初中数学北京课改版八年级下册第十六章 一元二次方程综合与测试课时练习

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程月考

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、某地区计划举行校际篮球友谊赛，赛制为主客场形式（每两队之间在主客场各比赛一场），已知共比赛了30场次，则共有（　　）支队伍参赛．

A．4 B．5 C．6 D．7

2、下列方程中是一元二次方程的是（     ）

A．y＋2＝1 B．＝0 C． D．

3、下列方程中一定是一元二次方程的是（    ）

A．x2﹣4＝0 B．ax2＋bx＋c＝0 C．x2﹣y＋1＝0 D．＋x﹣1＝0

4、若方程的一个根为，则的值是（    ）

A．7 B． C．4 D．

5、中秋佳节前某月饼店7月份的销售额是2万元，9月份的销售额是4.5万元，从7月份到9月份，该店销售额平均每月的增长率是（　　）

A．20% B．25% C．50% D．62.5%

6、关于的一元二次方程的一个根是3，则的值是（    ）

A．3 B． C．9 D．

7、下列方程中是一元二次方程的是（　　）

A．2x+1＝0 B．y2+x＝1 C．x2+1＝0 D．

8、一元二次方程x2＝－2x的解是（      ）

A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝－2

9、已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x﹣3）2＝4的根，则此三角形的周长为（　　）

A．17 B．11 C．15 D．11或15

10、若关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）

A．a≥﹣且a≠0 B．a≤﹣ C．a≥﹣ D．a≤﹣且a≠0

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x，则一元二次方程x2+x﹣m＝0的根是 _____．

2、阅读下列材料：

早在公元1世纪左右，我国著名的数学典籍《九章算术》中就已经对一元二次方程进行了研究：在“勾股”章中，根据实际问题列出方程x2 + 34x - 71000 = 0，给出该方程的正根为x = 250，并简略指出解该方程的方法：开方除之．其后，受此启发，有数学家研究了利用几何图形求解该方程的方法，对于丰富我国古代有关一元二次方程的研究具有重要的价值．用该方法求解的过程如下（如图）：

第一步：构造

已知小正方形边长为x，将其边长增加17，得到大正方形．

第二步：推理

根据图形中面积之间的关系，可得（x+17）2 = x2 + 2 × 17x + 172．

由原方程x2 + 34x - 71000 = 0，得x2 + 34x = 71000．

所以（x+17）2 = 71000 + 172．

所以（x+17）2 = 71289．

直接开方可得正根x = 250．

依照上述解法，要解方程x2 + bx + c = 0（b > 0），请写出第一步“构造”的具体内容与第二步中“（x+17）2 = 71000 + 172”相应的等式是 _________ ．

3、某工厂生产一款零件的成本为500元，经过两年的技术创新，现在生产这款零件的成本为405元，求该款零件成本平均每年的下降率是多少？设该款零件成本平均每年的下降率为，可列方程为______．

4、定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣2．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣2＝6．若1☆x＝0，则x＝_____．

5、甲公司前年缴税100万元，今年缴税121万元，则该公司缴税的年平均增长率 _____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、解下列方程：

（1）；

（2）．

2、小林准备如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段在桌面上各围成一个正方形．

（1）要使这两个正方形的面积之和为，小林该如何剪？

（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于．”他说的对吗？请说明理由．

3、已知，如图，在平面直角坐标系内，点A的坐标为(0，12)，经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B，点B坐标为(﹣9，3)．

（1）求直线l1，l2的表达式；

（2）点C为直线OB上一动点（点C不与点O，B重合），作CDy轴交直线l2于点D，过点C，D分别向y轴作垂线，垂足分别为F，E，得到矩形CDEF．

①设点C的纵坐标为n，求点D的坐标（用含n的代数式表示）；

②若矩形CDEF的面积为48，请直接写出此时点C的坐标．

4、（1）计算：．

（2）解方程：．

5、若关于x的一元二次方程x2＋bx－2＝0有一个根是x＝2，求b的值及方程的另一个根．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

