初中数学北京课改版八年级下册第十六章 一元二次方程综合与测试当堂达标检测题

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程月考

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、已知一元二次方程ax2+bx+c=3有一个根为x=－2，且a+b+c=3，则一元二次方程ax2－bx+c=3的两根分别为（   ）

A．x1=0，x2=－3 B．x1=－1，x2=－4

C．x1=0，x2=3， D．x1=2，x2=－1

2、某商品售价准备进行两次下调，如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后售价由298元降到了268元，根据题意可列方程为（    ）．

A． B．

C． D．

3、若方程的一个根为，则的值是（    ）

A．7 B． C．4 D．

4、方程的解是（    ）

A．6 B．0 C．0或6 D．-6或0

5、若m是方程x2＋x﹣1＝0的根，则2m2＋2m＋2020的值为（   ）

A．2022 B．2021 C．2020 D．2019

6、下列一元二次方程中有两个相等实数根的是（　　）

A．x2﹣8＝0 B．x2﹣4x+4＝0 C．2x2+3＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0

7、若关于x的一元二次方程的一根为1，则k的值为（    ） ．

A．1 B． C． D．0

8、若是关于的方程的一个根，则的值是（    ）

A． B． C．1 D．2

9、用配方法解方程，则方程可变形为（    ）

A． B． C． D．

10、若关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）

A．a≥﹣且a≠0 B．a≤﹣ C．a≥﹣ D．a≤﹣且a≠0

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知：m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝_____．

2、江苏省某县去年平均房价为每平方米4000元，连续两年增长后，明年平均房价将达到每平方米5 500 元，设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意，所列方程是_______________________

3、已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 _____．

4、方程7x2﹣6x﹣5＝0的解为 ______________．

5、阅读下列材料：

早在公元1世纪左右，我国著名的数学典籍《九章算术》中就已经对一元二次方程进行了研究：在“勾股”章中，根据实际问题列出方程x2 + 34x - 71000 = 0，给出该方程的正根为x = 250，并简略指出解该方程的方法：开方除之．其后，受此启发，有数学家研究了利用几何图形求解该方程的方法，对于丰富我国古代有关一元二次方程的研究具有重要的价值．用该方法求解的过程如下（如图）：

第一步：构造

已知小正方形边长为x，将其边长增加17，得到大正方形．

第二步：推理

根据图形中面积之间的关系，可得（x+17）2 = x2 + 2 × 17x + 172．

由原方程x2 + 34x - 71000 = 0，得x2 + 34x = 71000．

所以（x+17）2 = 71000 + 172．

所以（x+17）2 = 71289．

直接开方可得正根x = 250．

依照上述解法，要解方程x2 + bx + c = 0（b > 0），请写出第一步“构造”的具体内容与第二步中“（x+17）2 = 71000 + 172”相应的等式是 _________ ．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、某地区2019年投入教育经费2500万元，2021年投入教育经费3025万元．求2019年至2021年该地区投入教育经费的年平均增长率．

2、我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式．

（1）请根据以上信息，写出一个取值范围是x＞2的根分式：　   　；

（2）已知两个根分式M＝与N＝．

①是否存在x的值使得N2﹣M2＝1，若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由；

②当M2+N2是一个整数时，写出两个满足条件的无理数x的值．

3、用配方法解方程3﹣6x+1＝0．

4、已知关于x的方程x2 - 5x + m = 0

（1）若方程有一根为 - 1，求m的值；

（2）若方程无实数根，求m的取值范围

5、用适当的方法解方程

（1）；           

（2）．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【分析】

首先根据a+b+c=3可得一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为，然后根据根与系数的关系可得，，然后代入一元二次方程ax2－bx+c=3中即可求解．

【详解】

解：∵一元二次方程ax2+bx+c=3有一个根为x=－2，且a+b+c=3，

∴一元二次方程ax2+bx+c=3有一个根为1，

∴一元二次方程ax2+bx+c=3化成一般形式为ax2+bx+c-3＝0，

∴，，

∵ax2－bx+c=3化成一般形式为ax2-bx+c-3＝0，即，

∴，

∴，

∴或，

解得：．

故选：D．

【点睛】

此题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．

2、D

【分析】

根据该商品的原售价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】

解：依题意得：298（1-x）2=268．

故选：D．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

3、D

【分析】

将代入方程求解即可．

【详解】

解：将代入可得：

，

解得：，

故选：D．

【点睛】

题目主要考查方程与根的关系，将根代入方程求解是解题关键．

4、C

【分析】

根据一元二次方程的解法可直接进行求解．

【详解】

解：

，

解得：；

故选C．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．

5、A

【分析】

根据题意，将m代入方程中，得到，再将整理成，利用整体代入法解题即可．

【详解】

解：是方程的根，

，

∴

故选A．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解、代数式的值、整体思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

