专题46 电势差与电场强度的关系 2022届高中物理常考点归纳二轮复习

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常考点 电势差与电场强度的关系
【典例1】
如图甲所示，在匀强电场中，虚线为电场线，与Ox轴成θ＝37°角，Ox轴上有a、b、c三点，Oa＝bc＝ab＝2cm，Ox轴上各点的电势φ的变化规律如图乙所示。取sin37°＝0.6，cs37°＝0.8。下列说法正确的是（ ）
A．电场线方向斜向上
B．场强大小为800V/m
C．c点的电势为16V
D．电子在a点的电势能为﹣32eV
解：A、由图乙可以知道沿x方向电势降低，所以电场线方向斜向下，故A错误；
B、φ﹣x图线的斜率表示电场强度的大小，由乙图可知Ex＝800V/m，所以E＝＝V/m＝1000V/m，故B错误；
C、由题得O点的电势为48V，Oc间的距离为Oc＝8cm＝0.08m，所以Oc间的电势差为：UOc＝E•Oc•cs37°＝1000×0.08×0.8V＝64V，则UOc＝φO﹣φc＝64V，所以φc＝﹣16V，故C错误；
D、Oa间的电势差为UOa＝E•Oa•cs37°＝1000×0.02×0.8V＝16V，由UOa＝φO﹣φa得a点的电势为：φa＝32V，所以电子在a点的电势能为Ep＝﹣eφa＝﹣32eV，故D正确。
【典例2】
△ABC是匀强电场中一个边长为a的正三角形，O为该三角形的中心。若在△ABC的三个顶点A、B、C
分别固定点电荷+q、+q、﹣q，如图所示，则O处的场强为零。据此可知，匀强电场电场强度的大小和方向
为（ ）
A．，方向由C指向OB．，方向由O指向C
C．，方向由C指向OD．，方向由O指向C
解：由几何知识可知，OC＝a，根据电场的叠加原理以及平行四边形定则可知，三个点电荷在O点产生的电场的合场强大小为E＝2＝，方向由O指向C，因为O点的场强为零，所以匀强电场的场强大小与O点的场强大小相等，方向相反，故A正确，BCD错误.
1． 匀强电场中电势差跟电场强度的关系
（1）大小关系UAB=Ed或E=UAB/d
如图所示的匀强电场中，把一点电荷q从A移到B，则电场力做功为：W=qUAB。另外，由于是匀强电场，电场力为恒力，做功W=F·AB·csθ=F·q·AB·csθ=E·q·d，两式相比较， UAB=WAB／q=E d，这就是电场强度与电势差之间的关系。
说明：① 适用于匀强电场
②d必须是沿着场强方向的距离，如果电场中两点不沿场强方向，d的取值应为在场强方向的投影，即为电场中该两点所在的等势面的垂直距离。
② 公式E=UAB/d表明，匀强电场的电场强度，在数值上等于沿着电场方向上单位距离的电势降落，正是依据这个关系，电场强度的单位还有V/m,1 V/m=1 N/C .
③ 虽然公式U=Ed只适用匀强电场，但在非匀强电场问题中，我们也可以用此式来比较电势差的大小。例如图是一非匀强电场，某一电场线上A、B、C三点AB=BC，比较UAB和UBC的大小。我们可以设想，AB段的场强要比BC段的场强大，因而，UAB=E1·AB，UBC=E2BC，UAB>UBC。这里的E1、E2，分别指AB段、BC段场强的平均值。
④在同一幅等势面图中，我们往往把每两个相邻等势面间的电势差取一个定值，如果等势面越密，即相邻等势面的间距越小，那么场强E=U/d就越大。
⑤场强与电势无直接关系。因为某点电势的值是相对选取的零电势点而言的，选取的零电势点不同，电势的值也不同，而场强不变。零电势可以人为选取，而场强是否为零则由电场本身决定。初学容易犯的一个错误是把电势高低与电场强度大小联系起来，误认为电场中某点电势高，场强就大；某点电势低，场强就小。
（2）方向关系
① 电场线与等势面垂直；
② 场强方向就是电势降低最快的方向：只有沿场强方向，在单位长度上的电势差最大，也就是说电势降低最快的方向为电场强度的方向，但是，电势降低的方向不一定是场强方向。
2． U＝Ed在非匀强电场中的应用
●
E
B
A
●
C
●
●
●
D
