初中数学北京课改版七年级下册第七章 观察、猜想与证明综合与测试练习

京改版七年级数学下册第七章观察、猜想与证明同步测试

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列命题中，是真命题的是（  ）

A．同位角相等 B．同角的余角相等

C．相等的角是对顶角 D．有且只有一条直线与已知直线垂直

2、如果一个角的补角是这个角的4倍，那么这个角为（　　）

A．36° B．30° C．144° D．150°

3、如图，一辆快艇从P处出发向正北航行到A处时向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时航行方向为（　　）

A．西偏北50° B．北偏西50° C．东偏北30° D．北偏东30°

4、如图，下列条件中能判断直线的是（ ）

A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠5 C．∠2＝∠4 D．∠3＝∠5

5、如图，货轮O航行过程中，同时发现灯塔A和轮船B，灯塔A在货轮O北偏东40°的方向，∠AOE＝∠BOW，则轮船B在货轮（　　）

A．西北方向 B．北偏西60° C．北偏西50° D．北偏西40°

6、如图，C、D在线段BE上，下列说法：

①直线CD上以B、C、D、E为端点的线段共有6条；

②图中至少有2对互补的角；

③若∠BAE=90°，∠DAC=40°，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和360°；

④若BC=2，CD=DE=3，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大值为15，最小值为11，其中说法正确的个数有（  ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7、下列命题是假命题的有（    ）

①在同一个平面内，不相交的两条直线必平行；

②内错角相等；

③相等的角是对顶角；

④两条平行线被第三条直线所截，所得同位角相等．

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

8、如图，∠1=∠2，∠3=25°，则∠4等于（    ）

A．165° B．155° C．145° D．135°

9、嘉淇在证明“平行于同一条直线的两条直线平行”时，给出了如下推理过程：

小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∴∠1＝∠5”和“∴b∥c”之间作补充，下列说法正确的是（　　）

A．嘉淇的推理严谨，不需要补充

B．应补充∠2＝∠5

C．应补充∠3+∠5＝180°

D．应补充∠4＝∠5

10、下列说法中，真命题的个数为（      ）

①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；

②在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；

③过一点有且只有一条直线与这条直线平行；

④点到直线的距离是这一点到直线的垂线段；

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知，则的余角是________．

2、如图，∠AOB＝180°，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，则图中与∠COD互补的角是 _____．

3、已知∠1与∠2互余，∠3与∠2互余，则∠1_____∠3．（填“＞”，“＝”或“＜”）

4、已知直线AB、CD相交于点O，且A、B和C、D分别位于点O两侧，OE⊥AB，，则____________．

5、如图，已知直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1＝______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知，，三点在同一条直线上，平分，平分．

