2)x2＋2a2kx－3a2＝0，显然Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，
则x1＋x2＝－eq \f(2a2k,4＋a2k2)，x1x2＝eq \f(－3a2,4＋a2k2)，
∴x0＝－eq \f(a2k,4＋a2k2)，y0＝－eq \f(a2k2,4＋a2k2)＋1＝eq \f(4,4＋a2k2)，
∴k·eq \f(y0,x0)＝k·－eq \f(4,a2k)＝－eq \f(1,2)，
∴a2＝8．∴椭圆C的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1．
(2)假设存在定点M符合题意，且设M(0，m)，
由∠AMO＝∠BMO得kAM＋kBM＝0．
∴eq \f(y1－m,x1)＋eq \f(y2－m,x2)＝0．
即y1x2＋y2x1－m(x1＋x2)＝0，
∴2kx1x2＋x1＋x2－m(x1＋x2)＝0．
由(1)知x1＋x2＝－eq \f(4k,1＋2k2)，x1x2＝eq \f(－6,1＋2k2)，
∴－eq \f(12k,1＋2k2)－eq \f(4k,1＋2k2)＋eq \f(4mk,1＋2k2)＝0，∴eq \f(－16k＋4mk,1＋2k2)＝0，即eq \f(4k－4＋m,1＋2k2)＝0，
∵k≠0，∴－4＋m＝0，∴m＝4．
∴存在定点M(0，4)，使得∠AMO＝∠BMO．