数学八年级下册第十六章 一元二次方程综合与测试课后复习题

这是一份数学八年级下册第十六章 一元二次方程综合与测试课后复习题，共20页。试卷主要包含了小亮等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
2、解一元二次方程x2－6x－4＝0，配方后正确的是（ ）
A．(x＋3)2＝13B．(x－3)2＝5C．(x－3)2＝4D．(x－3)2＝13
3、下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．y＋2＝1B．＝0C．D．
4、老师设计了一个游戏，用合作的方式解一元二次方程，规则是：每人只能看到前一个人计算的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一个人，最后得到方程的解．过程如图：接力中，自己负责的一步出现错误的学生人数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5、将方程化为一元二次方程的一般形式，正确的是（ ）．
A．B．C．D．
6、小亮、小明、小刚三名同学中，小亮的年龄比小明的年龄小2岁，小刚的年龄比小明的年龄大1岁，并且小亮与小刚的年龄的乘积是130.你知道这三名同学的年龄各是多少岁吗？设小明的年龄为x岁，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
7、关于x的一元二次方程x2－mx＋（m－2）＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．根据m的取值范围确定
8、若关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣且a≠0B．a≤﹣C．a≥﹣D．a≤﹣且a≠0
9、若关于x的方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k≥2B．k≥﹣2C．k＞﹣2且k≠0D．k≥﹣2且k≠0
10、下列一元二次方程中有两个相等实数根的是（ ）
A．x2﹣8＝0B．x2﹣4x+4＝0C．2x2+3＝0D．x2﹣2x﹣1＝0
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、已知：m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝_____．
2、小华在解方程x2 = 3x时，只得出一个根x = 3，则被他漏掉的一个根是x =_______
3、随着网络购物的兴起，增加了快递公司的业务量，一家今年刚成立的小型快递公司业务量逐月攀升，今年9月份和11月份完成投送的快递件数分别是20万件和24.2万件，若该公司每月投送的快递件数的平均增长是x，由题意列出关于x的方程：______．
4、设x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，则4x12+4x1﹣2x2的值为 ______．
5、已知是一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是正整数，求a的最小值．
2、解方程：．
3、先化简，再求值．
，请从一元二次方程的两个根中选择一个你喜欢的求值．
4、数学兴趣小组的李舒和林涵两位同学用棋子摆图形探究规律．若两人都按照各自的规律继续摆下去，请回答下列问题：
如图1李舒摆成的图形：
如图2林涵摆成的图形：
（1）填写下表：
（2）是否存在某个图形恰好含有76个棋子？若存在，请求出该图形序号，若不存在，请说明理由；
（3）哪位同学所摆的某个图形含有棋子个数先超过120个？请说明理由．
（4）两位同学所摆图形中，是否存在所需棋子数相同的图形，若存在，请直接写出该图形序号，若不存在，请说明理由．
5、解方程：
（1）（x﹣5）2＝（2﹣3x）2；
（2）x2﹣10x+16＝0；
（3）2x2﹣x﹣2＝0．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
把代入一元二次方程得到，再利用整体代入法解题即可．
【详解】
解：把代入一元二次方程得，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解、已知式子的值求代数式的值、整体思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2、D
【分析】
根据配方法即可求出答案．
【详解】
解：∵x2﹣6x﹣4＝0，
∴x2﹣6x＝4，
∴x2﹣6x+9＝13，
∴（x﹣3）2＝13，
故选D．
【点睛】
本题考查了配方法解方程，注意配方时先把常数项移到右边，然后把二次项系数化为1，最后等号两面同时加上一次项系数一半的平方．
3、B
【分析】
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程，据此解答即可．
【详解】
解：A．是二元二次方程，故本选项不合题意；
B．是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．是二元二次方程，故本选项不合题意；
D．当a=0时，不含二次项，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
4、D
【分析】
先把方程化为一般形式，再把左边分解因式，可判断甲，再把方程化为两个一次方程，可判断乙，再解一次方程，移项要改变符号，可判断丙，再计算得到方程的解可判断丁，从而可得答案.
