2021学年4.1空间图形基本关系的认识优秀课件ppt

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§4　空间图形的基本关系与公理
1．空间两条直线的位置关系(1)直线a与b在同一平面内，但______________，这样的两条直线叫作平行直线；(2)直线a与b__________________，这样的两条直线叫作相交直线；(3)直线a与b________________________，这样的两条直线叫作异面直线．
不同在任何一个平面内　
2．空间直线与平面的位置关系(1)直线与平面有________________，我们称这条直线在这个平面内；(2)直线和平面只有______________，称这条直线与这个平面相交；(3)直线和平面______________，称这条直线和这个平面平行．3．空间平面与平面的位置关系(1)两个平面______________，这样的两个平面叫作平行平面；(2)两个平面不重合，但____________，这样的两个平面叫作相交平面．
4．空间图形的公理公理1　过__________________________，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．①____________________________可以确定一个平面．②两条________直线可以确定一个平面．③两条________直线可以确定一个平面．公理2　如果一条直线上的____________________，那么这条直线在这个平面内(即直线在平面内)．
不在同一条直线上的三点　
一条直线和这条直线外一点　
公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有________________________．公理4平行于同一条直线的两条直线________．定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角______________．
一条过该点的公共直线　
[解析]　由公理1可知选项A正确．
2．异面直线是(　　)A．空间不相交的两条直线B．分别位于两个平面内的直线C．平面内的一条直线与这个平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线[解析]　根据异面直线的概念可知．
3．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是(　　)A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒aβB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、 β重合[解析]　∵A∈α，A∈β.∴A∈α∩β由公理3知α∩β为经过A的一条直线而不是A．故α∩β＝A写法错误．
4．空间三条直线互相平行，由每两条平行直线确定一个平面，则可以确定平面的个数为________．[解析]　三条直线在同一平面内时确定一个平面，三条直线不在同一个平面内时确定三个平面．
5．若直线a不平行于平面α，且a⃘α，则下列结论正确的是______．①平面α内的所有直线与a异面；②平面α内不存在与a平行的直线；③平面α内存在唯一的直线与a平行；④平面α内的直线与a都相交．[解析]　由已知得a与α相交，因此①③④错误，②正确．
命题方向1　⇨用图形符号语言表示点、线、面之间的位置关系
　　　　　如图所示，写出图形中的点、直线和平面之间的关系．
图(1)可以用几何符号表示为：____________________________________．图(2)可以用几何符号表示为：______________________________________ __________________________________________．
α∩β＝MN，△ABC的三个顶点满足条件A∈MN，B∈α，C∈β，B∉MN，C∉MN　
[思路分析]　解答本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面，然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系，最后再用符号语言写出．
『规律总结』　1.解答本题的关键是正确理解点、线、面表示的含义，点表示元素，线、面都是点的集合．2．符号语言是数学中常用的一种语言，熟练掌握它与自然语言图形语言之间的转化，是解决几何问题的基础．
〔跟踪练习1〕本例若把图形改为如下图所示①②，请用符号语言表示其中的点、线、面的位置关系．
命题方向2　⇨空间点、线、面的位置关系
　　　　　已知长方体ABCD－A1B1C1D1，如图所示，AC 与BD相交于点M，则下列说法中正确的是(　　)①点M在直线AC上，点B在直线A1B1外；②直线AC与BD相交，直线AC与A1D1相交；③平面AA1B1B与平面D1DCC1平行；④直线AC与平面A1B1C1D1异面；⑤直线BC与A1B1异面．A．①③④　　B．①②⑤　　　C．①③⑤　　D．②③④⑤
[思路分析]　根据图形直接作出判断．[解析]　①中，点M是直线AC与BD的交点，点M在直线AC上，点B显然在直线A1B1外，正确；②中，直线AC与A1D1异面，错误；③中，两平面没有公共点，互相平行，正确；④中，直线与平面的位置关系中没有“异面”，直线AC与平面A1B1C1D1平行，错误；⑤正确．选C．
『规律总结』　本题主要考查长方体模型中点、线、面之间的位置关系，做题时，不要主观臆断，要认真观察模型，体会其空间关系．
〔跟踪练习2〕已知正四棱锥P－ABCD如图所示，试判断下列点、线、面之间的位置关系：(1)点P与平面ABCD；(2)直线PC与AB，直线AB与CD；(3)平面PCD与平面PCB，平面PAB与平面PCD．
[解析]　(1)点P在平面ABCD外．(2)直线PC与AB异面，直线AB与CD平行．(3)平面PCD与平面PCB有公共点P，所以两平面相交，平面PAB与平面PCD有公共点P，所以两平面也是相交的．
命题方向3　⇨点共线问题
　　　　　已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图，求证：P、Q、R三点共线．
[解析]　方法一：∵AB∩α＝P∴P∈AB，P∈平面α．又AB平面ABC，∴P∈平面ABC．由公理3知点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P、Q、R三点共线．
方法二：∵AP∩AR＝A．∴直线AP与直线AR确定平面APR．又 ∵AB∩α＝P，AC∩α＝R∴平面APR∩平面α＝PR．∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR．∵Q∈BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α∴Q∈PR，∴P、Q、R三点共线．
