初中数学第十六章 一元二次方程综合与测试综合训练题

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程课时练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、若关于x的一元二次方程的一根为1，则k的值为（    ） ．

A．1 B． C． D．0

2、若a是方程的一个根，则的值为（    ）

A．2020 B． C．2022 D．

3、某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第十二月的总营业额要达到9100万元，求该公司11；12两个月营业额的月均增长率，设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为，则根据题意可列的方程为（    ）

A． B．

C． D．

4、一元二次方程2x2 - 1 = 6x化成一般形式后，常数项是 - 1，一次项系数是（    ）

A．- 2 B．- 6 C．2 D．6

5、在等式①；②；③；⑤；⑤中，符合一元二次方程概念的是（    ）

A．①⑤ B．① C．④ D．①④

6、一元二次方程根的情况是（    ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．无法判断

7、南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为步，根据题意可以列方程为（    ）

A． B． C． D．

8、如图，在一块长为30m，宽为20m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300m2，若设道路宽为xm，则根据题意可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

9、下列命题中，逆命题不正确的是（　　）

A．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）没有实数根，那么b2﹣4ac＜0

B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等

C．全等三角形对应角相等

D．直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方

10、若关于x的方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　）

A．k≥2 B．k≥﹣2 C．k＞﹣2且k≠0 D．k≥﹣2且k≠0

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、若m是方程的一个根，则的值为______．

2、关于x的一元二次方程x2+bx﹣10＝0的一个根为2，则b的值为__．

3、一元二次方程3x2﹣6x＝0的根是_____．

4、已知关于的一元二次方程（a，b，c为常数，）的解为，则方程的解为__________．

5、关于的一元二次方程的一个根是，则方程的另一根是_______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知，如图，在平面直角坐标系内，点A的坐标为(0，12)，经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B，点B坐标为(﹣9，3)．

（1）求直线l1，l2的表达式；

（2）点C为直线OB上一动点（点C不与点O，B重合），作CDy轴交直线l2于点D，过点C，D分别向y轴作垂线，垂足分别为F，E，得到矩形CDEF．

①设点C的纵坐标为n，求点D的坐标（用含n的代数式表示）；

②若矩形CDEF的面积为48，请直接写出此时点C的坐标．

2、解方程：

（1）x2﹣6x﹣4＝0；

（2）3x（x+1）＝3x+3．

3、解方程:2x2 - 4x - 1 = 0

4、已知关于x的一元二次方程．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个根都是正整数，求a的最小值．

5、近日，广西南宁苏爷爷自家果园的上千斤皇帝柑发生蓝变（即果皮白皮层变蓝），无法正常售卖，他决定将这些皇帝柑免费寄给科研人员．网友看到苏爷爷的故事，纷纷订购表示支持．已知苏爷爷自家果园的皇帝柑有两种类型在售，一种是实惠装中型果实（简称“中果”），一种是豪华装大型果实（简称“大果”）．

（1）网友小张买了2箱中果，1箱大果，花了116元；网友小李买了1箱中果，2箱大果，花了124元．求每箱中果和大果的售价分别是多少元？

（2）在（1）的条件下，正常情况平均每周可销售30箱大果．但为了减少库存，苏爷爷决定对大果降价销售，经调查发现，一箱大果的售价每降低2元，大果的销量每周可增加5箱，如果大果每周的销售额为1600元，且降低后的售价不低于（1）中大果售价的70%．求每箱大果的售价应该降低多少元？

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

把方程的根代入方程可以求出k的值．

【详解】

解：把1代入方程有：
1+2k+1=0，
解得：k=-1，
故选：B．

【点睛】

本题考查的是一元二次方程的解，正确理解题意是解题的关键．

2、C

【分析】

先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．

【详解】

解：是关于的方程的一个根，

，

，

，

．

故选：C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，利用整体代入的方法计算可简化计算．

3、C

【分析】

根据等量关系第10月的营业额×（1+x）2=第12月的营业额列方程即可．

【详解】

解：根据题意，得：，

故选：C．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．

4、B

【分析】

先把一元二次方程化为一般形式，即可得出一次项系数．

【详解】

∵一元二次方程化为一般形式，

∴一次项系数是．

故选：B．

【点睛】

本题考查一元二次方程的相关概念，一元二次方程一般形式：，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项．