（1）若，如图1，则      ；

（2）若，如图2，求的度数；

（3）若如图3，求的度数．

2、如图，己知AB∥DC，AC⊥BC，AC平分∠DAB，∠B＝50°，求∠D的大小．

阅读下面的解答过程，并填括号里的空白（理由或数学式）．

解：∵AB∥DC（ 　   　），

∴∠B+∠DCB＝180°（ 　   　）．

∵∠B＝（ 　   　）（已知），

∴∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．

∵AC⊥BC（已知），

∴∠ACB＝（ 　   　）（垂直的定义）．

∴∠2＝（ 　   　）．

∵AB∥DC（已知），

∴∠1＝（ 　   　）（ 　   　）．

∵AC平分∠DAB（已知），

∴∠DAB＝2∠1＝（ 　   　）（角平分线的定义）．

∵AB∥DC（己知），

∴（ 　   　）+∠DAB＝180°（两条直线平行，同旁内角互补）．

∴∠D＝180°﹣∠DAB＝　   　．

3、如图，OC是∠AOB的平分线，且∠AOD＝90°，∠COD＝27°．求∠BOD的度数．

4、直线AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点M、N，NP平分∠MND．

（1）如图1，若MR平分∠EMB，则MR与NP的位置关系是      ．

（2）如图2，若MR平分∠AMN，则MR与NP有怎样的位置关系？请说明理由．

（3）如图3，若MR平分∠BMN，则MR与NP有怎样的位置关系？请说明理由．

5、补全下列推理过程：已知：如图，CE平分∠BCD，∠1＝∠2＝70°，∠3＝40°，求证：AB∥CD．

证明：∵CE平分∠BCD（______）

∴∠1＝_____（_______）

∵∠1＝∠2＝70°（已知）

∴∠1＝∠2＝∠4＝70°（________）

∴AD∥BC（________）

∴∠D＝180°－_______＝180°－∠1－∠4＝40°

∵∠3＝40°（已知）

∴______＝∠3

∴AB∥CD（_______）

---------参考答案-----------

一、单选题

1、B

【分析】

利用平行线的性质、对顶角的性质、垂线的定义及互余的定义分别对每个选项进行判断后即可确定正确的选项．

【详解】

解：A、应该是两直线平行，同位角相等，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；

B、同角的余角相等，是真命题，故本选项符合题意；

C、相等的角不一定是对顶角，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；

D、应该是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、对顶角的性质、垂线的定义及互补的定义等知识．

2、A

【分析】

设这个角为 ，则它的补角为 ，根据“一个角的补角是这个角的4倍”，列出方程，即可求解．

【详解】

解：设这个角为 ，则它的补角为 ，根据题意得：

，

解得： ．

故选：A

【点睛】

本题主要考查了补角的性质，一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．

3、D

【分析】

由，证明，再利用角的和差求解 从而可得答案.

【详解】

解：如图，标注字母， ，

∴,

此时的航行方向为北偏东30°，

故选：D．

【点睛】

本题考查的是平行线的性质，角的和差运算，掌握“两直线平行，同位角相等”是解本题的关键.

4、C

【分析】

利用平行线的判定方法判断即可得到结果．

【详解】

解：A、根据∠1=∠2不能判断直线l1∥l2，故本选项不符合题意．

B、根据∠1=∠5不能判断直线l1∥l2，故本选项不符合题意．

C、根据“内错角相等，两直线平行”知，由∠2=∠4能判断直线l1∥l2，故本选项符合题意．

D、根据∠3=∠5不能判断直线l1∥l2，故本选项不符合题意．

故选：C．

【点睛】

此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．

5、D

【分析】

根据题意得：∠AON=40°，再由等角的余角相等，可得∠BON=∠AON=40°，即可求解．

【详解】

解：根据题意得：∠AON=40°，

∵∠AOE＝∠BOW，∠AON+∠AOE=90°，∠BON+∠BOW=90°，

∴∠BON=∠AON=40°，

∴轮船B在货轮的北偏西40°方向．

故选：D

【点睛】

本题主要考查了余角的性质，方位角，熟练掌握等角的余角相等是解题的关键．

6、B

【分析】

按照两个端点确定一条线段即可判断①；根据补角的定义即可判断②；根据角的和差计算机可判断③；分两种情况讨论：当点F在线段CD上时点F到点B、C、D、E的距离之和最小，当点F和E重合时，点F到点B、C、D、E的距离之和最大计算即可判断④．

【详解】

解：①以B、C、D、E为端点的线段BC、BD、BE、CE、CD、DE共6条，故此说法正确；

②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即∠BCA和∠ACD互补，∠ADE和∠ADC互补，故此说法正确；

③由∠BAE=90°，∠CAD=40°，根据图形可以求出∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE=3∠BAE+∠CAD=310°，故此说法错误；

④如图1，当F不在CD上时，FB+FC+FD+FE=BE+CD+2FC，如图2当F在CD上时，FB+FC+FD+FE=BE+CD，如图3当F与E重合时，FB+FC+FE+FD=BE+CD+2ED，同理当F与B重合时，FB+FC+FE+FD=BE+CD+2BC，

∵BC=2，CD=DE=3，

∴当F在的线段CD上最小，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC=2+3+3+3=11，当F和E重合最大则点F到点B、C、D、E的距离之和FB+FE+FD+FC=17，故此说法错误．

故选B．

【点睛】

本题主要考查了线段的数量问题，补角的定义，角的和差，线段的和差，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

7、C

【分析】

根据平面内两条直线的位置关系：平行，相交，可判断①，根据两直线平行，内错角相等可判断②，根据对顶角的定义：有公共的顶点，角的两边互为反向延长线可判断③，由两直线平行，同位角相等可判断④，从而可得答案.

