2020-2021学年3 万有引力理论的成就学案

万有引力理论的成就

目标体系构建

明确目标·梳理脉络

【学习目标】

1．了解万有引力定律在天文学上的重要应用。

2．理解“称量地球质量”的基本思路，了解万有引力定律在天文学上的重要应用。

3．理解运用万有引力定律处理天体运动问题的思路和方法。

【思维脉络】

课前预习反馈

教材梳理·落实新知

知识点 1　“称量”地球的质量

1．思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于__地球对物体的引力__。

2．关系式：mg＝G。

3．结果：m地＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量。

4．推广：若知道某星球表面的__重力加速度__和星球__半径__，可计算出该星球的质量。

知识点 2　计算天体的质量

1．思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，__行星与太阳间的万有引力__充当向心力。

2．关系式：＝mr。

3．结论：m太＝，只要知道引力常量G，行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量。

4．推广：若已知引力常量G，卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量。

知识点 3　发现未知天体及预言哈雷彗星回归

1．海王星的发现

英国剑桥大学的学生__亚当斯__和法国年轻的天文学家__勒维耶__根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的__伽勒__在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。

2．其他天体的发现

近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了__冥王星__、阋神星等几个较大的天体。

3．预言哈雷彗星回归

英国天文学家哈雷依据__万有引力定律__，计算了三颗彗星的轨道，并大胆预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为__76__年。

思考辨析

『判一判』

(1)地球表面的物体的重力一定等于地球对它的万有引力。(×)

(2)若知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的轨道半径，则可以求出太阳的质量。(×)

(3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量。(×)

(4)冥王星被称为“笔尖下发现的行星”。(×)

(5)海王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性。(√)

(6)海王星的发现和彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。(√)

『选一选』

土星最大的卫星叫“泰坦”(如图)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×106 km，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(　B　)

A．5×1017kg　　　　　 B．5×1026kg

C．7×1033kg D．4×1036kg

解析：由万有引力定律得G＝m，M＝，代入数据得M＝5×1026kg，故选项B正确。

『想一想』

为什么说卡文迪什是“称量地球重量的人”？

解析：因为卡文迪什测得了引力常量G，在已知地面的重力加速度g、地球半径R的条件下由M＝可计算出地球的质量。

课内互动探究

细研深究·破疑解难

探究

天体质量和密度的计算

┃┃情境导入__■

(1)假设地球绕太阳做匀速圆周运动，如果知道引力常量G、地球绕太阳运动的周期T和轨道半径r，可以计算出地球的质量吗？

(2)如果要估算出太阳的密度，应该知道哪些条件？

提示：(1)不可以。

(2)引力常量G、太阳半径R、地球绕太阳运动的周期T和轨道半径r。

┃┃要点提炼__■

1．计算天体质量的两种方法

(1)重力加速度法

①已知天体的半径R和天体表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于天体对物体的引力，有mg＝G，解得天体质量为M＝。

②说明：g为天体表面重力加速度。

未知星球表面重力加速度通常这样给出：让小球做自由落体、平抛、上抛等运动，从而计算出该星球表面重力加速度。

(2)卫星环绕法

①将天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需的向心力都来自于万有引力，由＝m，可得M＝。

②说明：这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量，其中T为公转周期，r为轨道半径。

2．计算天体的密度

若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝

(1)将M＝代入上式得ρ＝

(2)将M＝代入上式得ρ＝。

当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝。

特别提醒

(1)利用万有引力提供向心力的方法只能求出中心天体的质量，而不能求出做圆周运动的行星或卫星的质量。

(2)要注意R、r的区分。R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径。

┃┃典例剖析__■

典题1　(多选)若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，引力常量为G。则下列说法正确的是(　AB　)

A．月球表面的重力加速度g月＝

B．月球的质量m月＝

C．月球的自转周期T＝

D．月球的平均密度ρ＝

解析：根据平抛运动规律，L＝v0t，h＝g月t2，联立解得g月＝，选项A正确；由mg月＝G解得m月＝，选项B正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期，选项C错误；月球的平均密度ρ＝＝，选项D错误。

┃┃对点训练__■

1．如图所示为中国月球探测工程的标志，它以中国书法的笔触，勾勒出一轮明月和一双踏在其上的脚印，象征着月球探测的终极梦想。若宇宙飞船在月球表面绕月飞行的周期为T，月球的半径为R，引力常量为G，若飞船只受月球引力的作用，利用上述数据不能算出(　A　)

A．飞船的质量　　　　 B．月球的质量

C．月球的密度 D．飞船的向心加速度

解析：由万有引力提供向心力有G＝ma＝m2R，则月球的质量为M＝，月球的密度为ρ＝＝×＝，向心加速度为a＝R，由于飞船质量约去，则无法求出飞船的质量，故A正确，B、C、D错误。