5、B

【分析】

根据一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐个分析判断即可．

【详解】

解：①，是一元二次方程，符合题意；

②，不是方程，不符合题意；

③，不是整式方程，不符合题意；

⑤，是二元一次方程，不符合题意；

⑤，是一元一次方程，不符合题意

故符合一元二次方程概念的是①

故选B

【点睛】

本题考查了一元二次方程定义，掌握一元二次方程定义是解题的关键．

6、A

【分析】

计算出判别式的值，根据判别式的值即可判断方程的根的情况．

【详解】

∵，，，

∴，

∴方程有有两个不相等的实数根．

故选：A

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式的值的情况可以判断方程有无实数根．

7、C

【分析】

设长为x步，则宽为（60-x）步，根据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】

设长为x步，则宽为（60-x）步，
依题意得：x（60-x）=864，

整理得：．
故选：C．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

8、B

【分析】

根据题意草坪的长为m，宽为m，根据长方形的面积公式列出一元二次方程即可

【详解】

解：设道路宽为xm，则根据题意可列方程为

故选B

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．

9、C

【分析】

分别写出各个命题的逆命题，然后判断正误即可．

【详解】

解：A.逆命题为：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中b2﹣4ac＜0，那么它没有实数根，正确，不符合题意；

B.逆命题为：到线段距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，不符合题意；

C.逆命题为：对应角相等的两三角形全等，错误，符合题意；

D.逆命题为：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，正确，不符合题意．

故选：C

【点睛】

本题考查了原命题、逆命题，命题的真假，一元二次方程根的判别式，线段垂直平分线，全等三角形的判定与性质，勾股定理极其逆定理等知识，综合性较强，准确写出各选项的逆命题并准确判断是解题关键．

10、B

【分析】

根据当时，方程是一元一次方程有实数根，当时，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ=（-4）2-4 k×（-2）≥0，然后求出两不等式组的公共部分，两种情况合并即可．

【详解】

解：根据题意得：①当时，方程是一元一次方程，此时﹣4x﹣2＝0，方程有实数解；

②当时，此方程是一元二次方程，可得

k≠0且Δ=（-4）2-4 k×（-2）≥0，

解得k≥-2且k≠0．

综上，当时，关于x的方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，

故选：B．

【点睛】

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．

二、填空题

1、-16

【分析】

把x=m代入，可得，然后代入计算即可；

【详解】

解：把x=m代入，得

，

∴，

∴

=

=-3-13

=-16．

故答案为：-16．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解，以及整体代入法求代数式的值，求出是解答本题的关键．

2、3

【分析】

把x＝2代入方程x2+bx﹣10＝0得关于b的方程，然后解方程即可．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程x2+bx﹣10＝0的一个根为2，

∴把x＝2代入方程x2+bx﹣10＝0得4+2b﹣10＝0，

解得b＝3．

故答案为：3．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程。解题的关键在于能够熟知一元二次方程解得定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

3、x1＝2，x2＝0

【分析】

根据因式分解法即可求出答案．

【详解】

解：∵3x2﹣6x＝0，

∴3x（x﹣2）＝0，

∴3x＝0或x﹣2＝0，

∴x1＝2，x2＝0，

故答案为：x1＝2，x2＝0．

【点睛】

本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．

4、##

【分析】

根据一元二次方程解的定义可得令，进而即可求得，即方程的解

【详解】

解：∵关于的一元二次方程（a，b，c为常数，）的解为，

∴方程中，令

则，即或

解得

即的解为

故答案为：

【点睛】

本题考查了一元二次方程解的定义，掌握解的定义，换元是解题的关键．

5、

【分析】

设另一根为，根据一元二次方程根与系数的关系，可得 ，由，解一元一次方程即可求得方程的另一根

【详解】

解：∵关于的一元二次方程的一个根是，设另一根为，

∴

故答案为：

【点睛】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握是解题的关键．

三、解答题

1、（1）y＝﹣x，y＝x+12；（2）①(﹣3n，﹣3n+12)；②(3，﹣1)或C(﹣12，4)

