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2021-2022学年重庆市云阳县九年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年重庆市云阳县九年级（上）期末数学试卷 解析版，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年重庆市云阳县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．（4分）下列新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）下列事件是随机事件的是（ ）
A．抛出的篮球会下落
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．任意画一个三角形，其内角和是360°
D．400人中有两人的生日在同一天
3．（4分）抛物线y＝（x﹣4）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（4，1） B．（﹣4，1） C．（4，﹣1） D．（﹣4，﹣1）
4．（4分）方程x2＝9的根是（ ）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x1＝3，x2＝﹣3 D．x1＝x2＝3
5．（4分）在平面直角坐标系中，已知点A（m，3）与点B（﹣1，n）关于原点对称，则m+n的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2
6．（4分）抛物线y＝﹣2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝﹣2（x+1）2﹣3
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣3 D．y＝﹣2（x﹣1）2+3
7．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC，BC，BD．若∠ABC＝38°，则∠BDC的度数是（ ）
A．64° B．60° C．54° D．52°
8．（4分）如图，AB与⊙O相切于点B，连接OA交⊙O于点C，点D为优弧BDC上一点，连接DB，DC，若∠BDC＝30°，⊙O的半径OC＝2，则AB的长为（ ）
A．4 B．2 C．2 D．1
9．（4分）若点P（2，3）在反比例函数的图象上，则抛物线y＝x2﹣4x+k与x轴的交点个数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．无法确定
10．（4分）某运动品牌的一款跑步鞋经过最近的两次降价，使每双的价格由1200元降至867元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（ ）
A．1200（1﹣x）2＝867
B．1200（1﹣x）+1200（1﹣x）2＝867
C．867（1+x）2＝1200
D．1200（1﹣x）×2＝867
11．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+a＝0有两个不相等的实数根，且关于y的分式方程＝1的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的值之和是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．19
12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，与x轴交于点（﹣1，0）和（x，0），且1＜x＜2，以下4个结论：①ab＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④a+b＜am2+bm（m＜﹣1）；其中正确的结论个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个根为x＝1，则m的值为 ．
14．（4分）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，以C为圆心，4.8cm长度为半径画圆，则直线AB与⊙O的位置关系是 ．
15．（4分）已知三角形的两边长为2和7，第三边的长是一元二次方程x2﹣10x+24＝0的根，则这个三角形的周长为 ．
16．（4分）背面完全相同的四张卡片，正面分别写着数字﹣4，﹣1，2，3，背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，将卡片上的数字记为m，再从余下的卡片中随机抽取一张，将卡片上的数字记为n，则点P（m，n）在第四象限的概率为 ．
17．（4分）如图，在平行四边形ABNM中，∠MAB＝30°，AB＝8，以AB为直径作⊙O，点M恰好在⊙O上，则图中阴影部分的面积为 ．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A在第二象限，以AB为边在AB的左侧作菱形ABCD，满足BC∥x轴，过点B作BE⊥AD交AD于点E，AE＝12DE，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点E，与BC边交于点F，分别连接EF，OE，OF．若S△EOF＝，则k的值为 ．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）解下列方程：
