专题18 动力学中的“滑块木板模型” 2022届高中物理常考点归纳二轮复习

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常考点 动力学中的“滑块木板模型”分析
【典例1】
质量m0＝30kg、长L＝1m的木板放在水平面上，木板与水平面的动摩擦因数μ1＝0.15.将质量m＝10kg的小木块（可视为质点），以v0＝4m/s的速度从木板的左端水平滑到木板上（如图所示），小木块与木板面的动摩擦因数μ2＝0.4（最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，g取10m/s2），则以下判断中正确的是 （ ）
A．木板一定向右滑动，小木块不能滑出木板
B．木板一定向右滑动，小木块能滑出木板
C．木板一定静止不动，小木块能滑出木板
D．木板一定静止不动，小木块不能滑出木板
【解析】木块受到的滑动摩擦力为Ff2，方向向左
Ff2＝μ2mg＝40N
木板受到木块施加的滑动摩擦力为F′f2，方向向右，大小为
F′f2＝Ff2＝40N
木板受地面的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，即
Ff1＝μ1（m＋m0）g＝60N
Ff1方向向左
F′f2＜Ff1
木板静止不动，木块向右做匀减速运动，设木块减速到零时的位移为x，则由
0－v＝－2μ2gx
得
x＝2m＞L＝1m
故小木块能滑出木板。
【典例2】
如图所示，一块足够长的轻质长木板放在光滑水平地面上，质量分别为mA=1kg和mB=2kg的物块A、B放在长木板上，A、B与长木板间的动摩擦因数均为μ=0.4，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现用水平拉力F拉A，取重力加速度g=10m/s2。改变F的大小，B的加速度大小可能为（ ）
A．1.5m/s2B．2.5m/s2C．3.5m/s2D．4.5m/s2
【解析】物块A、B放在轻质长木板上，二者所受摩擦力大小相等，由于A物块所受最大静摩擦小于B物块的。故B物块始终相对长木板静止，当拉力增加到一定程度时，A相对长木板滑动，B所受的最大合力等于A的最大静摩擦力，即
根据牛顿第二定律，有
可知B的最大加速度为
【典例3】
如图所示，质量为M=5kg的足够长的长木板B静止在水平地面上，在其右端放一质量m=1kg的小滑块A（可视为质点）。初始时刻，A、B分别以v0向左、向右运动，A、B的v-t图像如图所示（取向右为正方向）。若已知A向左运动的最大位移为4.5m，各接触面均粗糙，取g=10m/s2。求：
(1)A与B之间的动摩擦因数µ1，地面与B之间的动摩擦因数µ2；
(2)长木板B相对地面的位移大小x。
解：(1)设A、B初速度大小为，当A的速度为零时有向左运动的最大位移，此过程经历，由运动学规律可得
得
对A研究，设A的加速度大小为，根据运动学规律有：
根据牛顿第二定律有：
得
设A从到时经历的时间为，则有
对B研究，设B的加速度大小为，根据运动学规律有：
根据牛领第二定律有：
得
(2)当A、B达共同速度之后一起做匀减速直线运动。设其加速度大小为，经过停下，根据牛顿第二定律有：
得
根据运动学规律有：
长木板B相对地面的位移大小
得
一．模型特征
滑块—滑板模型(如图a)，涉及摩擦力分析、相对运动、摩擦生热，多次相互作用，属于多物体、多过程问题，知识综合性较强，对能力要求较高，故频现于高考试卷中．另外，常见的子弹射击滑板(如图b)、圆环在直杆中滑动(如图c)都属于滑块类问题，处理方法与滑块—滑板模型类似．
二．两种几何类型
三．三种常见命题角度
角度1 滑块不受力而木板受拉力
木板受逐渐增大的拉力而滑块不受力，这种情况下，开始滑块和木板一起做变加速运动，当滑块加速度达到其最大值μg时，滑块、木板开始发生相对滑动，此后滑块加速度保持不变，木板加速度逐渐增大．
角度2 给滑块一初速度v0，两者都不受拉力且叠放在光滑水平地面上
1．若木板足够长，这种情况下，滑块减速、木板加速，直至两者速度相等，之后将一起匀速运动下去，其速度关系为v0－a滑t＝a板t.
2．若木板不够长，这种情况下，滑块会一直减速到滑下木板，木板会一直加速到滑块滑下．分离前滑块加速度大小a＝μg，木板的加速度大小a＝eq \f(μm滑g,m板).
角度3 木板有初速度v0，两者都不受拉力且叠放在光滑水平面上
1．若木板足够长，木板减速、滑块加速，直至两者速度相等，之后将一起匀速运动下去，其速度关系为v0－a板t＝a滑t；
2．若木板不够长，则木板会一直减速到滑块滑下，滑块会一直加速到滑下木板．分离前滑块的加速度大小a＝μg，木板的加速度大小a＝eq \f(μm滑g,m板).