由于每两队之间都需在主客场各赛一场，即每个队都要与其余队比赛一场．等量关系为：球队的个数×（球队的个数1）=30，把相关数值代入计算即可．

【详解】

解：有x个球队参加比赛，

根据题意可列方程为：x（x1）=30，

解得：或（舍去）；

∴共有6支队伍参赛；

故选：C

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．

2、B

【分析】

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程，据此解答即可．

【详解】

解：A．是二元二次方程，故本选项不合题意；

B．是一元二次方程，故本选项符合题意；

C．是二元二次方程，故本选项不合题意；

D．当a=0时，不含二次项，故本选项不合题意；

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．

3、A

【分析】

利用一元二次方程定义进行解答即可．

【详解】

解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意；

B、当a=0时，不是一元二次方程，故此选项不合题意；

C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；

D、未知数次数为1，不是一元二次方程，故此选项不合题意；

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．

4、D

【分析】

将代入方程求解即可．

【详解】

解：将代入可得：

，

解得：，

故选：D．

【点睛】

题目主要考查方程与根的关系，将根代入方程求解是解题关键．

5、C

【分析】

设该商店销售额平均每月的增长率为x，利用9月份的销售额＝7月份的销售额×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出该商店销售额平均每月的增长率为50%．

【详解】

解：设该商店销售额平均每月的增长率为x，

依题意得：2（1+x）2＝4.5，

解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．

∴该商店销售额平均每月的增长率为50%．

故选：C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用；解题的关键在于理解清楚题目的意思，根据条件找出等量关系，列出方程求解．

6、C

【分析】

把x=3代入已知方程，列出关于m的方程，通过解方程可以求得m的值．

【详解】

解：关于的一元二次方程的一个根是3

m=9

故选：C

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

7、C

【详解】

解：A、未知数次数是1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

B、含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

C、是一元二次方程，故本选项符合题意；

D、分母中含有未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

故选：C

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有1个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．

8、D

【分析】

先移项、然后再利用因式分解法解方程即可．

【详解】

解 ：x2＝－2x

x2+2x=0

x（x+2）＝0，

x＝0或x+2＝0，

所以x1＝0，x2＝-2．

故选：D．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程−因式分解法,把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题成为解答本题的关键．

9、C

【分析】

先求出方程的解，然后根据三角形三边关系利用三角形的两边之和大于第三边判断能否构成三角形，选择满足题意的第三边，即可求出三角形的周长．

【详解】

解：（x﹣3）2＝4，

x﹣3＝±2，

解得x1＝5，x2＝1．

若x＝5，则三角形的三边分别为4，5，6，其周长为4+5+6＝15；

若x＝1时，6﹣4＝2＞1，不能构成三角形，

10、A

【分析】

根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，

∴，

解得：且．

故选A．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式和一元二次方程的定义是解题的关键．

二、填空题

1、或.

【分析】

由题意将（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x变形为，进而即可求得一元二次方程x2+x﹣m＝0的根.

【详解】

解：∵（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x，

∴，

∵x2+x﹣m＝0，

∴，

解得：或.

故答案为：或.

【点睛】

本题考查求一元二次方程的根，注意将（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x变形为是解题的关键.

2、
 

【分析】

根据题中例题及配方法求解即可得．

【详解】

解：第一步：“构造”

内容为：已知小正方形边长为x，将其边长增加，得到大正方形；

第二步：“推理”

，

∵，得，

∴，

故答案为：．

【点睛】

题目主要考查利用配方法解一元二次方程的应用，理解题中例题及配方法是解题关键．

3、

【分析】

根据题意可用x表示出经过两年的技术创新后生产这款零件成本的代数式，即可列出方程．

【详解】

设该款零件成本平均每年的下降率为x，

经过第一年的技术创新后生产这款零件的成本为（元），

经过第二年的技术创新后生产这款零件的成本为（元），

所以可列方程为：．

故答案为：．

【点睛】

本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意找出数量关系列出方程是解答本题的关键．

4、2或﹣1

【分析】

根据题目中的新定于，可以将1☆x＝0转化为一元二次方程，然后求解即可．

【详解】

解：∵m☆n＝mn2﹣mn﹣2，1☆x＝0，

∴x2﹣x﹣2＝0，

∴（x﹣2）（x+1）＝0，

解得x1＝2，x2＝﹣1，

故答案为：2或﹣1．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是列出相应的方程，会用新定义解答问题．

5、10%

【分析】

设公司缴税的年平均增长率为x，根据增长后的纳税额＝增长前的纳税额×（1+增长率），即可得到去年的纳税额是100（1+x）万元，今年的纳税额是100（1+x）2万元，据此即可列出方程求解．