（1）x2+x﹣3＝0；
（2）（2x+3）2＝5（2x+3）．
20．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC．
（1）用尺规完成以下基本作图：
作∠CAB的角平分线交BC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若AD＝CD，求∠C的度数．
21．（10分）红军精神像一座永垂不朽的丰碑，永放光芒，10月22日．时值红军长征胜利85周年纪念日．为了大力弘扬长征精神，继承革命先辈的优良传统，某校团支部举办了“忆长征精神，庆建党百年一纪念长胜利85周年”爱国主义教育主题知识测试活动．现从该校八，九年级各随机抽20名团员的测试成绩（满分10分，得分均为整数）进行整理，描述和分折，以下是部分相关信息．
八年级20名团员的测试成绩如下：
10，7，8，9，10，7，5，8，6，7，10，7，6，9，7，6，9，8，4，7．
八，九年级抽取的团员测试成绩统计表
年级
平均数
众数
中位数
八年级
7.5
7
a
九年级
7.5
b
7.5
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ．
（2）若该校八、九年级共有400名团员参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动的八、九年级团员中成绩为满分的团员有多少名？
（3）根据以上数据，你认为该校八、九年级的团员对“忆长征精神．庆建党百年”的爱国主义教育主题知识，哪个年级掌握的更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
22．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．同时，我们也学习了绝对值的意义：|a|＝．结合上面经历的学习过程，研究函数y＝|2﹣|的图象及其性质，自变量x与函数值y满足以下表格，并要求完成下列各题：
x
…
﹣6
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
0
1
2
3
4
…
y
…
3
4
m
2
0
n
1
…
（1）根据表格填空：m＝ ，n＝ ，自变量x的取值范围是 ；
（2）在平面直角坐标系中，画出函数图象，并根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质；
（3）已知函数y＝﹣x+2的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|2﹣|≥﹣x+2的解集．
23．（10分）随着元旦和春节双节临近，加上就地过年的号召，不少准备留在重庆就地过年的群众陆续开始储备年货．除了各大商圈购销两旺外，位于北滨路的中国西部消费扶贫中心也热闹非凡．某商家根据以往的经验用31000元购进了一批城口腊肉和青川牛肝菌，已知青川牛肝菌每件的进价为140元，城口腊肉每件的进价为100元，购进的青川牛肝菌的数量比城口腊肉数量多50件．
（1）该商家购进青川牛肝菌和城口腊肉分别多少件？
（2）商家第一次所购青川牛肝菌和城口腊肉全部售完后，再次购进一批城口腊肉和青川牛肝菌（青川牛肝菌和城口腊肉的进价不变），城口腊肉和青川牛肝菌购进的数量均在第一次数量的基础上增加了2m%；销售时，城口腊肉的售价在进价的基础上提高了0.9m%，青川牛肝菌的售价在进价的基础上提高了m%．全部售出后，第二次所购的青川牛肝菌和城口腊肉的总利润为30000元（不考虑其他因素），求m的值．
24．（10分）对于任意一个三位正整数m，如果m满足百位上的数字小于个位上的数字，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字，那么称这个数m为“时空伴随数”，用“时空伴随数”m的十位数字的平方减去个位数字的平方再减去百位数字的平方，得到的结果记为F（m）．例如：m＝143，满足1＜3，且1+3＝4，所以143是“时空伴随数”，则F（143）＝42﹣32﹣12＝6；例如：m＝395，满足3＜5，但是3+5≠9，所以395不是“时空伴随数”；再如：m＝352，满足3+2＝5，但是3＞2，所以352不是“时空伴随数”．
（1）判断264和175是不是“时空伴随数”？并说明理由；
（2）若t是“时空伴随数”，且t的3倍与t的十位数字之和能被7整除，求满足条件的“时空伴随数”t以及F（t）的最大值．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D为BC的中点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求△BDP面积的最大值；
（3）M是抛物线的对称轴上一点，N是抛物线上一点，直接写出所有使得以点A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC边于点D，过顶点C作AB边的平行线交AD的延长线于点E，点F为AD的中点，连接CF．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，BD＝4，求△ABD的面积；
（2）如图2，过点B作BH∥AC，连接CH，EH，若∠CEH+∠CBH＝180°，∠HCA＝∠ECF．求证：CH＝2CF；
