初中数学北京课改版八年级下册第十六章 一元二次方程综合与测试同步测试题

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程定向攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、一元二次方程的两个根是 （    ）

A．， B．， C．， D．，

2、已知一元二次方程x2－4x－1＝0的两根分别为m，n，则m＋n－mn的值是（    ）

A．5 B．3 C．－3 D．－4

3、如图，某学校有一块长35米、宽20米的长方形试验田，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为600平方米．设小道的宽为米，根据题意可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

4、目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数达到3.92万户，设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（　　）

A．20% B．30% C．40% D．50%

5、关于x的方程有两个不相等的实数根，则n的取值范围是（　　）

A．n＜ B．n ≤ C．n＞ D．n＞

6、已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝5，则k的值是（　　）

A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1

7、一元二次方程x2+2x＝1的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．无法确定

8、方程x2﹣x＝0的解是（　　）

A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝1

9、方程x2＝4x的解是（　　）

A．x＝4 B．x＝2 C．x＝4或x＝0 D．x＝0

10、一元二次方程的解是（    ）

A． B．

C．， D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，设该厂四、五月份的月平均增长率为x，则可列方程为______．

2、若关于x的一元二次方程有两个实数根，则m 的取值范围是______________．

3、学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要比赛一场．若共赛了28场，设有个球队参赛，根据题意列出满足的关系式为_______．

4、若关于的一元二次方程有一个根为0，则________．

5、设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m＝0的两个根，当x1为1时则x1x2的值是________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知关于的一元二次方程．

（1）求证：此方程总有两个实数根；

（2）若此方程恰有一个根小于，求的取值范围．

2、求证：无论m取任何实数，关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0恒有实数根．

3、数学兴趣小组的李舒和林涵两位同学用棋子摆图形探究规律．若两人都按照各自的规律继续摆下去，请回答下列问题：

如图1李舒摆成的图形：

如图2林涵摆成的图形：

（1）填写下表：

（2）是否存在某个图形恰好含有76个棋子？若存在，请求出该图形序号，若不存在，请说明理由；

（3）哪位同学所摆的某个图形含有棋子个数先超过120个？请说明理由．

（4）两位同学所摆图形中，是否存在所需棋子数相同的图形，若存在，请直接写出该图形序号，若不存在，请说明理由．

4、2021年12月9日，在神州十三号载人飞船上，翟志刚、王亚平、叶光富三位航天员为广大青少年开讲“天宫课堂”第一课，这是中国空间站首次太空授课活动．在此期间，我校“对话太空”兴趣小组举行了航天科普知识有奖竞答活动，并购买“神州载人飞船”模型作为奖品，学校在商店里了解到：如果一次性购买数量不超过10个，每个模型的单价为40元；如果一次性购买数量超过10个，每多购买一个，每个模型的单价均降低0.5元，但每个模型最低单价不低于30元，若学校为购买“神州载人飞船”模型一次性付给商店900元，请求出学校购买“神州载人飞船”模型的数量．

5、阅读与思考

配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．

例如：

（1）解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解

①；

②

（2）深入研究：说明多项式的值总是一个正数?

（3）拓展运用：已知a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

分别令和，即可求出该方程的两个根．

【详解】

解：由可知：或，

方程的解为：，

故选：C．

【点睛】

本题主要是考查了一元二次方程的求解，一定要熟练掌握两项乘积为的一元二次方程的求解：令每一项都为0，即可求出该方程的两个根．

2、A

【分析】

根据一元二次方程根与系数的关系先求出m＋n和mn的值，然后代入计算即可．

【详解】

解：∵一元二次方程的两根分别为m，n，

∴，，

∴，

故选：A．

【点睛】

本题考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若其两根分别为和，则其两个根满足，，掌握此定理是解题关键．

3、C

【分析】

设小道的宽为米，则剩余部分可合成长米，宽米的长方形，根据种植面积为600平方米，列出关于的一元二次方程即可.

