沪教版 (五四制)七年级下册第十二章 实数综合与测试练习

沪教版（上海）七年级数学第二学期第十二章实数专题练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、规定一种新运算：，如．则的值是（    ）．

A． B． C．6 D．8

2、3的算术平方根为（    ）

A． B．9 C．±9 D．±

3、下列说法正确的是（    ）

A．是最小的正无理数 B．绝对值最小的实数不存在

C．两个无理数的和不一定是无理数 D．有理数与数轴上的点一一对应

4、下列各数中，3.1415，，，0.321，π，2.32232223…（相邻两个3之间的2的个数逐次增加1），无理数有（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

5、在以下实数：﹣，，π，3.1411，8，0.020020002…中，无理数有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

6、已知a＝，b＝－|－|，c＝（－2）3，则a，b，c的大小关系是（    ）

A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b

7、下列各式中，化简结果正确的是（    ）

A． B． C． D．

8、a为有理数，定义运算符号▽：当a＞－2时，▽a＝－a；当a＜－2时，▽a＝ a；当a＝－2时，▽a＝ 0．根据这种运算，则▽[4＋▽（2－5）]的值为（　　）

A． B．7 C． D．1

9、下列说法中正确的有（　　）

①±2都是8的立方根

②＝x

③的平方根是3  

④﹣＝2．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10、一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．若每个小立方块的体积为216cm³，则该几何体的最大高度是（    ）

A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、当______ 时，分式的值为零

2、已知的小数部分是a，的整数部分是b，则a＋b＝_________．

3、如图是一个“数值转换机”的示意图，若输入的x的值为﹣2，输出的值为﹣，则输入的y值为 _____．

4、已知x2=36，那么x=___________；如果(-a)2=(7)2，那么a=_____________

5、若实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，e是的整数部分，f是的小数部分，则代数式的值是 ___．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）

1、计算：.

2、众所周知，所有实数都可以用数轴上的点来表示．其中，我们将数轴上表示正整数的点称为“正点”．取任意一个“正点”P，该数轴上到点P距离为1的点所对应的数分别记为a，b（a＜b）．定义：若数m＝b3﹣a3，则称数m为“复合数”．例如：若“正点”P所表示的数为3，则a＝2，b＝4，那么m＝43﹣23＝56，所以56是“复合数”．（提示：b3﹣a3＝（b﹣a）（b2+ab+a2）．）

（1）请直接判断12是不是“复合数”，并且证明所有的“复合数”与2的差一定能被6整除；

（2）已知两个“复合数”的差是42，求这两个“复合数”．

3、大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数．因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小燕用来表示的小数部分．理由是：对于正无理数，用本身减去其整数部分，差就是其小数部分．因为的整数部分为1，所以的小数部分为．

参考小燕同学的做法，解答下列问题：

（1）写出的小数部分为________；

（2）已知与的小数部分分别为a和b，求a2＋2ab＋b2的值；

（3）如果，其中x是整数，0＜y＜1，那么＝________

（4）设无理数（m为正整数）的整数部分为n，那么的小数部分为________（用含m，n的式子表示）．

4、计算：

5、如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，b满足|a+3|+（b﹣9）2＝0，c＝1．

（1）a＝　   　，b＝　   　；

（2）点P为数轴上一动点，其对应的数为x，则当x　   　时，代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|取得最大值，最大值为 　   　；

（3）点P从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时点Q从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在点Q到达点C后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（t≤8）秒，求第几秒时，点P、Q之间的距离是点B、Q之问距离的2倍？

6、计算：+++．

7、小明打算用一块面积为900cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为588cm2的桌面，并且长宽之比为4∶3，你认为能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，请说明理由．

8、（1）计算：；

（2）分解因式：．

9、直接写出结果：

（1）____________；

（2）____________；

（3）的立方根＝____________；

（4）若x2＝（﹣7）2，则x＝____________．

10、已知x，y满足，求x、y的值．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

根据新定义计算法则把转化为常规下运算得出，然后按有理数运算法则计算即可．

【详解】

解：∵，

∴．

故选择C．

【点睛】

本题考查新定义运算，掌握新定义运算的要点，含乘方的有理数混合运算是解题关键．

2、A

【分析】

利用算术平方根的定义求解即可．

【详解】

3的算术平方根是．

故选：A．

【点睛】

本题考查的是算术平方根的概念，属于基础题目，掌握算术平方根的概念是解题的关键．

3、C

【分析】

利用正无理数，绝对值，以及数轴的性质判断即可．

【详解】

解：、不存在最小的正无理数，不符合题意；

、绝对值最小的实数是0，不符合题意；

、两个无理数的和不一定是无理数，例如：，符合题意；

、实数与数轴上的点一一对应，不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查了实数的运算，实数与数轴，解题的关键是熟练掌握各自的性质．