【分析】

（1）从图中看以看出l1是正比例函数，l2是一次函数，根据点A、B的坐标，用待定系数法即可求得l1、l2的解析式；

（2）①已知点C的纵坐标及点C在直线l1上，求得点C的横坐标；进而知道了点D的横坐标，点D在直线l2上，易得点D的坐标；

②根据点C与点D坐标，求出CF＝|3n|，CD＝|﹣3n+12﹣n|＝|﹣4n+12|，利用矩形的面积＝长×宽，列出关于n的方程，解方程即可．

【详解】

解：（1）设直线l1的表达式为y＝k1x，

∵过点B（﹣9，3），

∴﹣9k1＝3，

解得：k1＝﹣，

∴直线l1的表达式为y＝﹣x；

设直线l2的表达式为y＝k2x+b，

∵过点A （0，12），B（﹣9，3），

∴，

解得：，

∴直线l2的表达式y＝x+12；

（2）①∵点C在直线l1上，且点C的纵坐标为n，

∴n＝﹣x，

解得：x＝﹣3n，

∴点C的坐标为（﹣3n，n），

∵CD∥y轴，

∴点D的横坐标为﹣3n，

∵点D在直线l2上，

∴y＝﹣3n+12，

∴D（﹣3n，﹣3n+12）；

②∵C（﹣3n，n），D（﹣3n，﹣3n+12），

∴CF＝|3n|，CD＝|﹣3n+12﹣n|＝|﹣4n+12|，

∵矩形CDEF的面积为60，

∴S矩形CDEF＝CF•CD＝|3n|×|﹣4n+12|＝48，

解得n＝﹣1或n＝﹣4，

当n＝﹣1时，﹣3n＝3，故C（3，﹣1），

当n＝4时，﹣3n＝1﹣12，故C（﹣12，4）．

综上所述，点C的坐标为：（3，﹣1）或C（﹣12，4）．

【点睛】

本题考查待定系数法求一次函数的解析式，勾股两点距离，矩形面积，解一元二次方程，掌握待定系数法求一次函数的解析式，勾股两点距离，矩形面积，解一元二次方程是解题关键．

2、（1）x1=+3，x2=-+3（2）x1=-1，x2=1

【分析】

（1）根据配方法即可求解；

（2）根据因式分解法即可求解．

【详解】

（1）x2﹣6x﹣4＝0

x2﹣6x+9＝13

（x-3）2＝13

x-3=±

∴x1=+3，x2=-+3

（2）3x（x+1）＝3x+3

3x（x+1）-3（x+1）=0

3（x+1）（x-1）=0

∴x+1=0或x-1=0

∴x1=-1，x2=1．

【点睛】

此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知配方法与因式分解法的运用．

3、，．

【分析】

此题采用公式法即可求出一元二次方程的解．

【详解】

解：由题意可知：，，

∴

∴

∴，．

【点睛】

本题主要是考查了公式法求解一元二次方程，熟练记忆一元二次方程的求根公式，是求解该题的关键．

4、（1）证明见详解；（2）a的最小值为0．

【分析】

（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根；

（2）根据题意利用十字相乘法解方程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定a的取值范围，即可求出a的最小值．

【详解】

（1）证明：依题意得：

，

，

∴ ．

∴方程总有两个实数根；

（2）由，

可化为：

得 ，

∵ 方程的两个实数根都是正整数，

∴ ．

∴ ．

∴a的最小值为0．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键．

5、（1）每箱中果的售价为36元，每箱大果的售价为44元；（2）每箱大果的售价应该降低4元．

【分析】

（1）设每箱中果的售价为x元，每箱大果的售价为y元，根据“2箱中果，1箱大果，花了116元； 1箱中果，2箱大果，花了124元”列出二元一次方程组求解即可；

（2）根据“每周的销售额为1600元，且降低后的售价不低于（1）中大果售价的70%”列出方程和不等式求解即可．

【详解】

解：（1）设每箱中果的售价为x元，每箱大果的售价为y元，根据题意得

解得，

所以，每箱中果的售价为36元，每箱大果的售价为44元；

（2）设每箱大果的售价应该降低m元，根据题意得，

解①得，，

解②得，

∴

所以，每箱大果的售价应该降低4元

【点睛】

本题本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键．