初中数学第十六章 一元二次方程综合与测试测试题

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程定向测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

2、若m是方程x2＋x﹣1＝0的根，则2m2＋2m＋2020的值为（   ）

A．2022 B．2021 C．2020 D．2019

3、对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有下列说法：

①当a＜0，且b＞a＋c时，方程一定有实数根；

②若ac＜0，则方程有两个不相等的实数根；

③若a－b＋c＝0，则方程一定有一个根为－1；

④若方程有两个不相等的实数根，则方程bx2＋ax＋c＝0一定有两个不相等的实数根．

其中正确的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①②③④

4、下列方程中，是一元二次方程的个数有（　　）

（1）x2＋2x＋1＝0；（2）＋＋2＝0；（3）x2－2x＋1＝0；（4）（a－1）x2＋bx＋c＝0；（5）x2＋x＝4－x2．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

5、中秋佳节前某月饼店7月份的销售额是2万元，9月份的销售额是4.5万元，从7月份到9月份，该店销售额平均每月的增长率是（　　）

A．20% B．25% C．50% D．62.5%

6、一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，则这个三角形的第三条边不可能为（    ）

A．7 B．11 C．15 D．19

7、已知一元二次方程x2－4x－1＝0的两根分别为m，n，则m＋n－mn的值是（    ）

A．5 B．3 C．－3 D．－4

8、若关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）

A．a≥﹣且a≠0 B．a≤﹣ C．a≥﹣ D．a≤﹣且a≠0

9、用配方法解方程x2+2x=1，变形后的结果正确的是（   ）

A．（x+1）2=-1 B．（x+1）2=0 C．（x+1）2=1 D．（x+1）2=2

10、下表是用计算器探索函数y＝2x2﹣2x﹣10所得的数值，则方程2x2﹣2x﹣10＝0的一个近似解为（    ）

A．x≈﹣2.15 B．x≈﹣2.21 C．x≈﹣2.32 D．x≈﹣2.41

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比1月份的利润增加4.2万元，设该产品利润平均每月的增长率为x，则可列方程为___．

2、已知的算术平方根为a，则关于x的方程的根为____________．

3、已知（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x，则一元二次方程x2+x﹣m＝0的根是 _____．

4、一元二次方程3x2＝3﹣2x的根的判别式的值为 _____．

5、设m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、用合适的方法解下列方程：

（1）x2﹣4x﹣5＝0；

（2）2x2﹣6x﹣3＝0；

（3）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）；

（4）．

2、已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．

（1）求a的取值范围；

（2）若a为正整数，求方程的根．

3、用适当的方法解方程．

（1）

（2）

4、解下列方程：

（1）(2x－1)2 = x2；

（2）(x＋1)(x＋3)＝－1．

5、如图，在一块长为30m、宽为20m的矩形地面上，要修建两横两竖的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），横、竖道路的宽度比为2：3，剩余部分种上草坪，如果要使草坪的面积是地面面积的四分之一，应如何设计道路的宽度？

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

先利用得到，再利用x的一次式表示出，则进行化简，然后解方程，从而得到的值．

【详解】

解：根据题意，∵，

∴，

∴，

∴

；

∵，

解得：，，

∵，

∴，

∴；

故选：B

【点睛】

本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．

2、A

【分析】

根据题意，将m代入方程中，得到，再将整理成，利用整体代入法解题即可．

【详解】

解：是方程的根，

，

∴

故选A．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解、代数式的值、整体思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

3、C

【分析】

①令，，，由判别式即可判断；②若，则a、c异号，由判别式即可判断；③令得，即可判断；④取，，来进行判断即可．

【详解】

①由当，，，，方程此时没有实数根，故①错误；

②若，a、c异号，则，方程一定有两个不相等的实数根，所以②正确；

③令得，则方程一定有一个根为；③正确；

④当，，时，有两个不相等的根为，但方程只有一个根为1，故④错误．

故选：C．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解以及判别式，掌握用判别式判断根的情况是解题的关键．

4、B

【分析】

根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为二次的整式方程，且二次项系数不为0）依次进行判断即可．

【详解】

解：（1）是一元二次方程；

（2）不是一元二次方程；

（3）是一元二次方程；

（4），的值不确定，不是一元二次方程；

（5）是一元二次方程，

共3个，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查一元二次方的定义，深刻理解这个定义是解题关键．

5、C

【分析】

设该商店销售额平均每月的增长率为x，利用9月份的销售额＝7月份的销售额×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出该商店销售额平均每月的增长率为50%．

【详解】

解：设该商店销售额平均每月的增长率为x，

依题意得：2（1+x）2＝4.5，

解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．

∴该商店销售额平均每月的增长率为50%．

故选：C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用；解题的关键在于理解清楚题目的意思，根据条件找出等量关系，列出方程求解．

6、D

【分析】

先根据一元二次方程的解法得到这个三角形的两边长，然后再利用三角形三边关系可排除选项．

【详解】

解：

，

解得：，

∴这个三角形的两边的长为6和11，

∴第三边长x的范围为5＜x＜17；

故选D．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，熟练掌握一元二次方程的解法及三角形三边关系是解题的关键．

7、A

【分析】

根据一元二次方程根与系数的关系先求出m＋n和mn的值，然后代入计算即可．

【详解】

解：∵一元二次方程的两根分别为m，n，

∴，，

∴，

故选：A．

【点睛】

本题考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若其两根分别为和，则其两个根满足，，掌握此定理是解题关键．