【详解】

解：在同一个平面内，不相交的两条直线必平行；原命题是真命题，故①不符合题意；

两直线平行，内错角相等；原命题是假命题；故②符合题意；

相等的角不一定是对顶角；原命题是假命题；故③符合题意；

两条平行线被第三条直线所截，所得同位角相等；原命题是真命题，故④不符合题意；

故选C

【点睛】

本题考查的是真假命题的判断，同时考查平面内两条直线的位置关系，平行线的性质，对顶角的定义，掌握“判断真假命题的方法”是解本题的关键.

8、B

【分析】

设∠4的补角为，利用∠1=∠2求证，进而得到，最后即可求出∠4．

【详解】

解：设∠4的补角为，如下图所示：

∠1=∠2，

，

，

．

故选：B．

【点睛】

本题主要是考查了平行线的性质与判定，熟练角相等，证明两直线平行，然后利用平行关系证明其他角相等，这是解决该题的关键．

9、D

【分析】

根据平行线的性质与判定、平行公理及推论解决此题．

【详解】

解：证明：作直线DF交直线a、b、c分别于点D、E、F，

∵a∥b，

∴∠1=∠4，

又∵a∥c，

∴∠1=∠5，

∴∠4=∠5．

∴b∥c．

∴应补充∠4=∠5．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质与判定、平行公理及推论，熟练掌握平行线的性质与判定、平行公理及推论是解决本题的关键．

10、B

【分析】

根据平行线的性质与判定，点到直线的距离的定义逐项分析判断即可

【详解】

①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故①是真命题；

②在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，故②是真命题；

③在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故③不是真命题，

④点到直线的距离是这一点到直线的垂线段的长度，故④不是真命题，

故真命题是①②，

故选B

【点睛】

本题考查了判断真假命题，平行线的性质与判定，点到直线的距离的定义，掌握相关性质定理是解题的关键．

二、填空题

1、

【分析】

根据互余两角的和等于90°，即可求解．

【详解】

解：∵，

∴的余角是 ．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了余角的性质，熟练掌握互余两角的和等于90°是解题的关键．

2、∠AOD

【分析】

根据角平分线的性质，可得∠AOE=∠COE，∠COD=∠BOD，再根据补角的定义求解即可．

【详解】

解：∵OD是∠BOC的平分线，

∴∠COD＝∠BOD，

∵∠BOD+∠AOD＝180°，

∴∠COD+∠AOD＝180°，

∴与∠COD互补的是∠AOD．

故答案为：∠AOD．

【点睛】

本题考查了补角的定义，角平分线的定义等知识，解答本题的关键是理解补角的定义，掌握角平分线的性质．

3、＝

【分析】

根据等（同）角的余角相等解答即可．

【详解】

解：∵∠1与∠2互余，∠3与∠2互余，

∴∠1=∠3，

故答案为：=．

【点睛】

本题考查余角，熟知同（等）角的余角相等是解答的关键．

4、130°或50°

【分析】

根据题意作出图形，根据垂直的定义，互余与互补的定义，分类讨论即可

【详解】

①如图，

，

，

②如图，

，

，

综上所述，或

故答案为：130°或50°

【点睛】

本题考查了相交线所成角，对顶角相等，垂直的定义，求一个角的余角，补角，分类讨论是解题的关键．

5、

【分析】

延长AB，交两平行线与C、D，根据平行线的性质和领补角的性质计算即可；

【详解】

延长AB，交两平行线与C、D，

∵直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，

∴，，，

∴，

∴，

又∵∠1比∠2大4°，

∴，

∴，

∴；

故答案是．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质应用，准确计算是解题的关键．

三、解答题

1、（1）90；（2）90°；（3）90°

【解析】

【分析】

（1）由，，三点在同一条直线上，得出，则，由角平分线定义得出，，即可得出结果；

（2）由，则，同（1）即可得出结果；

（3）易证，同（1）得，，即可得出结果．

【详解】

解：（1），，三点在同一条直线上，

，

，

，

平分，平分，

，，

，

故答案为：90；

（2），

，

同（1）得：，，

；

（3），

，

同（1）得：，，

．

【点睛】

本题考查了角平分线定义、角的计算等知识；熟练掌握角平分线定义是解题的关键．

2、见解析．

【解析】

【分析】

先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据垂直的定义可得，从而可得，然后根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，最后根据平行线的性质即可得．