【详解】
解：
，
，
，故甲出现错误；

即
或 故乙出现了错误；
而丙解方程时，移项没有改变符号，丁出现了计算错误；
所以出现错误的人数是4人，
故选D
【点睛】
本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，掌握“利用因式分解法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键.
5、B
【分析】
根据一元二次方程的概念，判断即可，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】
解：化为一元二次方程的一般形式为
故选B
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
6、B
【分析】
设小明的年龄为x岁，则可用x表示出小亮的年龄和小刚的年龄．再根据小亮与小刚的年龄的乘积是130，即可列出方程．
【详解】
设小明的年龄为x岁，则小亮的年龄为岁，小刚的年龄为岁，
根据题意即可列方程：．
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，正确找出题干中的数量关系列出等式是解答本题的关键．
7、A
【分析】
根据根的判别式判断即可．
【详解】
∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，熟记判别式并灵活应用是解题关键．
8、A
【分析】
根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，
∴，
解得：且．
故选A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式和一元二次方程的定义是解题的关键．
9、B
【分析】
根据当时，方程是一元一次方程有实数根，当时，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ=（-4）2-4 k×（-2）≥0，然后求出两不等式组的公共部分，两种情况合并即可．
【详解】
解：根据题意得：①当时，方程是一元一次方程，此时﹣4x﹣2＝0，方程有实数解；
②当时，此方程是一元二次方程，可得
k≠0且Δ=（-4）2-4 k×（-2）≥0，
解得k≥-2且k≠0．
综上，当时，关于x的方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，
故选：B．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
10、B
【分析】
由根的判别式为Δ＝b2﹣4ac，挨个计算四个选项中的Δ值，由此即可得出结论．
【详解】
解：A、∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×（﹣8）＝32＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根；
B、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣4）＝0，
∴该方程有两个相等的实数根；
C、∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×2×3＝﹣24＜0，
∴该方程没有实数根；
D、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据根的判别式的正负判定实数根的个数．
二、填空题
1、7
【分析】
根据题意得到m+n=-2，mn=-1，m2+2m=1，n2+2n=1，再将（m2+3m+3）（n2+3n+3）变形为（m2+2m+m+3）（n2+2n+n+3），进而得到（m+4）（n+4），进而得到mn+4（m+n）+16，问题得解．
【详解】
解：∵m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，
∴m2+2m﹣1＝0 ，n2+2n﹣1＝0，m+n=-2，mn=-1，
∴m2+2m=1，n2+2n=1，
∴（m2+3m+3）（n2+3n+3）
=（m2+2m+m+3）（n2+2n+n+3）
=（1+m+3）（1+n+3）
=（m+4）（n+4）
=mn+4m+4n+16
=mn+4（m+n）+16
=-1+4×（-2）+16
=7．
故答案为：7
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系，熟知一元二次方程根的定义，根与系数的关系，并根据题意将所求代数式变形是解题关键．
2、0
【分析】
根据因式分解法即可求出答案．
【详解】
解：∵x2=3x，
∴x2-3x=0，
∴，
∴x=0或x-3=0，
∴x1=0，x2=3，
故答案为：0．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用因式分解法．
3、
【分析】
根据题意，该公司每月投送的快递件数的平均增长是x，则10月份完成投送的快递件数为万件，则11月份完成投送的快递件数为万件，根据11月份完成投送的快递件数为24.2万件，列出一元二次方程即可
【详解】
解：设该公司每月投送的快递件数的平均增长是x，根据题意得
故答案为：
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出一元二次方程是解题的关键．
4、11
【分析】
先根据一元二次方程根的定义得到2x12＝﹣3x1+4，则4x12+4x1﹣2x2化为﹣2（x1+x2）+8，再根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵x1是方程2x2+3x﹣4＝0的根，
∴2x12+3x1﹣4＝0，
∴2x12＝﹣3x1+4，
∴4x12+4x1﹣2x2＝2（﹣3x1+4）+4x1﹣2x2＝﹣2（x1+x2）+8，
∵x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣ ，
∴4x12+4x1﹣2x2＝﹣2（x1+x2）+8＝﹣2×（﹣）+8＝11．
故答案为:11．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则，．
5、
【分析】
设该方程的另一个根为结合一元二次方程根与系数的关系可得：再解一次方程即可得到答案.