4、D

【分析】

理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【详解】

3.1415，0.321是有限小数，属于有理数；

是分数，属于有理数；

无理数有，π，2.32232223…（相邻两个3之间的2的个数逐次增加1），共3个．

故选：D．

【点睛】

此题考查了无理数．解题的关键是掌握实数的分类．

5、B

【分析】

根据“无限不循环的小数是无理数”可直接进行排除选项．

【详解】

解：∵，

∴在以下实数：﹣，，π，3.1411，8，0.020020002…中，无理数有﹣，π，0.020020002…；共3个；

故选B．

【点睛】

本题主要考查算术平方根及无理数，熟练掌握求一个数的算术平方根及无理数的概念是解题的关键．

6、C

【分析】

本题主要是根据乘方、绝对值、负指数幂的运算进行求值，比较大小，负指数幂运算是根据：“底倒指反”，进行转化之后再化简，即：a=2；绝对值化简先判断绝对值内的数是正数还是负数，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，在进行化简，即b=；乘方运算中，负数的奇次幂还是负数，即：c=-8，据此进行数据的比较．

【详解】

解：由题意得：a===４，b==，c＝＝-8，

∴c＜b＜a．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查的是乘方、绝对值、负指数幂的基础运算，熟练掌握其运算以及符号是解本题的关键．

7、D

【分析】

根据实数的运算法则依次对选项化简再判断即可．

【详解】

A、，化简结果错误，与题意不符，故错误．

B、，化简结果错误，与题意不符，故错误．

C、，化简结果错误，与题意不符，故错误．

D、，化简结果正确，与题意相符，故正确．

故选：D    ．

【点睛】

本题考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算法则．

8、A

【分析】

定义运算符号▽：当a＞－2时，▽a＝－a；当a＜－2时，▽a＝ a；当a＝－2时，▽a＝ 0．先判断a的大小，然后按照题中的运算法则求解即可．

【详解】

解：且当时，▽a=a，

▽(-3)=-3，

4+▽（2-5）=4-3=1>-2，

当a>-2时，▽a=-a，

▽［4+▽（2-5）］=▽1=-1，

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．

9、B

【分析】

根据平方根和立方根的定义进行判断即可．

【详解】

解：①2是8的立方根，-2不是8的立方根，原说法错误；

②=x，正确；

③，9的平方根是3，原说法错误；

④﹣=2，正确；

综上，正确的有②④共2个，

故选：B．

【点睛】

本题考查了立方根，平方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．

10、D

【分析】

由每个小立方体的体积为216cm3，得到小立方体的棱长，再由三视图可知，最高处有四个小立方体，则该几何体的最大高度是4×6=24cm．

【详解】

解：∵每个小立方体的体积为216cm3，

∴小立方体的棱长，

由三视图可知，最高处有四个小立方体，

∴该几何体的最大高度是4×6=24cm，

故选D．

【点睛】

本题主要考查了立方根和三视图，解题的关键在于能够正确求出小立方体的棱长．

二、填空题

1、

【分析】

由分式的值为0的条件可得：，再解方程与不等式即可得到答案.

【详解】

解: 分式的值为零,

由①得:

由②得:且

综上:

故答案为:

【点睛】

本题考查的是分式的值为0的条件,利用平方根解方程，掌握“分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0”是解本题的关键.