【详解】

解：设小道的宽为米，则剩余部分可合成长米，宽米的长方形，

依题意得：.

故选：C.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、列出一元二次方程是解答本题的关键.

4、C

【分析】

先用含x的代数式表示出2021年底5G用户的数量， 然后根据2021年底5G用户数为3.92万户列出关于x的方程，解方程即得答案．

【详解】

解：设全市5G用户数年平均增长率为x，

根据题意，得： ，

整理得：，

∴，

解得：x1=0.4=40%，x2= −2.4（不合题意，舍去）．

故选：C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．

5、A

【分析】

利用判别式的意义得到△＝＞0，然后解不等式即可．

【详解】

解：

根据题意得△＝(﹣3)²﹣4n＞0，

解得n＜ ．

故选：A．

【点睛】

此题主要考查一元二次方程的根的情况，解题的关键是熟知根的判别式．

6、D

【分析】

用根与系数的关系可用k表示出已知等式，可求得k的值．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，

∴x1+x2＝k，x1x2＝k﹣3，

∵x12+x22＝5，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，

∴k2﹣2（k﹣3）＝5，

整理得出：k2﹣2k+1＝0，

解得：k1＝k2＝1，

故选：D．

【点睛】

本题考查一元二次方程根根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．

7、A

【分析】

方程整理后得出x2+2x﹣1＝0，求出Δ＝8＞0，再根据根的判别式的内容得出答案即可．

【详解】

解：x2+2x＝1，

整理得，x2+2x﹣1＝0，

∵Δ＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，

故选：A．

【点睛】

本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．

8、D

【分析】

因式分解后求解即可.

【详解】

x2﹣x＝0，

x（x-1）=0，

x=0，或x-1=0，

解得x1＝0，x2＝1，

故选：D

【点睛】

此题考查因式分解法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．

9、C

【分析】

本题可先进行移项得到：x2﹣4x＝0，然后提取出公因式x，两式相乘为0，则这两个单项式必有一项为0．

【详解】

解：原方程可化为：x2﹣4x＝0，提取公因式：x（x﹣4）＝0，

∴x＝0或x＝４

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的计算，准确分析计算是解题的关键．

10、C

【分析】

根据因式分解法解一元二次方程即可．

【详解】

解：

即或

解得，

故选C

【点睛】

本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

二、填空题

1、

【分析】

该厂四、五月份的月平均增长率为x，根据增长率公式即可得出五月份的产量是，据此列方程即可．

【详解】

∵该厂四、五月份的月平均增长率为x，

∴五月份的产量是，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到，再经过第二次调整就是，增长用“+”，下降用“−”．

2、

【分析】

根据一元二次方程 (为常数)的根的判别式，解不等式即可求得m 的取值范围

【详解】

解：关于x的一元二次方程有两个实数根，

=

解得

故答案为：

【点睛】

本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．

3、

【分析】

每支球队要和其他球队共比赛场，一共个球队，共需要 场比赛，但每两支球队之间重复了一次，故实际需要，根据题意，即可列出方程．

【详解】

解：由题意可知：每支球队要和其他球队共比赛场，一共个球队，共需要 场比赛但每两支球队之间重复了一次，故实际比赛场数为，

，

故答案为：．

【点睛】

本题主要是考查了列一元二次方程，熟练地找到等式关系，根据等式关系列出对应方程，这是解决该类题目的关键．

4、1或-1或1

【分析】

将x=1代入方程求解即可．

【详解】

解：将x=1代入方程得到

解得m=1或-1

故答案为：1或-1．

【点睛】

此题考查了一元二次方程的解，已知方程的解时应将解代入方程求某字母系数的值．

5、-2

【分析】

把代入，得，所以方程为，即可求解．

【详解】

解：把代入，得：

解得：，

∴方程为，

∴x1x2==-2．

故答案为：-2

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程 的两个实数根，则，是解题的关键．

三、解答题

1、（1）见详解；（2）k＜-4

【分析】

（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得Δ≥0，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1=2、x2= k+3，根据方程有一根小于-1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．