（3）如图3，若∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，把△ACD绕点A旋转α（0°＜α≤360°），得到△AC'D'，连接ED'，点M为ED'的中点，连接DM，请直接写出DM的最大值．
2021-2022学年重庆市云阳县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．（4分）下列新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（4分）下列事件是随机事件的是（ ）
A．抛出的篮球会下落
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．任意画一个三角形，其内角和是360°
D．400人中有两人的生日在同一天
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
【解答】解：A．抛出的篮球会下落，这是必然事件，故A不符合题意；
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，这是随机事件，故B符合题意；
C．任意画一个三角形，其内角和是360°，这是不可能事件，故C不符合题意；
D．400人中有两人的生日在同一天，这是必然事件，故D不符合题意；
故选：B．
3．（4分）抛物线y＝（x﹣4）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（4，1） B．（﹣4，1） C．（4，﹣1） D．（﹣4，﹣1）
【分析】根据抛物线顶点式可得抛物线顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣4）2+1，
∴抛物线顶点为（4，1），
故选：A．
4．（4分）方程x2＝9的根是（ ）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x1＝3，x2＝﹣3 D．x1＝x2＝3
【分析】利用直接开平方法解方程．
【解答】解：x＝±3，
所以x1＝3，x2＝﹣3．
故选：C．
5．（4分）在平面直角坐标系中，已知点A（m，3）与点B（﹣1，n）关于原点对称，则m+n的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反即可得到答案．
【解答】解：∵点A（m，3）与点B（﹣1，n）关于原点对称，
∴m＝1，n＝﹣3，
∴m+n＝1﹣3＝﹣2．
故选：C．
6．（4分）抛物线y＝﹣2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝﹣2（x+1）2﹣3
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣3 D．y＝﹣2（x﹣1）2+3
【分析】根据“左加右减，上加下减”进行解答即可．
【解答】解：抛物线y＝﹣2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为y＝﹣2（x+1）2﹣3，
故选：B．
7．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC，BC，BD．若∠ABC＝38°，则∠BDC的度数是（ ）
A．64° B．60° C．54° D．52°
【分析】根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠BDC＝∠A，然后利用互余计算出∠A的度数，从而得到∠BDC的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣38°＝52°，
∴∠BDC＝∠A＝52°．
故选：D．
8．（4分）如图，AB与⊙O相切于点B，连接OA交⊙O于点C，点D为优弧BDC上一点，连接DB，DC，若∠BDC＝30°，⊙O的半径OC＝2，则AB的长为（ ）
A．4 B．2 C．2 D．1
【分析】连接OB，由AB与⊙O相切于点B，得∠ABO＝90°，由圆周角定理得∠BOC＝2∠BDC＝60°，则∠A＝30°，得OA＝2OB＝4，再根据勾股定理求出AB的长即可．
【解答】解：如图，连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴AB⊥OB，
∴∠ABO＝90°，
∵∠BDC＝∠BOC，且∠BDC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝2×30°＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，
∵OB＝OC＝2，且OB＝OA，
∴OA＝2OB＝2×2＝4，
∴AB＝＝＝2，
故选：B．
9．（4分）若点P（2，3）在反比例函数的图象上，则抛物线y＝x2﹣4x+k与x轴的交点个数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．无法确定
【分析】把P（2，3）代入y＝得出3＝，求出k，把k＝7代入y＝x2﹣4x+k得出y＝x2﹣4x+7，再根据根的判别式得出答案即可．
【解答】解：把P（2，3）代入y＝得：3＝，
解得：k＝7，
把k＝7代入y＝x2﹣4x+k得：y＝x2﹣4x+7，
∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×7＝﹣12＜0，
∴抛物线y＝x2﹣4x+k与x轴无交点，即交点的个数是0，
故选：C．
10．（4分）某运动品牌的一款跑步鞋经过最近的两次降价，使每双的价格由1200元降至867元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（ ）
A．1200（1﹣x）2＝867
B．1200（1﹣x）+1200（1﹣x）2＝867
C．867（1+x）2＝1200
D．1200（1﹣x）×2＝867
【分析】利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣平均每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：1200（1﹣x）2＝867．
故选：A．
11．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+a＝0有两个不相等的实数根，且关于y的分式方程＝1的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的值之和是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．19
【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根得到根的判别式大于0，求出a的范围，表示出分式方程的解，由解为非负整数确定出a的值，求出之和即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+a＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×a＝16﹣2a＞0，
解得：a＜8，
分式方程去分母得：y+a﹣2y＝y﹣3，
解得：y＝，
∵分式方程的解为非负整数，
∴整数a＝﹣3或﹣1或1或5或7，
则符合条件的所有整数a的值之和为﹣3﹣1+1+5+7＝9．
故选：A．
12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，与x轴交于点（﹣1，0）和（x，0），且1＜x＜2，以下4个结论：①ab＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④a+b＜am2+bm（m＜﹣1）；其中正确的结论个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置可判断①，由0＜﹣＜1可判断②，由x＝﹣1时y＝0及a与b的关系可判断③，由x＝1时y＜0，x＜﹣1时y＞0可判断④．
【解答】解：由图象可知，a＞0，b＜0，
∴ab＜0，①正确；
因抛物线与x轴交于点（﹣1，0）和（x，0），且1＜x＜2，所以对称轴为直线，
∴﹣b＜2a，
∴2a+b＞0，②错误；
由图象可知x＝﹣1，y＝a﹣b+c＝0，
又∵2a＞﹣b，2a+a+c＞﹣b+a+c，
∴3a+c＞0，③正确；
∵x＝1时，y＝a+b+c＜0，
m＜﹣1时，y＝am2﹣bm+c＞0，
∴m＜﹣1时，am2+bm+c＞a﹣b+c，
∴a+b＜am2+bm，④正确．
故选：B．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个根为x＝1，则m的值为 1 ．
【分析】把x＝1代入方程x2﹣2x+m＝0得1﹣2+m＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣2x+m＝0得1﹣2+m＝0，
解得m＝1．
故答案为：1．
14．（4分）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，以C为圆心，4.8cm长度为半径画圆，则直线AB与⊙O的位置关系是 相切 ．
【分析】根据勾股定理及三角形的面积公式求出三角形AB边上的高h，比较r与h的关系即可判断直线AB与⊙O的位置关系．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝＝＝10（cm），
设三角形AB边上的高为h，
则S△ABC＝h•AB＝AC•BC，
∴h＝＝＝4.8（cm），
∵r＝4.8cm，
∴d＝r，
∴AB与⊙C相切，
故答案为：相切．
15．（4分）已知三角形的两边长为2和7，第三边的长是一元二次方程x2﹣10x+24＝0的根，则这个三角形的周长为 15 ．
【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长即可．
【解答】解：解方程x2﹣10x+24＝0得第三边的边长为6或4，
依据三角形三边关系，边长2，7，4不能构成三角形，2，7，6能构成三角形，
∴三角形的周长＝2+7+6＝15．
故答案为：15．
16．（4分）背面完全相同的四张卡片，正面分别写着数字﹣4，﹣1，2，3，背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，将卡片上的数字记为m，再从余下的卡片中随机抽取一张，将卡片上的数字记为n，则点P（m，n）在第四象限的概率为 ．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中点P（m，n）在第四象限的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中点P（m，n）在第四象限的结果有4种，