四．分析要领总结
1．通过受力分析判断滑块和木板各自的运动状态（具体做什么运动）；
2．判断滑块与木板间是否存在相对运动。滑块与木板存在相对运动的临界条件是什么？
⑴ 运动学条件：若两物体速度或加速度不等，则会相对滑动。
⑵ 动力学条件：假设两物体间无相对滑动，先用整体法算出共同加速度，再用隔离法算出其中一个物体“所需要”的摩擦力f；比较f与最大静摩擦力fm的关系，若f > fm，则发生相对滑动；否则不会发生相对滑动。
3. 分析滑块和木板的受力情况，根据牛顿第二定律分别求出滑块和木板的加速度；
4. 对滑块和木板进行运动情况分析，找出滑块和木板之间的位移关系或速度关系，建立方程．特别注意滑块和木板的位移都是相对地面的位移.
5. 计算滑块和木板的相对位移（即两者的位移差或位移和）；
6. 如果滑块和木板能达到共同速度，计算共同速度和达到共同速度所需要的时间；
7. 滑块滑离木板的临界条件是什么？
当木板的长度一定时，滑块可能从木板滑下，恰好滑到木板的边缘达到共同速度（相对静止）是滑块滑离木板的临界条件。
【变式演练1】
（多选）如图甲所示，一块质量为mA=2kg的木板A静止在水平地面上，一个质量为mB=1kg的滑块B静止在木板的左端，对B施加一向右的水平恒力F，一段时间后B从A右端滑出，A继续在地面上运动一段距离后停止，此过程中A的速度随时间变化的图像如图乙所示．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取g=10m/s2。则下列说法正确的是（ ）
A．滑块与木板之间的动摩擦因数为0.6
B．木板与地面之间的动摩擦因数为0.1
C．F的大小可能为9N
D．F的大小可能为12N
【解析】AB．由图乙可知，滑块B在木板A上滑动时，A的加速度为
滑块B离开木板A后，A的加速度为
联立解得
，
A错误，B正确；
CD．B能从A右端滑出，说明B的加速度比A的大，所以有
解得
4．（多选）如图1所示，长木板静置于粗糙水平地面上，有一个可视为质点的物块，以v0=3m/s的水平初速度从左端冲上木板。从物块冲上木板到物块和木板达到共同速度的过程中，物块和木板的v-t图像分别如图2所示。已知：长木板质量与物块质量相等，重力加速度g=10m/s2，物块始终未离开木板，设物体间最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（ ）
A．木板长至少为0.75m
B．物块在木板上运动时间为0.6s
C．木板与水平面间动摩擦因数为0.1
D．木板在水平面上运动时间为0.75s
【解析】A．由图像可知，木板长至少为
选项A正确；
B．由图像可知，物块在木板上运动时间为0.5s，选项B错误；
C．木块的加速度
木板的加速度

对木块
对木板
解得
选项C错误；
D．木块与木板相对静止后整体的加速度
木板还能滑动的时间
木板在水平面上运动时间为
t=t1+t2=0.75s
【变式演练2】
（多选）如图甲所示，在水平地面上有一长木板B，其上叠放木块A。假定木板与地面之间、木块与木板之间的最大静摩擦力都和滑动摩擦力相等。用一水平力F作用于B，A、B的加速度与F的关系如图乙所示，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．A的质量为0.5kg
B．B的质量为1.5kg
C．B与地面间的动摩擦因数为0.1
D．A、B间的动摩擦因数为0.4
【解析】由图可以知道，A、B二者开始时对地静止，当拉力为3N时开始AB一起相对于运动，故B与地面间的最大静摩擦力为；当拉力为9N时，A、B发生相对滑动，此时A的加速度为
当拉力为13N时，B的加速度为
A相对于B滑动时，由牛顿第二定律对A有
解得A、B间的动摩擦因数为
对B，根据牛顿第二定律有
对整体有
联立解得
，
根据
解得B与地面间的动摩擦因数为
【变式演练3】
如图所示，质量为M=3kg的木板静止在光滑的水平面上，木板的长度L=1m，在木板的右端放置一个质量m=1kg，可视为质点的铁块，铁块与木板之间的动摩擦因数μ=0.2，取g=10m/s2现对木板施加一水平向右的力F，求：
(1)若F=2N，求铁块受到的摩擦力大小和方向；
(2)若F=14N，求铁块运动到木板左端的时间。
解：(1)对m有最大加速度
假设m、M不分离，则有：
故假设成立，则：
方向向右
(2)当F=14N，
故m、M之间发生滑动，最终将会分离，则
对m，有