8、A

【分析】

根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，

∴，

解得：且．

故选A．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式和一元二次方程的定义是解题的关键．

9、D

【分析】

方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可得到答案．

【详解】

解：∵x2+2x=1，
∴x2+2x+1=1+1，
∴（x+1）2=2，
故选D．

【点睛】

本题考查配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

10、C

【分析】

根据表可得，方程2x2﹣2x﹣10＝0的一个解应在﹣2.3与﹣2.4之间，再由y的值可得，它的根近似的看作是﹣2.3．

【详解】

∵当x＝﹣2.3时，y＝﹣0.11，

当x＝﹣2.4时，y＝0.56，

则方程的根﹣2.3＜x＜﹣2.4，

∵|﹣0.11|＜|0.56|，

∴方程2x2﹣2x﹣10＝0的一个近似解为x≈﹣2.32．

故选：C．

【点睛】

本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是看y值的变化．

二、填空题

1、20（1+x）2＝20+4.2

【分析】

根据该公司销售该种产品1月份及3月份获得的利润，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】

解：依题意得：20（1+x）2＝20+4.2，

故答案为：20（1+x）2＝20+4.2．

【点睛】

本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

2、x1=5，x2=1．

【分析】

先根据算术平方根求出a的值，在代入解一元二次方程即可．

【详解】

解：∵=9，

9的算术平方根是3，

∴a=3，

∴关于x的方程(x-a)2=4变为(x-3)2=4

∴x-3=±2

解得x1=5，x2=1．

故答案为：x1=5，x2=1．

【点睛】

本题考查了算术平方根的求法和一元二次方程的解法，做题的关键是求出a的值．

3、或.

【分析】

由题意将（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x变形为，进而即可求得一元二次方程x2+x﹣m＝0的根.

【详解】

解：∵（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x，

∴，

∵x2+x﹣m＝0，

∴，

解得：或.

故答案为：或.

【点睛】

本题考查求一元二次方程的根，注意将（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x变形为是解题的关键.

4、40

【分析】

先把一元二次方程化为一般式，然后利用一元二次方程根的判别式直接计算即可解答．

【详解】

解：∵，

∴，

∴，，，

，

故答案为：40．

【点睛】

本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是解题关键．

5、2019

【分析】

由韦达定理可列出m，n的代数值，代入计算即可．

【详解】

∵m，n分别为一元二次方程的两个实数根

∴m+n=-2，

则

【点睛】

本题考查了韦达定理，如果的两个实数根是，那么，．推论1：如果方程的两个根是，那么，.推论2：以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是．

三、解答题

1、（1）；（2）；（3）；（4）．

【分析】

（1）方程利用因式分解法求出解即可；

（2）方程利用公式法求出解即可；

（3）方程变形后，利用因式分解法求出解即可；

（4）方程利用公式法求出解即可．

【详解】

解：（1）方程x2﹣4x﹣5＝0，
分解因式得：（x-5）（x+1）=0，
所以x-5=0或x+1=0，
解得：x1=5，x2=-1；

（2）方程2x2﹣6x﹣3＝0，

a=2，b=-6，c=-3，

∵△=b2-4ac=36+24=60＞0，

∴x==，

∴；
（3）方程移项得：（2x-3）2-5（2x-3）=0，
分解因式得：（2x-3）（2x-3-5）=0，
所以2x-3=0或2x-8=0，
解得：；

（4）

a=1，b=，c=10，

∵△=b2-4ac=48-40=8＞0，

∴x==，

∴．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解题的关键．

2、（1）a＜；（2）

【分析】

（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2-4ac＞0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围；
（2）由（1）的结论结合a为正整数，即可得出a=1，将其代入原方程，再利用公式法解一元二次方程，即可求出原方程的解．

【详解】

解：（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴＞0，

解得a＜，

∴的取值范围为a＜．

（2）∵a＜，且a为正整数，

∴，代入，

此时，方程为．

∴解得方程的根为

【点睛】

本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的两个根．

3、（1），；（2）

【分析】

（1）提取公因式(x-2)，利用因式分解法求解即可求得答案；

（2）利用因式分解法求解即可求得答案．

【详解】

解：（1）

∴，

（2）

∴

【点睛】

此题考查了一元二次方程的解法．注意选择适宜的解题方法是解此题的关键．

4、（1）；（2）．

【分析】

（1）先移项，再用因式分解法即可求解；

（2）先整理为一般形式，对方程左边分解因式，即可求解．

【详解】

解：（1）(2x－1)2 = x2

移项得，

因式分解得，

∴或，

∴；

（2）(x＋1)(x＋3)＝－1

原方程整理得，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，熟知一元二次方程的解法并根据方程特点灵活选择是解题关键，注意第（2）题有两个相等的实数根，不要漏写．

5、横着的道路的宽为，则竖着的道路宽为．

【分析】

设横着的道路的宽为，则竖着的道路宽为，然后根据要使草坪的面积是地面面积的四分之一，列出方程求解即可．

【详解】

解：设横着的道路的宽为，则竖着的道路宽为，

由题意得：，

∴，

∴，

∴

解得或，

∵当时，，不符合题意，

∴，

∴横着的道路的宽为，则竖着的道路宽为．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于正确理解题意，列出方程求解．