∴点P（m，n）在第四象限的概率为＝，
故答案为：．
17．（4分）如图，在平行四边形ABNM中，∠MAB＝30°，AB＝8，以AB为直径作⊙O，点M恰好在⊙O上，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】连接OM、BM，如图，先求得平行四边形的面积，进而即可求得四边形MOBN的面积，得到∠OMA＝∠A＝30°，再利用圆周角定理得到∠BOM＝2∠A＝60°，然后根据图中阴影部分的面积＝S四边形MOBN﹣S扇形BOM进行计算．
【解答】解：连接OM、BM，如图，
∵AB是直径，
∴∠AMB＝90°，
∵∠MAB＝30°，AB＝8，
∴BM＝AB＝4，AM＝AB＝4，
∴S四边形ABNM＝AM•BM＝16，
∴S四边形MOBN＝×16＝12，
∴∠A＝30°，OA＝OM，
∴∠OMA＝∠A＝30°，
∴∠BOM＝2∠A＝60°，
∴图中阴影部分的面积＝S四边形MOBN﹣S扇形BOM
＝12﹣
＝12﹣．
故答案为：．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A在第二象限，以AB为边在AB的左侧作菱形ABCD，满足BC∥x轴，过点B作BE⊥AD交AD于点E，AE＝12DE，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点E，与BC边交于点F，分别连接EF，OE，OF．若S△EOF＝，则k的值为 ﹣ ．
【分析】延长DA交y轴于点H，则△ABE≌△OAH，OH＝AE；由AE＝12DE，有AD：AE＝12：13，又四边形ABCD是菱形，所以AB＝AD；在直角三角形ABE中，BE：AE：AB＝5：12：13，所以BE：EM＝BE：OH＝5：12，FN：EM＝7：12；又反比例函数的图象经过点F和E，因为k＝xE⋅yE＝xF⋅yF，设E（17m，12n），F（﹣m，7m），所以，（12m+7m）⋅（m﹣12m）＝，解得m2＝．所以k＝﹣204×＝﹣．
【解答】解：延长DA交y轴于点H，延长EB交x轴于点M，过点F作x轴的垂线，垂足为N，则四边形OMEH和四边形EFNM是矩形，
则∠AHO＝∠AEB＝90°，
∴∠EAB+∠ABE＝∠OAH+∠BAE＝90°，
∴∠ABE＝∠OAH，
∵AB＝AC，
∴△ABE≌△OAH（AAS），
∴OH＝AE；
∵AE＝12DE，
∴AD：AE＝13：12，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD；
则在Rt△ABE中，BE：AE：AB＝5：12：13，
设BE＝5a，则AE＝12a，AB＝13a，
∴OH＝AE＝12a，AH＝BE＝5a，
∴EB＝5a，BM＝7a，EF＝AE+AH＝17a，
∴FN＝BM＝7a，
∵反比例函数的图象经过点F和E，
∴k＝xE⋅yE＝xF⋅yF，
设E（﹣17m，12m），F（﹣m，7m），
∴k＝﹣17×12m2＝﹣204m2，
∴（12m+7m）⋅（m﹣12m）＝，
解得m2＝．
∴k＝﹣204×＝﹣．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）解下列方程：
（1）x2+x﹣3＝0；
（2）（2x+3）2＝5（2x+3）．
【分析】（1）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x2+x﹣3＝0，
这里a＝1，b＝1，c＝﹣3，
∵Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，
∴x＝＝，
解得：，；
（2）（2x+3）2＝5（2x+3）
（2x+3）2﹣5（2x+3）＝0，
（2x+3）（2x+3﹣5）＝0，
2x+3＝0或2x+3﹣5＝0，
解得：，x2＝1．
20．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC．
（1）用尺规完成以下基本作图：
作∠CAB的角平分线交BC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若AD＝CD，求∠C的度数．
【分析】（1）利用基本作图作∠BAC的平分线即可；
（2）根据等腰三角形的性质由AD＝CD，AC＝BC得到∠C＝∠CAD，∠CAB＝∠B，再利用角平分线的定义得到∠CAB＝2∠CAD＝∠B＝2∠C，接着利用三角形内角和得到∠ABC+∠CAB+∠C＝180°，即2∠C+2∠C+∠C＝180°，然后解方程即可．
【解答】解：（1）如图，AD为所作；
（2）∵AD＝CD，AC＝BC，
∴∠C＝∠CAD，∠CAB＝∠B，
又∵AD平分∠CAB，
∴∠CAB＝2∠CAD，
∴∠CAB＝∠B＝2∠C，
∵∠ABC+∠CAB+∠C＝180°，
∴2∠C+2∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝36°．
21．（10分）红军精神像一座永垂不朽的丰碑，永放光芒，10月22日．时值红军长征胜利85周年纪念日．为了大力弘扬长征精神，继承革命先辈的优良传统，某校团支部举办了“忆长征精神，庆建党百年一纪念长胜利85周年”爱国主义教育主题知识测试活动．现从该校八，九年级各随机抽20名团员的测试成绩（满分10分，得分均为整数）进行整理，描述和分折，以下是部分相关信息．