【详解】
解：是一元二次方程的一个根，设该方程的另一个根为
则

所以该方程的另一个根是
故答案为：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，掌握“利用一元二次方程的根与系数的关系求解方程的根或方程中未知系数的值”是解本题的关键.
三、解答题
1、（1）证明见详解；（2）a的最小值为0．
【分析】
（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根；
（2）根据题意利用十字相乘法解方程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定a的取值范围，即可求出a的最小值．
【详解】
（1）证明：依题意得：


，
，
∴ ．
∴方程总有两个实数根；
（2）由，
可化为：
得 ，
∵ 方程的两个实数根都是正整数，
∴ ．
∴ ．
∴a的最小值为0．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键．
2、，
【分析】
确定，，，采用求根公式法解答即可．
【详解】
∵，
∴，，，
△，
则，
，．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握求根公式是解题的关键．
3、；
【分析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用因式分解法解一元二次方程求出a的值，继而选择任意一个a的值代入计算即可．
【详解】
解： ÷（+3 +）
= ÷
= •
= •
=
2-7+12=0
∙=0
∴或 = 0
∴,=
又∵，，
∴当时，原式
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值和解一元二次方程，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及因式分解法解一元二次方程．
4、（1）
；（2）李舒所摆图形的第14图形恰好含有76个棋子；林涵所摆的图形中没有恰好含有76个棋子的；（3）林涵同学所摆的第11个图形含有棋子个数先超过120个；（4）两位同学所摆图形中，第6个图形所需棋子数相同．
【解析】
【分析】
（1）根据所给图形和表格找到每个同学所摆图形所需棋子个数的规律，并用代数式表示，即可填写表格；
（2）令（1）所总结的两个代数式分别等于76，解出结果是整数的即为恰好含有76个棋子的图形；
（3）令（1）所总结的两个代数式分别等于120，解出结果更小的，就说明那个同学所摆的图形含有棋子个数先超过120个；
（4）令（1）所总结的两个代数式相等，即列出关于n的一元二次方程，解出n即可．
【详解】
（1）根据李舒所用棋子数：
第1图形：，
第2图形：，
第3图形：，
∴第4图形的棋子数为：，
…
第n图形的棋子数为：；
林涵所用棋子数：
第1图形：，
第2图形：，
第3图形：，
∴第4图形的棋子数为：，
…
第n图形的棋子数为：．
故可填表为：
（2），
解得：，
∴李舒所摆图形的第14图形恰好含有76个棋子；
，
解得：，
∴林涵所摆的图形中没有恰好含有76个棋子的；
（3），
解得：，
∴李舒所摆图形的第23图形开始超过120个；
，
解得：，
∴林涵所摆图形的第11图形开始超过120个；
故林涵同学所摆的第11个图形含有棋子个数先超过120个；
（4），
解得：，（舍）
故：两位同学所摆图形中，第6个图形所需棋子数相同．
【点睛】
本题考查图形类规律探索，一元二次方程的实际应用．根据所给图形和表格找到每个同学所摆图形所需棋子个数的规律，并用代数式表示是解答本题的关键．
5、（1）x1＝，x2＝﹣；（2）x1＝2，x2＝8；（3）x1＝，x2＝﹣．
【分析】
（1）直接利用因式分解的方法解一元二次方程即可；
（2）直接利用因式分解的方法解一元二次方程即可；
（3）直接利用因式分解的方法解一元二次方程即可．
【详解】
解：（1）∵（x﹣5）2＝（2﹣3x）2，
∴，
∴，
∴
解得：x1＝，x2＝；
（2）∵x2﹣10x+16＝0，
∴（x﹣2）（x﹣8）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣8＝0，
解得x1＝2，x2＝8；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程 ，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法．
图形序号
1
2
3
4
n
李舒所用棋子数
11
16
21
林涵所用棋子数
1
4
9
图形序号
1
2
3
4
n
李舒所用棋子数
11
16
21
26
林涵所用棋子数
1
4
9
16
图形序号
1
2
3
4
n
李舒所用棋子数
11
16
21
26
林涵所用棋子数
1
4
9
16