在非匀强电场中，不能用U＝Ed进行计算，但可以进行定性分析，如距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大；E越小，U越小。
3． 等分法求电势和场强的步骤
①连接最高的电势点A和最低的电势点B；
②在该线段上运用等分法找出某点电势D等于第三点的电势C；
③连接C、D两点，得到等势面，作垂线即电场线；
④根据公式E=U/d计算场强E。
4． 匀强电场U和E关系的两个结论
结论一：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝eq \f(φA＋φB,2)，如图甲所示。
结论二：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示。
5． 一条电场线的多种可能性问题
【变式演练1】
如图所示，在x轴上相距为2L的两点固定两个等量同种负电荷Q，虚线是以左边电荷所在点为圆心、L为
半径的圆，a、b、c、d是圆上的四个点，其中a、c两点在x轴上，b、d两点关于x轴对称，下列说法正确的是（ ）
A．a、c两点处的电场强度和电势都相同
B．b、d两点处的电场强度和电势都相同
C．四个点中c点的电势最低，a点的电势最高
D．将一试探电荷﹣q沿圆周由a点移至c点，﹣q的电势能减小
【变式演练2】
如图所示为某一点电荷产生的电场中的7条电场线，电场线的分布关于y轴对称，O是坐标原点，M、N、
Q是以O为圆心的一个圆周上的4个点，其中M、N两点在y轴上，Q点在x轴上，P点在第5条电场
线上，则下列说法正确的是（ ）
A．M点的电势和P点的电势相等
B．将一正点电荷由M点移到P点，电势能减小
C．将一负点电荷由N点分别移到Q点和P点，电场力做功WNQ＜WNP
D．Q点的电场强度小于M点的电场强度
解：A、点电荷的等势面是以点电荷为球心的同心球面，且对正点电荷来说，距离点电荷越近的地方，电势越高，所以由图可知P点的电势高于M点的电势，故A错误；
B、将一正电荷由M点移到P点，电场力做负功，电势能增大，故B错误；
C、由图可知UNQ＜UNP，所以将一负电荷由N点移到Q点克服电场力做的功小于由N点移到P点克服电场力做的功，即电场力做功WNQ＜WNP，故C正确；
D、由点电荷电场线的特点可知，电场线密集的地方，电场强度大，所以Q点的电场强度大小大于M点的电场强度大小，故D错误。
解：A、根据同种等量电荷形成的电场，c点位于两电荷的中点，则c点的电场强度为0，而a点的电场强度不为0，故A错误；
B、该电场中的电势关于x轴对称，所以b、d两点的电势相等，由电场线的分布可知，b、d两处的电场强度大小相等，方向不同，故B错误；
C、顺着电场线方向电势降低，四个点到左边﹣Q处的电势差为正，等量同种负点电荷等势面的分布如图，可知a点到左侧﹣Q之间的等势面要比其它三点到左侧﹣Q之间的等势面密集，而c点到左侧﹣Q之间的等势面要比其它三点到左侧﹣Q之间的等势面稀疏，则a点到左边﹣Q处的电势差大于其它三点到左边﹣Q处的电势差，故a点的电势最高，而c点的电势最低，故C正确；
D、a点的电势高于c点的电势，试探电荷﹣q沿圆周由a点移至c点，根据Ep＝﹣qφ，﹣q的电势能增加。故D错误。
考点拓展练习
1．如图，△abc中bc＝4cm，∠acb＝30°。匀强电场的电场线平行于△abc所在平面，且a、b、c点的电势分别为3V、﹣1V、3V。下列说法中正确的是（ ）
A．电场强度的方向沿ac方向
B．电场强度的大小为2V/m
C．电子从a点移动到b点，电场力做功为4eV
D．电子从c点移动到b点，电势能增加了4eV
解：AB、由于ac两点电势相等，故ac为一条等势线，电场方向与等势线垂直，且由高电势指向低电势可知，电场方向垂直ac，且指向斜上方，故A错误；
B、因为E＝＝＝，故B错误；
C、电子从a点移动到b点，电场力做功Wab＝﹣Uabe＝﹣4eV，“﹣”表示电场力做负功，故C错误；
D、电子从c点移动到b点，电场力做功为Wcb＝﹣Ucbe＝﹣4eV，电场力做负功，电势能增加，电势能的变化量等于电场力所做的功，故D正确.