【详解】

解：∵（已知），

∴（两直线平行，同旁内角互补）．

∵（已知），

∴．

∵（已知），

∴（垂直的定义）．

∴．

∵（已知），

∴（两直线平行，内错角相等）．

∵平分（已知），

∴（角平分线的定义）．

∵（己知），

∴（两条直线平行，同旁内角互补）．

∴．

【点睛】

本题考查了平行线的性质、垂直的定义、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．

3、36°

【解析】

【分析】

利用余角的性质，角的平分线的定义，角的和差计算法则计算即可．

【详解】

∵∠AOD＝90°，∠COD＝27°，

∴∠AOC=∠AOD-∠COD＝90°-27°=63°；

∵OC是∠AOB的平分线，

∴∠AOC=∠BOC=63°；

∴∠BOD=∠BOC -∠COD＝63°-27°=36°．

【点睛】

本题考查了几何图形中的角的计算，角的平分线即把一个角分成两个相等的角的射线，余角的性质，正确理解图形和图形中的角的关系是解题的关键．

4、（1）MR//NP；（2）MR//NP，理由见解析；（3）MR⊥NP，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据AB∥CD，得出∠EMB=∠END，根据MR平分∠EMB，NP平分∠EBD，得出，可证∠EMR=∠ENP即可；

（2）根据AB∥CD，可得∠AMN=∠END，根据MR平分∠AMN，NP平分∠EBD，可得，得出∠RMN=∠ENP即可；

（3设MR，NP交于点Q，过点Q作QG∥AB，根据AB∥CD，可得∠BMN+∠END=180°，根据MR平分∠BMN，NP平分∠EBD，得出，计算两角和∠BMR+∠NPD=，根据GQ∥AB，AB∥CD，得出∠BMQ=∠GQM，∠GQN=∠PND，得出∠MQN=∠GQM+∠GQN=∠BMQ+∠PND=90°即可．

【详解】

证明：（1）结论为MR∥NP．

如题图1∵AB∥CD，

∴∠EMB=∠END，

∵MR平分∠EMB，NP平分∠EBD，

∴，

∴∠EMR=∠ENP，

∴MR∥BP；

故答案为MR∥BP；

（2）结论为：MR∥NP．

如题图2，∵AB∥CD，

∴∠AMN=∠END，

∵MR平分∠AMN，NP平分∠EBD，

∴

∴∠RMN=∠ENP，

∴MR∥NP；

（3）结论为：MR⊥NP．

如图，设MR，NP交于点Q，过点Q作QG∥AB，

∵AB∥CD，

∴∠BMN+∠END=180°，

∵MR平分∠BMN，NP平分∠EBD，

∴，

∴∠BMR+∠NPD=，

∵GQ∥AB，AB∥CD，

∴GQ∥CD∥AB，

∴∠BMQ=∠GQM，∠GQN=∠PND，

∴∠MQN=∠GQM+∠GQN=∠BMQ+∠PND=90°，

∴MR⊥NP，

【点睛】

本题考查平行线性质与判定，角平分线定义，角的和差，掌握平行线性质与判定，角平分线定义，角的和差是解题关键．

5、见解析

【解析】

【分析】

由已知CE平分∠BCD可得∠1＝ ∠4，利用等式的性质得出∠1＝∠2＝∠4＝70°，根据直线判定定理得出AD∥BC，利用平角定义求出∠D＝180°－∠BCD即可．

【详解】

证明：∵CE平分∠BCD（    已知    ），

∴∠1＝ ∠4 （ 角平分线定义   ），

∵∠1＝∠2＝70°已知，

∴∠1＝∠2＝∠4＝70°（等量代换），

∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），

∴∠D＝180°－∠BCD＝180°－∠1－∠4＝40°，

∵∠3＝40°已知，

∴ ∠D ＝∠3，

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．

故答案为：已知；∠4 ，角平分线定义 ；等量代换；内错角相等，两直线平行；∠BCD；∠D；内错角相等，两直线平行．

【点睛】

本题考查平行线判定，角平分线定义，平角，掌握平行线判定方法，角平分线定义，平角是解题关键．