2、

【分析】

先分别求出和的范围，得到a、b的值，再代入a＋b计算即可．

【详解】

∵2＜＜3，2＜＜3，

∴a＝−2，b＝2，

a＋b＝−2＋2＝，

故答案为．

【点睛】

本题考查了估算无理数的大小，利用夹值法估算出和的范围是解此题的关键．

3、-3

【分析】

利用程序图列出式子，根据等式的性质和立方根的意义即可求得y值．

【详解】

解：由题意得：

[（﹣2）2+y3]÷2＝﹣．

∴4+y3＝﹣23．

∴y3＝﹣27．

∵（﹣3）3＝﹣27，

∴y＝﹣3．

故答案为：﹣3．

【点睛】

本题主要考查了根据程序框图列式计算，立方根的性质，准确计算是解题的关键．

4、±6##6或-6    ±7   

【分析】

根据平方根的定义求解即可．

【详解】

解：∵(±6)2=36，

∴当x2=36时，则x=±6；

∵(-a)2=(7)2，

∴a2=49，

∵(±7)2=49，

∴a=±7；

故答案为：±6；±7．

【点睛】

本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即x2=a，那么x叫做a的平方根．0的平方根是0；正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．

5、4-

【分析】

根据互为相反数、互为倒数、无理数的整数部分、小数部分的意义求解即可．

【详解】

解：∵实数a、b互为相反数，

∴a+b=0，

∵c、d互为倒数，

∴cd=1，

∵3＜＜4，

∴的整数部分为3，e=3，

∵2＜＜3，

∴的小数部分为-2，即f=-2，

∴=0+1-3+-2=

故答案为：4-．

【点睛】

本题考查相反数、倒数、无理数的估算，掌握相反数、倒数的意义，以及无理数的整数部分、小数部分的表示方法是解决问题的关键．

三、解答题

1、．

【分析】

先计算算术平方根、立方根、乘方、化简绝对值，再计算实数的加减法即可得．

【详解】

解：原式

．

【点睛】

本题考查了算术平方根、立方根、实数的加减等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．

2、（1）12不是复合数；证明见解析；（2）98和56．

【分析】

（1）直接利用定义进行判断12不是复合数，利用定义对复合数进行变形即可证明；

（2）借助（1）的证明，所有的复合数都可以写成6x2+2，设出两个复合数进行转化．

【详解】

（1）12不是复合数，

∵找不到两个整数a，b，使a3﹣b3＝12，

故12不是复合数，

设“正点”P所表示的数为x（x为正整数），

则a＝x﹣1，b＝x+1，

∴（x+1）3﹣（x﹣1）3

＝（x+1﹣x+1）（x2+2x+1+x2﹣1+x2﹣2x+1）

＝2（3x2+1）

＝6x2+2，

∴6x2+2﹣2＝6x2一定能被6整除；

（2）设两个复合数为6m2+2和6n2+2（m，n都是正整数），

∵两个“复合数”的差是42，

∴（6m2+2）﹣（6n2+2）＝42，

∴m2﹣n2＝7，

∵m，n都是正整数，

∴，

∴，

∴6m2+2＝98，6n2+2＝56，

这两个“复合数”为98和56．

【点睛】

本题考查关于实数的新定义题型，理解新定义是解题的关键．

3、（1）；（2）1；（3）；（4）

【分析】

（1）由题意易得，则有的整数部分为3，然后问题可求解；

（2）由题意易得，则有，，然后可得，然后根据完全平方公式可进行求解；

（3）由题意易得，则有的小数部分为，然后可得，进而问题可求解；

（4）根据题意可直接进行求解．

【详解】

解：（1）∵，

∴的整数部分为3，

∴的小数部分为；

故答案为；

（2）∵，

∴，，

∵与的小数部分分别为a和b，

∴，

∴；

（3）由可知，

∵，

∴的小数部分为，

∵x是整数，0＜y＜1，

∴，

∴；

故答案为；

（4）∵无理数（m为正整数）的整数部分为n，

∴的小数部分为，

∴的小数部分即为的小数部分加1，为；

故答案为．

【点睛】

本题主要考查立方根、无理数的估算及代数式的值，熟练掌握立方根、无理数的估算及代数式的值是解题的关键．

4、-10

【分析】

根据正整数指数幂的意义、零指数幂的意义以及绝对值、有理数的乘方运算．

【详解】

解：，

，

．

【点睛】

本题考查实数的运算，解题的关键熟练运用零指数幂的意义、正整数指数幂的意义、有理数的乘方以及绝对值．

5、（1）﹣3，9；（2）≥9，12；（3）秒或秒．

【分析】

（1）由|a+3|+（b﹣9）2＝0，根据非负数的性质得|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，即可求出a＝﹣3、b＝9；

（2）由（1）得a＝﹣3、b＝9，则代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|，按x＜﹣3、﹣3≤x＜9及x≥9分类讨论，分别求出相应的代数式的值或范围，再确定代数式的最大值；