2．下列各图中，A、B、C表示匀强电场中的三个点，各点电势φA＝2V、φB＝12V、φC＝7V，A、B、C三点在同一平面上，其中场强强度的方向表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
解：据题，A、B、C三点的电势分别φA＝2V、φB＝12V、φC＝7V因为匀强电场中沿电场线方向相同距离电势差相等，则a、b两点连线中点的电势为 φ＝V＝7V，因此该中点与C点的连线为等势线，那么与此连线垂直的直线即为电场线，由于φA＝2V，φB＝12V，又因为沿着电场线电势降低，所以电场线方向垂直于AB的中点与c点连线向上，故C正确，ABD错误。
3．如图所示，匀强电场中的六个点A、B、C、D、E、F为正八面体的六个顶点，已知BE中点O的电势为零，A、B、C三点的电势分别为7V、﹣1V、3V，则E、F两点的电势分别为（ ）
A．2V、﹣2VB．1V、﹣3VC．1V、﹣5VD．﹣2V、﹣4V
解：在匀强电场中，由公式U＝Ed知，沿着任意方向前进相同距离电势差必定相等。由BO＝OE，则有：φB﹣φO＝φO﹣φE
得：φE＝2φO﹣φB＝0﹣（﹣1V）＝1 V；
由AC∥EF，且AC＝EF，有：φA﹣φC＝φE﹣φF
得：φF＝φC+φE﹣φA＝3V+1V﹣7V＝﹣3 V
4．如图所示，在匀强电场中有直角三角形BOC，电场方向与三角形所在平面平行，若三角形三顶点处的电势分别为φO＝4.5V、φB＝0V、φC＝9V，且边长OB＝3cm，BC＝6cm，则下列说法中正确的是（ ）
A．电场强度的大小为V/m
B．电场强度的大小为V/m
C．电场强度的大小为100V/m
D．一个电子在O点由静止释放后会沿直线OB运动
解：A、B、C、如图所示，因为OB＝3cm＝0.03m，BC＝6cm＝0.06m，故可知∠B＝60°，∠C＝60°
因为是匀强电场，且φB＝0V、φC＝9V，故沿着线段BC，电势从0V均匀增加到9V，所以BC的重点D的电势为4.5V，又因为φO＝4.5V，连接OD，故OD为一等势线，
又因为沿电场线方向电势逐渐降低，则电场强度的方向斜向上垂直于OD，
DB两点间的电势差：UDB＝φD﹣φB＝4.5V﹣0＝4.5V
DB两点沿电场线方向上的距离：d＝DBcs30°＝•cs30°＝0.045m
根据电势差与电场强度的关系可得电场强度的大小：E＝＝＝100N/C，故AB错误，C正确；
D、将电子在O点由静止释放后，电子将沿电场的反方向做沿直线运动，不会是沿CB运动，故D错误。
5．如图所示，边长为l的虚线正方形ABCD位于足够大的匀强电场中，对角线AC和BD相交于O点，正方形所在平面与电场方向平行。带正电粒子只在电场力作用下运动，在C点的速度方向如图所示，经过C、A两点时速度大小相等。已知C点电势高于B点电势，且电势差为U，下列说法正确的是（ ）
A．该匀强电场的电场强度大小为
B．粒子由C点运动到A点，电势能一直不变
C．C、A两点电势相等
D．粒子在电场中可能从C点沿直线经O点最后运动到A点
解：A、因为带电粒子在匀强电场中运动，经过C、A两点时速度大小相等，所以CA两点的连线即为等势线，又C点电势高于B点电势，则电场线方向由D点指向B点，带电粒子所受的电场力方向也由D点指向B点，匀强电场的电场强度E＝＝＝，故A错误；
B、速度方向与电场力方向夹角先大于90°后小于90°，电场力对粒子先做负功后做正功，所以电势能先增大后减小，故B错误；
C、带电粒子仅在电场力作用下运动，由于粒子在C、A两点时速度大小相等，即动能相等，则电势能也相等，根据φ＝可知C、A两点电势相等，故C正确；
D、粒子在匀强电场中受到的是恒定的电场力，由题意可知，速度方向与电场力方向不在同一直线上，所以不可能做直线运动，故D错误.