【详解】

（1）证明：∵在方程中，Δ=[-（k+5）]2-4×1×（6+2k）=k2+2k+1=（k+1）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵，
∴x1=2，x2=k+3．
∵此方程恰有一个根小于，
∴k+3＜-1，解得：k＜-4，
∴k的取值范围为k＜-4．

【点睛】

本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于-1，找出关于k的一元一次不等式．

2、见解析

【分析】

分两种情况，当m＝0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当m≠0时，方程为一元二次方程，由于b2-4ac＝（m﹣1）2≥0，则可判断方程有两个实数根．

【详解】

证明：当m＝0时，方程化为x﹣2＝0，解得x＝2；

当m≠0时，∵b2-4ac＝（3m﹣1）2﹣4m（2m﹣2）

＝m2﹣2m+1

＝（m﹣1）2≥0，

∴关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0有两个实数根，

综上所述，无论m取任何实数，关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0恒有实数根．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的解，以及一元二次方程根的判别式，分类讨论是解答本题的关键．

3、（1）

；（2）李舒所摆图形的第14图形恰好含有76个棋子；林涵所摆的图形中没有恰好含有76个棋子的；（3）林涵同学所摆的第11个图形含有棋子个数先超过120个；（4）两位同学所摆图形中，第6个图形所需棋子数相同．
【解析】

【分析】

（1）根据所给图形和表格找到每个同学所摆图形所需棋子个数的规律，并用代数式表示，即可填写表格；

（2）令（1）所总结的两个代数式分别等于76，解出结果是整数的即为恰好含有76个棋子的图形；

（3）令（1）所总结的两个代数式分别等于120，解出结果更小的，就说明那个同学所摆的图形含有棋子个数先超过120个；

（4）令（1）所总结的两个代数式相等，即列出关于n的一元二次方程，解出n即可．

【详解】

（1）根据李舒所用棋子数：

第1图形：，

第2图形：，

第3图形：，

∴第4图形的棋子数为：，

…

第n图形的棋子数为：；

林涵所用棋子数：

第1图形：，

第2图形：，

第3图形：，

∴第4图形的棋子数为：，

…

第n图形的棋子数为：．

故可填表为：

（2），

解得：，

∴李舒所摆图形的第14图形恰好含有76个棋子；

，

解得：，

∴林涵所摆的图形中没有恰好含有76个棋子的；

（3），

解得：，

∴李舒所摆图形的第23图形开始超过120个；

，

解得：，

∴林涵所摆图形的第11图形开始超过120个；

故林涵同学所摆的第11个图形含有棋子个数先超过120个；

（4），

解得：，（舍）

故：两位同学所摆图形中，第6个图形所需棋子数相同．

【点睛】

本题考查图形类规律探索，一元二次方程的实际应用．根据所给图形和表格找到每个同学所摆图形所需棋子个数的规律，并用代数式表示是解答本题的关键．

4、30个．

【分析】

设学校一次性购买这种“神州载人飞船”模型x个，然后找出等量关系，列出方程，解方程即可求出答案．

【详解】

解：根据题意，设学校一次性购买这种“神州载人飞船”模型x个，则

实际销售单价为：400.5×（x10）=450.5x（元）；

∵，

∴；

∴，

解得：或（舍去）；

∴学校购买30个“神州载人飞船”模型的数量．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设出“神州载人飞船”模型的个数并表示出销售单价．

5、（1）①；②；（2）见解析；（3）等边三角形，理由见解析

【分析】

（1）仿照例子运用配方法进行因式分解即可；

（2）利用配方法和非负数的性质进行说明即可；

（3）展开后利用分组分解法因式分解后利用非负数的性质确定三角形的三边的关系即可．

【详解】

解：（1）①

．

②

（2）

∵

∴

∴多项式的值总是一个正数．

（3）为等边三角形．

理由如下：∵

∴

∴

∴，

∴

∴为等边三角形．

【点睛】

本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细阅读材料理解配方的方法．