『规律总结』　证明多点共线的方法是利用公理3，证明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个平面的交线上，方法二的思想是先由点P、R确定一条直线，证Q点也在这条直线上，这也是证明共点、共线、共面问题的常用方法．
〔跟踪练习3〕如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B、Q、D1三点共线．[解析]　如题图，∵D1∈平面ABC1D1D1∈平面A1D1CB，B∈平面ABC1D1B∈平面A1D1CB．∴平面ABC1D1∩平面BCD1A1＝BD1．∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C平面BCD1A1∴Q∈平面BCD1A1，而Q∈平面ABC1D1．∴Q在两平面的交线BD1上．∴B、Q、D1三点共线．
命题方向4　⇨多线共面问题
　　　　　证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．[思路分析]　先选取两条直线构造一个平面，然后证明其他直线都在这个平面上．
[解析]　已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C．求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．证法一：(同一法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α．∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2α，∴B∈α．同理可证C∈α．又∵B∈l3，C∈l3，∴l3α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
『规律总结』　1.同一法证明直线共面的步骤：①证明其中两条直线平行或相交，即这两条直线确定一个平面α；②证明其余直线上均有两点在平面α内，即其余直线也在平面α内，也就是证明了这些直线共面．2．重合法证明直线共面的步骤：①证明这些直线确定若干个平面；②利用公理及其推论证明这些平面重合，从而证明了这些直线共面．
〔跟踪练习4〕一条直线与三条平行直线都相交．求证：这四条直线共面．已知：如图所示，a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C．求证：直线a，b，c，l共面．[解析]　因为a∥b，所以a和b确定一个平面α．因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈α，B∈α.故lα．又a∥c，所以a和c确定一个平面β.同理lβ．即l和a既在α内又在β内，且l与a相交，故α，β重合，即直线a，b，c，l共面．
命题方向5　⇨多线共点问题
　　　　　如图所示，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b.若直线a和b不平行．求证：a，b，c三条直线必过同一点．[思路分析]　直线过同一点，我们可以这样来思考：先证明两线相交，得一交点，然后证明该点在其余的直线上(或其余的直线经过该点)．
[解析]　∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴aγ，bγ．由于直线a和b不平行，∴a，b必相交设a∩b＝P，则P∈a，P∈b．∵aβ，bα，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c∴P∈c，即交线c经过点P．∴a，b，c三条直线相交于同一点．
『规律总结』　证空间中三线共点有如下两种方法：先确定两直线交于一点，再证该点是这两条直线所在两个平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线，由公理3得该点在它们的交线上，从而得三线共点；或先将其中一条直线看作是某两个平面的交线，证明该交线与另两直线分别交于两点，再证这两点重合，从而得三线共点．
命题方向6　⇨等角定理的应用
　　　　　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、M、N分别为AD、AB、C1D1、B1C1的中点，求证：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN．[思路分析]　从题目要求证的结论看，只要证明A1P∥CN，A1Q∥CM即可以利用定理证明后面的结果．
[解析]　在A1B1上选取中点K，易知四边形MKBC为平行四边形．∴CM∥BK．又∵A1K∥BQ且A1K＝BQ∴四边形A1KBQ为平行四边形．∴A1Q∥BK．由公理4有A1Q∥MC，同理可证A1P∥CN．由于∠PA1Q与∠MCN对应边分别平行，且方向均相反，∴∠PA1Q＝∠MCN．
『规律总结』　在平面几何中，证明角相等的方法主要有：计算角的大小，证明等腰三角形，证明相似三角形或全等三角形，利用平行线的性质等等，但解决的都是平面内两个角相等的问题，而用等角定理可以证明空间的两个角相等，证明时，先证明两个角的两边对应平行，再说明两条边的方向相同或相反，在证明的过程中，常用到公理4.
〔跟踪练习6〕已知E，E1是正方体AC1的棱AD，A1D1的中点，求证：∠C1E1B1＝∠CEB．
文字语言、符号语言、图形语言三种语言的相互转换是立体几何学习中需逐步培养的重要基本功．这项基本功扎实，就为立体几何学习打下了坚实的基础．例如：下面是一些文字语言与符号语言的转换：A∈l，“点A在直线l上”，“直线l经过点A”aα，“直线a在平面α内”，“平面α经过直线a”；a⃘α，“直线a在平面α外”．α∩β＝l，“两平面α与β相交于直线l”，“l是平面α与β的交线”；a∩b＝P，“两直线a，b相交于点P”，“P是直线a与直线b的交点”；A∈α，“点A在平面α内”，“平面α经过点A”．学习过程中要训练用准确规范的语言描述几何图形的位置关系．
　　　　　已知：a、b、c、d是两两相交且不共点的四条直线．求证：a、b、c、d共面．
　　　　　已知：A、B、C、D、E五点，A、B、C、D共面，B、C、D、E共面，则A、B、C、D、E五点一定共面吗？[错解]　A、B、C、D、E五点共面．[辨析]　共面问题的证明，常分两步：(1)确定平面；(2)证明元素在确定的平面内，必须注意到平面是确定的，上述错解中，由于没有注意到B、C、D三点不一定确定平面，即默认B、C、D三点一定不共线，因而出错．
[正解]　(1)当B、C、D三点不共线时，由公理2可知B、C、D三点确定一个平面α，由题设知A∈α，E∈α，故A、B、C、D、E五点共面于α；(2)当B、C、D三点共线时，设共线于l，且A∈l，E∈l，则A、B、C、D、E五点共面；若A、E有且只有一点在l上，则A、B、C、D、E五点共面；若A、E都不在l上，则A、B、C、D、E五点不一定共面．
『规律总结』　证点共面常用两种方法：一是三点确定平面，证其余点也在平面内，二是确定几个平面，再证这几个平面重合．
课 时 作 业 学 案