八年级20名团员的测试成绩如下：
10，7，8，9，10，7，5，8，6，7，10，7，6，9，7，6，9，8，4，7．
八，九年级抽取的团员测试成绩统计表
年级
平均数
众数
中位数
八年级
7.5
7
a
九年级
7.5
b
7.5
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 7 ，b＝ 10 ，m＝ 0 ．
（2）若该校八、九年级共有400名团员参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动的八、九年级团员中成绩为满分的团员有多少名？
（3）根据以上数据，你认为该校八、九年级的团员对“忆长征精神．庆建党百年”的爱国主义教育主题知识，哪个年级掌握的更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
【分析】（1）将八年级20名团员的测试成绩重新排列，根据中位数的定义可得a的值，设九年级20名团员的测试成绩为8分人数所占百分比为x，10分的人数所占百分比为y，根据加权平均数的定义和各得分百分比之和为1可得，解之求出x、y的值即可得出m的值，继而得出众数b的值；
（2）用八、九年级团员总人数乘以样本中成绩为满分的团员数占被调查的总人数可得答案；
（3）九年级掌握的更好，理由见解答．
【解答】解：（1）将八年级20名团员的测试成绩重新排列为：
4，5，6，6，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，10，10，10，
所以其中位数a＝＝7，
设九年级20名团员的测试成绩为8分人数所占百分比为x，10分的人数所占百分比为y，
则，
整理，得：，
解得x＝0、y＝0.4＝40%，
∴m%＝0，即m＝0，
九年级20名团员的测试成绩的众数b＝10分，
故答案为：7、10、0；
（2）估计参加此次测试活动的八、九年级团员中成绩为满分的团员有400×＝110（名）；
（3）九年级掌握的更好，理由如下：
由表格知，八、九年级成绩的平均数相等，而九年级成绩的中位数大于八年级，且满分人数多于八年级，
∴九年级掌握的更好．
22．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．同时，我们也学习了绝对值的意义：|a|＝．结合上面经历的学习过程，研究函数y＝|2﹣|的图象及其性质，自变量x与函数值y满足以下表格，并要求完成下列各题：
x
…
﹣6
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
0
1
2
3
4
…
y
…
3
4
m
2
0
n
1
…
（1）根据表格填空：m＝ 6 ，n＝ ，自变量x的取值范围是 x≠﹣1 ；
（2）在平面直角坐标系中，画出函数图象，并根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质；
（3）已知函数y＝﹣x+2的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|2﹣|≥﹣x+2的解集．
【分析】（1）把x＝﹣2和x＝2分别代入函数解析式来，求得相应的y的值；根据分母不为0，求得自变量x的取值范围．
（2）根据函数图象写出函数的性质．
（3）根据图象即可求解．
【解答】解：（1）将x＝﹣2代入函数y＝|2﹣|可得，y＝6；
将x＝2代入函数y＝|2﹣|可得，x＝；
∴m＝6，n＝
函数y＝|2﹣|中自变量x的取值范围是x≠﹣1，
故答案为：6，，x≠﹣1；
（2）在平面直角坐标系中，画出函数图象如下，
性质：该函数在自变量取值范围内，有最小值，当x＝1时，函数有最小值0；
（3）由图象可知，不等式的解集为：﹣4≤x＜﹣1或﹣1＜x≤0或x≥3．
23．（10分）随着元旦和春节双节临近，加上就地过年的号召，不少准备留在重庆就地过年的群众陆续开始储备年货．除了各大商圈购销两旺外，位于北滨路的中国西部消费扶贫中心也热闹非凡．某商家根据以往的经验用31000元购进了一批城口腊肉和青川牛肝菌，已知青川牛肝菌每件的进价为140元，城口腊肉每件的进价为100元，购进的青川牛肝菌的数量比城口腊肉数量多50件．
（1）该商家购进青川牛肝菌和城口腊肉分别多少件？
（2）商家第一次所购青川牛肝菌和城口腊肉全部售完后，再次购进一批城口腊肉和青川牛肝菌（青川牛肝菌和城口腊肉的进价不变），城口腊肉和青川牛肝菌购进的数量均在第一次数量的基础上增加了2m%；销售时，城口腊肉的售价在进价的基础上提高了0.9m%，青川牛肝菌的售价在进价的基础上提高了m%．全部售出后，第二次所购的青川牛肝菌和城口腊肉的总利润为30000元（不考虑其他因素），求m的值．
【分析】（1）设该商家购进青川牛肝菌x件，城口腊肉y件，利用总价＝单价×数量，结合购进的青川牛肝菌的数量比城口腊肉数量多50件，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出该商家购进青川牛肝菌和城口腊肉的数量；
（2）利用总利润＝每件的利润×销售数量（购进数量），结合全部售出后第二次所购的青川牛肝菌和城口腊肉的总利润为30000元，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出m的值．
【解答】解：（1）设该商家购进青川牛肝菌x件，城口腊肉y件，
依题意得：，
解得：．
答：该商家购进青川牛肝菌150件，城口腊肉100件．