探究

应用万有引力定律分析计算天体运动的问题

┃┃情境导入__■

如图所示，太阳系的行星在围绕太阳运动。

(1)地球、火星等行星绕太阳的运动遵守什么规律？

(2)如何比较地球、火星等行星绕太阳的运动的线速度、角速度、周期及向心加速度等各量的大小关系？

提示：(1)地球、火星等行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，万有引力提供向心力。

(2)由G＝man＝m＝mω2r＝mr表达式可知线速度、角速度、周期及向心加速度等各量都与轨道半径有关系。

┃┃要点提炼__■

1．两条思路

(1)万有引力提供天体运动的向心力

质量为m的行星绕质量为M的星体在半径为r的轨道上做匀速圆周运动时，由牛顿第二定律及圆周运动知识得G＝man＝m＝mω2r＝m()2r。

(2)黄金替换

质量为m的物体在地球表面受到的万有引力等于其重力，即G＝mg。可以得到：GM＝gR2

由于G和M(地球质量)这两个参数往往不易记住，而g和R容易记住。所以粗略计算时，一般都采用上述代换，这就避开了引力常量G值和地球的质量M值，非常方便。

2．天体运动的物理量与轨道半径的关系

(1)由G＝m得v＝；

(2)由G＝mω2r得ω＝；

(3)由G＝m2r得T＝2π ；

(4)由G＝man得an＝。

由以上关系式可知：①卫星的轨道半径r确定后，其相对应的线速度大小、角速度、周期和向心加速度大小是唯一的，与卫星的质量无关，即同一轨道上的不同卫星具有相同的周期、线速度大小、角速度和向心加速度大小。

②卫星的轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越远越慢。

特别提醒

应用万有引力定律求解时还要注意挖掘题目中的隐含条件，如地球公转一周时间是365天，自转一周是24小时，其表面的重力加速度约为9.8 m/s2等。

┃┃典例剖析__■

典题2　(2021·江苏扬州市扬州中学高一月考)质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的(　B　)

A．线速度v＝ B．运行周期T＝2π

C．角速度ω＝ D．向心加速度a＝

思路引导：根据解决天体运动的两条思路求解。

解析：探月航天器与月球之间的万有引力提供探月航天器绕月球表面做匀速圆周运动的向心力，由牛顿第二定律有＝m，解得v＝，故A错误；探月航天器绕月球表面做匀速圆周运动时，探月航天器受到的重力近似等于万有引力，则有mg＝mR，解得T＝2π，故B正确；同理可得mg＝mRω2，解得ω＝，故C错误；同理可得＝ma，解得a＝，故D错误。

┃┃对点训练__■

2．(2019·全国卷Ⅲ)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金＜R地＜R火，由此可以判定(　A　)

A．a金＞a地＞a火 B．a火＞a地＞a金

C．v地＞v火＞v金 D．v火＞v地＞v金

解析：金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则有G＝ma，解得a＝G，结合题中R金＜R地＜R火，可得a金＞a地＞a火，选项A正确，B错误；同理，有G＝m，解得v＝，再结合题中R金＜R地＜R火，可得v金＞v地＞v火，选项C、D错误。

易错辨析警示

以题说法·释疑解惑

易错点：对物理概念理解不透彻，盲目套用公式导致错误

案例 月球绕地球做匀速圆周运动，已知地球表面的重力加速度为g0，地球质量M与月球质量m之比＝81，地球半径R0与月球半径R之比＝3.6，地球与月球之间的距离r与地球的半径R0之比＝60。求月球表面的重力加速度g与地球表面的重力加速度g0的比值。

易错分析：对于本题，部分同学由G＝mg得＝＝，这是错误的，错误的原因是对公式G＝mg中各物理量的含义认识不清。

正确解答：由G＝mg得地球及月球表面的重力加速度分别为g0＝、g＝，所以＝＝＝0.16。

素养警示

根据万有引力定律求解天体运动问题时，要明确公式中各物理量的含义，不可盲目套用公式。另外，要注意天体表面重力加速度g与天体在圆周轨道上的向心加速度a的区别，如月球表面重力加速度g＝，而在环绕轨道上的向心加速度a＝。另外，距离月球r处的重力加速度g′与a在数值上是相等的。

课堂达标检测

沙场点兵·名校真题

1．(2021·南开区天津四十三中高一月考)地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，高空中某处重力加速度为，该处距地面的距离是(　D　)

A．3R　　  B．2R

C．R　　 D．(－1)R

解析：设地球的质量为M，物体的质量为m，则G＝mg，G＝mg′，解得h＝(－1)R，故选D。

2．(2021·江苏淮安市高一月考)利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是(　D　)

A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)

B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期

C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离

D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离

解析：在地球表面附近，在不考虑地球自转的情况下，物体所受重力等于地球对物体的万有引力，有G＝mg，可得M＝，能计算出质量，故A不符合题意；根据万有引力提供卫星绕地球做圆周运动的向心力，由G＝，v＝，解得M＝，能计算出质量，故B不符合题意；由G＝m月2r，解得M＝，能计算出质量，故C不符合题意；由G＝M2r地，消去两边的M，故不能求出地球质量，故D符合题意。

3．(2021·镇远中学月考)由于某种原因，人造地球卫星的轨道半径减小了，那么卫星的(　A　)

A．速率变大，周期变小 B．速率变小，周期不变

C．速率变大，周期变大 D．速率变小，周期变小

解析：根据G＝m可得v＝，故半径减小，速率增大；根据G＝mr可得T＝2π，故半径减小，周期减小，A正确。