【详解】

解：设该公司缴税的年平均增长率为x，依题意得100（1+x）2＝121

解方程得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）

所以该公司缴税的年平均增长率为10%．

故答案为：10%．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的实际应用---增长率问题，认真审题找到等量关系是是解题的关键．

三、解答题

1、（1），；（2），．

【分析】

（1）两边同除以3，然后直接开平方法进行求解即可；

（2）根据公式法可直接进行求解．

【详解】

解：（1）

，

∴，

∴，；

（2）

∵，

∴，

∴，

∴，．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．

2、（1）剪成的两段分别为12cm，28cm；（2）小峰的说法正确，理由见解析

【分析】

（1）设剪成的两段分别为，，然后由题意得，进而问题可求解；

（2）设剪成的两段分别为，，然后由题意得，进而问题可求解．

【详解】

解：设剪成的两段分别为，．

（1）根据题意，得，解得，．

当时，；当时，．

∴剪成的两段分别为12cm，28cm．

（2）根据题意，得，整理，得．

∵，

∴该方程无解，

∴小峰的说法正确．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．

3、（1）y＝﹣x，y＝x+12；（2）①(﹣3n，﹣3n+12)；②(3，﹣1)或C(﹣12，4)

【分析】

（1）从图中看以看出l1是正比例函数，l2是一次函数，根据点A、B的坐标，用待定系数法即可求得l1、l2的解析式；

（2）①已知点C的纵坐标及点C在直线l1上，求得点C的横坐标；进而知道了点D的横坐标，点D在直线l2上，易得点D的坐标；

②根据点C与点D坐标，求出CF＝|3n|，CD＝|﹣3n+12﹣n|＝|﹣4n+12|，利用矩形的面积＝长×宽，列出关于n的方程，解方程即可．

【详解】

解：（1）设直线l1的表达式为y＝k1x，

∵过点B（﹣9，3），

∴﹣9k1＝3，

解得：k1＝﹣，

∴直线l1的表达式为y＝﹣x；

设直线l2的表达式为y＝k2x+b，

∵过点A （0，12），B（﹣9，3），

∴，

解得：，

∴直线l2的表达式y＝x+12；

（2）①∵点C在直线l1上，且点C的纵坐标为n，

∴n＝﹣x，

解得：x＝﹣3n，

∴点C的坐标为（﹣3n，n），

∵CD∥y轴，

∴点D的横坐标为﹣3n，

∵点D在直线l2上，

∴y＝﹣3n+12，

∴D（﹣3n，﹣3n+12）；

②∵C（﹣3n，n），D（﹣3n，﹣3n+12），

∴CF＝|3n|，CD＝|﹣3n+12﹣n|＝|﹣4n+12|，

∵矩形CDEF的面积为60，

∴S矩形CDEF＝CF•CD＝|3n|×|﹣4n+12|＝48，

解得n＝﹣1或n＝﹣4，

当n＝﹣1时，﹣3n＝3，故C（3，﹣1），

当n＝4时，﹣3n＝1﹣12，故C（﹣12，4）．

综上所述，点C的坐标为：（3，﹣1）或C（﹣12，4）．

【点睛】

本题考查待定系数法求一次函数的解析式，勾股两点距离，矩形面积，解一元二次方程，掌握待定系数法求一次函数的解析式，勾股两点距离，矩形面积，解一元二次方程是解题关键．

4、（1）2；（2）或.

【分析】

（1）由题意先利用二次根式的乘除运算法则计算，进而计算算术平方根，最后计算加减法即可；

（2）根据题意利用配方法进行计算即可解出方程.

【详解】

解：（1）

原式

（2）

则或，

解得：或.

【点睛】

本题考查二次根式的乘除运算和解一元二次方程，熟练掌握二次根式的乘除运算法则和利用配方法求解方程是解题的关键.

5、b=-1，方程的另一个根是x=-1．

【分析】

将x=2代入方程 得到b的值，然后解一元二次方程即可．

【详解】

解：∵x=2是的一个根，

∴

解得b=-1，

将b=-1代入原方程得，

∴

解得x1=-1，x2=2，

∴b=-1，方程的另一个根是x=-1．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程根的定义，解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法和熟知一元二次方程根的定义．