（2）依题意得：140×m%×150（1+2m%）+100×0.9m%×100（1+2m%）＝30000，
整理得：m2+50m﹣5000＝0，
解得：m1＝50，m2＝﹣100（不合题意，舍去）．
答：m的值为50．
24．（10分）对于任意一个三位正整数m，如果m满足百位上的数字小于个位上的数字，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字，那么称这个数m为“时空伴随数”，用“时空伴随数”m的十位数字的平方减去个位数字的平方再减去百位数字的平方，得到的结果记为F（m）．例如：m＝143，满足1＜3，且1+3＝4，所以143是“时空伴随数”，则F（143）＝42﹣32﹣12＝6；例如：m＝395，满足3＜5，但是3+5≠9，所以395不是“时空伴随数”；再如：m＝352，满足3+2＝5，但是3＞2，所以352不是“时空伴随数”．
（1）判断264和175是不是“时空伴随数”？并说明理由；
（2）若t是“时空伴随数”，且t的3倍与t的十位数字之和能被7整除，求满足条件的“时空伴随数”t以及F（t）的最大值．
【分析】（1）根据“时空伴随数”的定义判断即可．
（2）根据条件建立关于t的方程求解．
【解答】解：（1）264是“时空伴随数”，175不是“时空伴随数”，理由如下：
∵2＜4且2+4＝6，
∴264是“时空伴随数”．
∵1＜5但是1+5≠7，
∴175不是“时空伴随数”．
（2）∵t是“时空伴随数”，
∴设t＝a×100+（a+b）×10+b，
（1≤a≤4，2≤b≤8，3≤a+b≤9，a＜b，a，b均为整数）．
∴3t+（a+b）＝331a+34b＝7（47a+5b）+2a﹣b能被7整除．
∴2a﹣b是7的倍数，
∵1≤a≤4，2≤b≤8，3≤a+b≤9，a＜b，
∴﹣6≤2a﹣b≤6，
∴2a﹣b＝0，
∴或或，
t＝132，264，396，
F（132）＝32﹣22﹣12＝4，
F（264）＝62﹣42﹣22＝16，
F（396）＝92﹣62﹣32＝36，
∵4＜16＜36，
∴F（t）的最大值为36．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D为BC的中点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求△BDP面积的最大值；
（3）M是抛物线的对称轴上一点，N是抛物线上一点，直接写出所有使得以点A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．
【分析】（1）将A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4，用待定系数法可得抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）在y＝x2﹣x﹣4中，可得C（0，﹣4），由待定系数法可得直线BC为y＝x﹣4，而D是BC中点，有D（2，﹣2），过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，设P（t，t2﹣t﹣4），（0＜t＜4），则Q（t，t﹣4），即得PQ＝t2﹣t﹣4﹣（t﹣4）＝﹣t2+2t，S△BDP＝PQ•|xB﹣xQ|＝﹣（t﹣2）2+2，由二次函数性质可得△BDP面积的最大值是2；
（3）由y＝x2﹣x﹣4得抛物线对称轴是直线x＝1，设M（1，m），N（n，﹣n2+2n），而A（﹣2，0），D（2，﹣2），分三种情况：①当MN、AD为对角线时，MN的中点即是AD中点，有，解得N（﹣1，﹣），②当MA、ND为对角线时，MA的中点即是ND中点，有，得N（﹣3，），③当MD、AN为对角线时，MD的中点即是AN中点，有，解得N（5，）．
【解答】解：（1）将A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）在y＝x2﹣x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
设直线BC为y＝kx﹣4，将B（4，0）代入得：
0＝4k﹣4，解得k＝1，
∴直线BC为y＝x﹣4，
∵B（4，0），C（0，﹣4），D是BC中点，
∴D（2，﹣2），
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，如图：
设P（t，t2﹣t﹣4），（0＜t＜4），则Q（t，t﹣4），
∴PQ＝t2﹣t﹣4﹣（t﹣4）＝﹣t2+2t，
∴S△BDP＝PQ•|xB﹣xQ|＝×（﹣t2+2t）×（4﹣2）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，
∵﹣＜0，0＜t＜4，
∴t＝2时，S△PBD有最大值为2；
答：△BDP面积的最大值是2；
（3）由y＝x2﹣x﹣4得抛物线对称轴是直线x＝1，
设M（1，m），N（n，﹣n2+2n），而A（﹣2，0），D（2，﹣2），
①当MN、AD为对角线时，MN的中点即是AD中点，
∴，解得n＝﹣1，
∴N（﹣1，﹣），
②当MA、ND为对角线时，MA的中点即是ND中点，
∴，解得n＝﹣3，
∴N（﹣3，），
③当MD、AN为对角线时，MD的中点即是AN中点，
∴，解得n＝5，
∴N（5，），