a1=2m/s2
对M，有
设m、M分离时间为t，则有
解得
考点拓展练习
1．（多选）如图，光滑水平面上静止着一上表面粗糙的长木板B，当小物块A以v0=10m/s的水平初速度自木板的左端滑上时，给B施加一个水平向右的恒力F=16N，经过一段时间，A不再相对B滑动。已知B的质量M=2kg，A的质量m=4kg，A和B之间的动摩擦因数μ=0.4，取g=10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．A滑上B时，B的加速度大小为16m/s2B．经过t=0.5，A和B相对静止
C．相对静止后B的加速度大小为4m/s2D．t=3.5s时，A的速度为16m/s
【解析】A．A滑上B时，对B，由牛顿第二定律得
代入数据解得
故A正确；
B．A滑上B时，对A，由牛顿第二定律得
代入数据解得
A做减速运动，B做加速运动，设经时间t1两者速度相等，则
代入数据解得
故B正确；
C．A、B相对静止后，对A、B系统，由牛顿第二定律得
代入数据解得
D．t=3.5s时A的速度
2．（多选）如图所示，质量为m1的足够长木板静止在光滑水平面上，其上放一质量为m2的木块。t = 0时刻起，给木块施加一水平恒力F。分别用a1、a2和v1、v2表示木板、木块的加速度和速度大小，图中可能符合它们运动情况的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】A．若长木板和木块之间没有相对滑动，A正确；
BCD．若长木板和木块之间有相对滑动，则a2 > a1。
3．（多选）如图甲所示，粗糙的水平地面上有一块长木板P，小滑块Q放置于长木板上的最右端A。现将一个水平向右的力F作用在长木板的右端，让长木板从静止开始运动。滑块、长木板的速度图象如图乙所示，已知小滑块与长木板的质量相等，滑块Q始终没有从长木板P上滑下，重力加速度g取10 m/s2。则下列说法正确的是( )
A．t＝10 s时长木板P停下来
B．长木板P的长度至少是7.5 m
C．长木板P和水平地面之间的动摩擦因数是0.075
D．滑块Q在长木块P上滑行的路程是11 m
【解析】AC．前5S 物体P、Q都做匀加速直线运动，设加速度大小分别为 、 ，由v-t图象可求得
设P、Q间动摩擦因数为，P与地面间的动摩擦因数为 对Q由牛顿第二定律可得
5s-6s物体P做匀减速直线运动，设加速度大小为，由v-t图象可求得
由牛顿第二定律可得
代入数值可求得
故C正确；
6s后两个物体都做匀减速运动，Q的加速度大小仍为 设P的加速度大小为 由牛顿第二定律可得
代入数值班可求得
设经过时间t1速度减为零
t＝6s+3s=9 s时长木板P停下来，故A错误；
B．前6S物体Q相对于P向左运动距离为
6s后Q相对于P向右运动距离为
所以长木板P的长度至少是7.5 m，故B正确；
D．设滑块Q在长木块P上滑行的路程
4．（多选）如图所示，质量分别为m＝1 kg和M＝2 kg的物块A和B叠放在光滑水平桌面上，两物块均处于静止状态，从某时刻开始，对物块B施加一水平推力F，已知推力F随时间t变化的关系为F＝6t（N），两物块之间的动摩擦因数为μ＝0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，下列结论正确的是（ ）
A．两物块刚发生相对运动时的速度为1 m/s
B．从施加推力F到两物块刚发生相对运动所需的时间为1s
C．从施加推力F到两物块刚发生相对运动两物块的位移为0.5 m
D．当推力F=2N时A和B就会发生相对运动
【解析】A．当m达到最大静摩擦力时，m相对M发生相对滑动；则此时m的加速度为：a=μg=2m/s2；则对整体受力分析可知，F=(m+M）a=6N=6t，则可知发生相对运动的时间为1s，F是均匀增加的，，对整体由动量定理可得
解得：v=1m/s，A正确，B正确；
C．若物体做匀加速直线运动，则1s内的位移x==0.5m；而物体做的是变加速直线运动，故位移不是0.5m，C错误；
D．当推力F=6N时A和B就会发生相对运动。
5．（多选）如图甲所示，在光滑水平面上，静止放置一质量为M的足够长的木板，质量为m的小滑块（可视为质点）放在长木板上。长木板受到的水平拉力F与加速度a的关系如图乙所示（g取10m/s2）。下列说法正确的是（ ）
A．长木板的质量M=2kg
B．小滑块与长木板之间的动摩擦因数为0.4
C．当F=15N时，长木板的加速度大小为5m/s2