（3）先由点C表示的数是1，点B表示的数是9，计算出B、C两点之间的距离，确定t的取值范围，再按t的不同取值范围分别求出相应的t的值即可．

【详解】

解：（1）∵|a+3|≥0，（b﹣9）2≥0，且|a+3|+（b﹣9）2＝0，

∴|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，

∴a＝﹣3，b＝9，

故答案为：﹣3，9．

（2）∵a＝﹣3，b＝9，

∴代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|，

当x＜﹣3时，|x+3|﹣|x﹣9|＝﹣（x+3）﹣（9﹣x）＝﹣12；

当﹣3≤x＜9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（9﹣x）＝2x﹣6，

∵﹣12≤2x﹣6＜12，

∴﹣12≤|x+3|﹣|x﹣9|＜12；

当x≥9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（x﹣9）＝12，

综上所述，|x+3|﹣|x﹣9|的最大值为12，

故答案为：≥9，12．

（3）∵点C表示的数是1，点B表示的数是9，

∴B、C两点之间的距离是9﹣1＝8，

当点Q与点C重合时，则2t＝8，

解得t＝4，

当0＜t≤4时，如图1，点P表示的数是﹣3﹣t，点Q表示的数是9﹣2t，

根据题意得9﹣2t﹣（﹣3﹣t）＝2×2t，

解得t＝；

当4＜t≤8时，如图2，点P表示的数仍是﹣3﹣t，

∵1+（2t﹣8）＝2t﹣7，

∴点Q表示的数是2t﹣7，

根据题意得2t﹣7﹣（﹣3﹣t）＝2（16﹣2t），

解得t＝，

综上所述，第秒或第秒，点P、Q之间的距离是点B、Q之间距离的2倍．

【点睛】

本题考查数轴、数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用、绝对值的几何意义等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．

6、．

【分析】

先化简绝对值、计算算术平方根与立方根，再计算实数的加减法即可得．

【详解】

解：原式

．

【点睛】

本题考查了算术平方根与立方根、实数的加减等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．

7、能，桌面长宽分别为28cm和21cm

【分析】

本题可设它的长为4x，则它的宽为3x，根据面积公式列出方程解答即可求出x的值，再代入长宽的表达式，看是否符合条件即可．

【详解】

能做到，理由如下：

设桌面的长和宽分别为4x(cm)和3x(cm)，

根据题意得，4x×3x=588．

12x2=588．

(cm)

3x=3×7=21(cm)．

∵面积为900cm2的正方形木板的边长为30cm，28cm<30cm，

∴能够裁出一个长方形面积为588cm2并且长宽之比为4∶3的桌面，

答：桌面长宽分别为28cm和21cm．

【点睛】

本题考察了算术平方根及列方程解应用题的知识点，读懂题意，找出等量关系列出方程是本题的关键点．

8、（1）；（2）

【分析】

（1）先计算乘方运算，求解算术平方根，化简绝对值，再合并即可；

（2）提取公因式即可.

【详解】

解：（1）解：原式

（2）解：原式

【点睛】

本题考查的是立方根的含义，绝对值的化简，实数的运算，提公因式法分解因式，掌握“实数的运算及提公因式分解因式”是解本题的关键.

9、（1）8；（2）0；（3）2；（4）

【分析】

（1）根据算术平方根的计算法则求解即可；

（2）根据算术平方根的计算法则求解即可；

（3）根据立方根的求解方法求解即可；

（4）根据求平方根的方法解方程即可．

【详解】

解：（1）

，

故答案为：8；

（2）

，

故答案为：0；

（3）∵，

∴的立方根是2，

故答案为：2；

（4）∵x2＝（﹣7）2，

∴x2＝49，

∴x=±7．

故答案为：±7．

【点睛】

本题主要考查了实数的运算，立方根，算术平方根，利用平方根解方程等等，熟知相关计算法则是解题的关键．

10、x=5；y=2

【分析】

根据非负数的性质可得关于x、y的方程组，求解可得其值；

【详解】

解：由题意可得，

联立得 ，

解方程组得：，

∴x、y的值分别为5、2．

【点睛】

此题考查的是非负数的性质，解二元一次方程组，掌握绝对值及算术平方根的非负性是解决此题的关键．