6．如图所示的四个电场的电场线，其中A和C图中小圆圈表示一个点电荷，A图中虚线是一个圆，B图中几条直线间距相等互相平行，则在图中M、N两点电场强度不相同且电势相同的是（ ）
A．B．
C．D．
解：A、M、N两点电场强度大小相等，方向不同，则电场强度不同。M、N两点处于同一等势面上，电势相同，故A正确。
B、等间距平行的电场线表示匀强电场，电场中电场强度处处相等，则M、N两点电场强度相同，M点的电势高于N点的电势，故B错误。
C、图中M点所在的电场线比较密集，N点所在的电场线比较疏，所以M点的电场强度大于N点的电场强度，N点的电势高于M点的电势。故C错误。
D、M点的电场强度小于N点的电场强度，M点的电势高于N点的电势。故D错误。
7．a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个平行四边形的四个顶点，电场线与平行四边形所在平面平行。已知a点的电势为20V，b点的电势为24V，d点的电势为12V，如图所示。由此可知c点的电势为（ ）
A．8VB．16VC．20VD．24V
解：在匀强电场中，每前进相同的距离，电势的降落相等，故：
φa﹣φd＝φb﹣φc
代入数据，解得：φc＝16V，选项B正确，CD错误.
8．如图所示，实线表示某电池中的四个等势面，它们的电势分别为φ1、φ2、φ3和φ4，相邻等势面间的电势差相等，一带负电的粒子（重力不计）在该电场中运动的轨迹如虚线所示，a、b、c、d是其运动轨迹与等势面的四个交点，则可以判断（ ）
A．φ4等势面上各点场强处处相同
B．四个等势面的电势关系是φ1＜φ2＜φ3＜φ4
C．粒子从a运动到d的过程中静电力一直做负功
D．粒子在a、b、c、d四点的速度大小关系是va＜vb＜vc＝vd
解：A、电场线的疏密表示电场的强弱，由图二可知φ4等势面上各点场强不是处处相等，故A错误；
B、电荷所受电场力指向轨迹内侧，由于电荷带负电，因此电场线指向左上方，沿电场线电势降低，由图一可知，因此Φ1＜Φ2＜Φ3＜Φ4，故B正确；
C、粒子从a运动到d的过程中静电力与速度的夹角先大于90°，后等于90°，最后小于90°，因此先做负功，后不做功，最后做正功，故C错误；
D、由C选项分析，电场力先做负功，再做正功，则有速度先减小后增大，由于c、d在同一等势线上，因此有va＞vb＞vc＝vd，故D错误
9．如图，匀强电场中的点A、B、C、D、E、F、G、H为立方体的8个顶点。已知G、F、B、D点的电势分别为5V、1V、2V、4V，则A点的电势为（ ）
A．0VB．1VC．2VD．3V
解：在匀强电场中，由公式U＝Ed知，沿着任意方向前进相同距离，电势差必定相等。
由于GF∥CB，且GF＝CB，则有
φG﹣φF＝φC﹣φB
代入数据解得：φC＝φG﹣φF+φB＝5V﹣1V+2V＝6V
同理，φA﹣φB＝φD﹣φC
解得，φA＝φB+φD﹣φC＝2V+4V﹣6V＝0V
10．如图所示，a、b、c为电场中同一条电场线上的三点，其中c为ab的中点。已知a、b两点的电势分别为φa＝2V、φb＝8V，则下列叙述正确的是（ ）
A．该电场线的电场方向一定由a指向b
B．该电场在C点处的电势一定为5V
C．a点处的场强Ea一定小于b点处的场强Eb
D．正电荷从a点运动到b点的过程中电势能一定增大
解：A、顺着电场线，电势逐渐降低，所以该电场线的电场方向一定由b指向a，故A错误；
B、若该电场是匀强电场，根据匀强电场U＝Ed可知，顺着电场线方向电势均匀降低，则在c点处的电势为φc＝5V。若该电场是非匀强电场，则知在c点处的电势不一定是5V，故B错误。
C、一条电场线不能表示电场线的疏密，则无法判断场强的大小。故C错误；
D、正电荷在电势高处电势能大，可知，正电荷从a点运动到b点的过程中电势能一定增大；故D正确。 ab=bc
Uab=Ubc
Uab Ubc
Uab Ubc
Uab Ubc
Uab Ubc
Ea=Uab/ab
Ea Uab/ab
Ea Uab/ab
Ea Uab/ab
Ea Uab/ab