D．当F增大时，小滑块的加速度不一定增大
【解析】A．当F等于12N时，加速度为a=4m/s2，对整体分析，由牛顿第二定律有
代入数据解得
当F大于12N时，m和M发生相对滑动，根据牛顿第二定律得，长木板的加速度
则知a－F图线的斜率
解得
且知滑块的质量为
故A错误；
B．F大于12N时
由图象可知
F=8N，a=0
解得
故B正确；
C．F大于12N时
当F=15N时，长木板的加速度大小为7m/s2，故C错误；
D．当F大于12N后，发生相对滑动，小滑块的加速度为
不变，加速度a与F无关，F增大时小滑块的加速度不变。
6．如图所示，一质量为M=2kg的木板静止在光滑水平面上。现有一质量为m=1kg的小滑块以4m/s的初速度从木板的左端开始向木板的右端滑行，滑块速度随时间变化的关系如图乙所示，t0=1s时滑块恰好到达木板最右端。（g=10m/s2）求：
（1）滑块与木板间的摩擦因数；
（2）木板的长度。
解：（1）由图可知，滑块的加速度大小为：
根据牛顿第二定律：μmg＝ma1 ，解得：。
（2）由图可知，滑块位移大小为：
木板加速度：μmg＝Ma2 ，解得：a2＝1m/s2，木板的对地位移为
木板的长度为：
L＝xA－xB=2.5m
7．如图所示，质量M=1kg的木板静止在粗糙的水平地面上，木板与地面间的动摩擦因数μ1=0.1，在木板的左端放置一个质量m=1kg、大小可以忽略的铁块，铁块与木板间的动摩擦因数μ2=0.4，取g=10m/s2，在铁块上加一个水平向右的拉力，试求：
（1）F增大到多少时，铁块能在木板上发生相对滑动？
（2）若木板长L=1m，水平拉力恒为8N，经过多长时间铁块运动到木板的右端？
解：（1）设F=F1时，A、B恰好保持相对静止，此时二者的加速度相同，两者间的静摩擦力达到最大．
根据牛顿第二定律得：μ2mg﹣μ1（m+M）g=Ma
可得 a=2m/s2
以系统为研究对象，根据牛顿第二定律有
F1﹣μ1（m+M）g=（m+M）a
解得：F1=6N
（2）铁块的加速度大小 a1==4m/s2
木板的加速度大小 a2==2m/s2
设经过时间t铁块运动到木板的右端，则有
﹣=L
解得：t=1s
答：
（1）F增大到6N时，铁块能在木板上发生相对滑动．
（2）若木板长L=1m，水平拉力恒为8N，经过1s时间铁块运动到木板的右端．
8．如图所示，在光滑的水平面上有一足够长的质量为M=4kg的长木板，在长木板右端有一质量为m=1kg的小物块，长木板与小物块间动摩擦因数为，长木板与小物块均静止。现用F=14N的水平恒力向右拉长木板，经时间t=1s撤去水平恒力F。
（1）刚撤去F时，小物块离长木板右端多远？
（2）最终长木板与小物块一同以多大的速度匀速运动？
（3）最终小物块离长木板右端多远？
解：(1)小物块受摩擦力作用，由牛顿第二定律得
解得
撤去F前对长木板有
解得
长木板运动的位移
小物块运动的位移
则小物块相对于长木板的位移
(2)刚撤F时，长木板的速度
小物块的速度
撤F后，长木板的加速度
最终长木板与小物块速度
代入数据可解得
(3)在t′时间内，长木板运动的位移
小物块运动的位移
则小物块相对于长木板运动的位移
所以小物块相对于长木板运动的总位移
9．如图甲所示一长木板在水平地面上运动，木板上有一运动的小物块，木板和物块运动的速度－时间图像如图乙所示。已知物块与木板的质量相等，物块与木板间及木板与地面间均有摩擦。物块与木板间、木板与地面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上。取重力加速度的大小g=10m/s2。求
(1)物块与木板间的动摩擦因数；木板与地面间的动摩擦因数；
(2)从ｔ＝时刻到物块与木板均停止运动时，物块相对地的位移的大小。
解：(1)由图像可知，物块的加速度大小为
对物块由牛顿第二定律有
得
由图像可知，木板的加速度大小为
对木板由牛顿第二定律有
解得
(2)当木板速度减到0时，物块的速度大小为
物块的位移为
方向向左，接着木板反向加速，其加速度大小为
木板与物块速度相等时有
即
解得
共同速度为
此过程位移为
再后物块与木板一起减速到0，则位移为
即
总位移为
类型图示
规律分析
木板B带动物块A，物块恰好不从木板上掉下的临界条件是物块恰好滑到木板左端时二者速度相等，则位移关系为xB＝xA＋L
物块A带动木板B，物块恰好不从木板上掉下的临界条件是物块恰好滑到木板右端时二者速度相等，则位移关系为xB＋L＝xA