6、B

【分析】

由根的判别式为Δ＝b2﹣4ac，挨个计算四个选项中的Δ值，由此即可得出结论．

【详解】

解：A、∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×（﹣8）＝32＞0，

∴该方程有两个不相等的实数根；

B、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣4）＝0，

∴该方程有两个相等的实数根；

C、∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×2×3＝﹣24＜0，

∴该方程没有实数根；

D、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，

∴该方程有两个不相等的实数根．

故选：B．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据根的判别式的正负判定实数根的个数．

7、B

【分析】

把方程的根代入方程可以求出k的值．

【详解】

解：把1代入方程有：
1+2k+1=0，
解得：k=-1，
故选：B．

【点睛】

本题考查的是一元二次方程的解，正确理解题意是解题的关键．

8、A

【分析】

将n代入方程，然后提公因式化简即可．

【详解】

解：∵是关于x的方程的根，

∴，即，

∵，

∴，即，

故选：A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解，理解题意，熟练运用提公因式是解题关键．

9、D

【分析】

根据配方法解一元二次方程步骤变形即可．

【详解】

∵

∴

∴

∴

∴

故选：D．

【点睛】

本题考查了配方法解一元二次方程，具体步骤为（1）化二次项系数为1. 当二次项系数不是1时，方程两边同时除以二次项系数（2）加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式，但又要使此方程的等式关系不变，故在右侧同时加上一次项系数一半的平方（3）配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程．

10、A

【分析】

根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，

∴，

解得：且．

故选A．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式和一元二次方程的定义是解题的关键．

二、填空题

1、7

【分析】

根据题意得到m+n=-2，mn=-1，m2+2m=1，n2+2n=1，再将（m2+3m+3）（n2+3n+3）变形为（m2+2m+m+3）（n2+2n+n+3），进而得到（m+4）（n+4），进而得到mn+4（m+n）+16，问题得解．

【详解】

解：∵m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，

∴m2+2m﹣1＝0 ，n2+2n﹣1＝0，m+n=-2，mn=-1，

∴m2+2m=1，n2+2n=1，

∴（m2+3m+3）（n2+3n+3）

=（m2+2m+m+3）（n2+2n+n+3）

=（1+m+3）（1+n+3）

=（m+4）（n+4）

=mn+4m+4n+16

=mn+4（m+n）+16

=-1+4×（-2）+16

=7．

故答案为：7

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系，熟知一元二次方程根的定义，根与系数的关系，并根据题意将所求代数式变形是解题关键．

2、4000（1+x）2=5500

【分析】

根据去年及明年的平均房价，列出关于x的一元二次方程即可解题．

【详解】

解：设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意得，

4000（1+x）2=5500

故答案为：4000（1+x）2=5500

【点睛】

本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键．

3、k＞-2且k≠0k≠0且k＞-2

【分析】

根据关于x的一元二次方程kx2-4x-2=0有两个不相等的实数根，可得出判别式大于0，再求得k的取值范围．注意：二次项系数不等于零．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程kx2-4x-2=0有两个不相等的实数根，

∴Δ=（-4）2-4×（-2）k＞0，

解得k＞-2，

∵k≠0，

∴k的取值范围k＞-2且k≠0，

故答案是：k＞-2且k≠0．

【点睛】

本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．

4、

【分析】

找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．

【详解】

解：7x2﹣6x﹣5＝0

∵a＝7，b＝﹣6，c＝﹣5，

∵△＝36﹣4×7×（﹣5）＝176＞0，

∴ ，

∴x1＝，x2＝．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解法，常用的解法有：直接开方法，配方法，公式法，因式分解法，做题的关键是根据题目选择合适的方法．

5、
 

【分析】

根据题中例题及配方法求解即可得．

【详解】

解：第一步：“构造”

内容为：已知小正方形边长为x，将其边长增加，得到大正方形；

第二步：“推理”

，

∵，得，

∴，

故答案为：．

【点睛】

题目主要考查利用配方法解一元二次方程的应用，理解题中例题及配方法是解题关键．

三、解答题

1、这两年投入教育经费的年平均增长率为

【分析】

根据等量关系：2019年投入教育经费×（1+x）2=2021年投入教育经费列方程求解即可．

【详解】

解：设2019年至2021年该地区投入教育经费的年平均增长率为，

根据题意，得，

解得：，或（不合题意舍去），

答：这两年投入教育经费的年平均增长率为．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．

2、（1）；（2）①不存在，见解析；②，，，（答案不唯一）

【分析】

（1）依照根分式的定义写一个即可；

（2）①根据建立关于x的等式，即可求出x的值，注意需要判断x的值是否使根分式有意义；

②表达，分离整式，再判断什么时候为整数，求出x的值．

【详解】

（1）由题意得：

故答案是：；

（2）①∵，

∴，

∴，

解得：，

检验，当时，，

∴原分式方程无解，

从而不存在x的值使得；

②，

∴当是一个整数时，可以取1或2，等，

∴当x是无理数时，或，

，解得：，

，解得：，

∴，，（答案不唯一）．

【点睛】

本题考查求解一元二次方程，分式与二次根式的应用，掌握题目给出的新定义是解题的关键．

3、＝1+，＝1﹣

【分析】

方程移项后，二次项系数化为1，两个加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．

【详解】

解：方程移项得：3﹣6x＝﹣1，

即﹣2x＝﹣，

配方得：＝，

开方得：x﹣1＝±，

解得 ＝1+，＝1﹣．

【点睛】

本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题的关键．

4、（1）m的值为．（2）

【分析】

（1）将代入原方程，即可求出m的值．

（2）令根的判别式，即可求出m的取值范围．

【详解】

（1）解：方程有一根为 - 1，

是该方程的根，

，解得：，

故m的值为．

（2）解：方程无实数根

，解得：．

【点睛】

本题主要是考查了一元二次方程的根以及根的判别式，熟练利用根的判别式，求出对应无实数根的方程中的参数取值，这是解决该题的关键．

5、（1），，（2）

【分析】

用因式分解法解方程即可．

【详解】

解：（1），

 ，

 ，

，；

（2），

，

，

．

【点睛】

本题考查了一元二次方程解法，解题关键是熟练运用因式分解法解方程．