综上所述，N的坐标为（﹣1，﹣）或（﹣3，）或（5，）．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC边于点D，过顶点C作AB边的平行线交AD的延长线于点E，点F为AD的中点，连接CF．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，BD＝4，求△ABD的面积；
（2）如图2，过点B作BH∥AC，连接CH，EH，若∠CEH+∠CBH＝180°，∠HCA＝∠ECF．求证：CH＝2CF；
（3）如图3，若∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，把△ACD绕点A旋转α（0°＜α≤360°），得到△AC'D'，连接ED'，点M为ED'的中点，连接DM，请直接写出DM的最大值．
【分析】（1）如图1中，过D作DP⊥AB于点P，根据S△ADB＝•DB•AC，求出AC，即可解决问题；
（2）如图2中，延长CF到点G，使FG＝CF，连接AG，证明△AFG≌△DFC（SAS），推出∠G＝∠GCB，推出BC∥AG，再证明△ACG≌△ECH（ASA），可得结论；
（3）如图，点D'的轨迹是以A为圆心，AD为半径的圆A，证明D'F＝2DM，当点D'、A、D、F共线时，D'F最长，求出D'F的最大值，即可解决问题．
【解答】（1）解：如图1中，过D作DP⊥AB于点P，
∴∠DPB＝90°，
∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，
∴CD＝DP，
∵∠BPD＝90°，∠ABC＝45°，
∴PD＝PB，
在Rt△BDP中，PB2+PD2＝DB2，，
∴PD＝PB＝4，CD＝4，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，
∴，
∴S△ABD＝•BD•AC＝×4×（4+4）＝16+8；
（2）证明：如图2中，延长CF到点G，使FG＝CF，连接AG，
∵F为AD的中点，
∴FA＝FD，
在△AFG和△DFC中，
，
∴△AFG≌△DFC（SAS），
∴∠G＝∠GCB，
∴BC∥AG，
∴∠GAC+∠ACB＝180°，
∵BH∥AC，
∴∠ACB＝∠CBH，
∵∠CEH+∠CBH＝180°，
∴∠GAC＝∠CEH，
∵∠HCA＝∠ECF，
∴∠ACG＝∠ECH，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
又∵AB∥CE，
∴∠CEA＝∠BAD，
∴∠CAE＝∠CEA，
∴CA＝CE，
在△ACG和△ECH中，
，
∴△ACG≌△ECH（ASA），
∴CH＝CG，
∵CG＝2CF，
∴CH＝2CF；
（3）解：DM的最大值为．
理由：如图，点D'的轨迹是以A为圆心，AD为半径的圆A；
由题可知，，
∴D'F＝2DM，
当点D'、A、D、F共线时，D'F最长，D'F的最大值为，
∴DM的最大值为．
2021-2022学年重庆市云阳县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．（4分）下列新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）下列事件是随机事件的是（ ）
A．抛出的篮球会下落
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．任意画一个三角形，其内角和是360°
D．400人中有两人的生日在同一天
3．（4分）抛物线y＝（x﹣4）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（4，1） B．（﹣4，1） C．（4，﹣1） D．（﹣4，﹣1）
4．（4分）方程x2＝9的根是（ ）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x1＝3，x2＝﹣3 D．x1＝x2＝3
5．（4分）在平面直角坐标系中，已知点A（m，3）与点B（﹣1，n）关于原点对称，则m+n的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2
6．（4分）抛物线y＝﹣2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝﹣2（x+1）2﹣3
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣3 D．y＝﹣2（x﹣1）2+3
7．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC，BC，BD．若∠ABC＝38°，则∠BDC的度数是（ ）
A．64° B．60° C．54° D．52°
8．（4分）如图，AB与⊙O相切于点B，连接OA交⊙O于点C，点D为优弧BDC上一点，连接DB，DC，若∠BDC＝30°，⊙O的半径OC＝2，则AB的长为（ ）
A．4 B．2 C．2 D．1
9．（4分）若点P（2，3）在反比例函数的图象上，则抛物线y＝x2﹣4x+k与x轴的交点个数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．无法确定
10．（4分）某运动品牌的一款跑步鞋经过最近的两次降价，使每双的价格由1200元降至867元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（ ）
A．1200（1﹣x）2＝867
B．1200（1﹣x）+1200（1﹣x）2＝867
C．867（1+x）2＝1200
D．1200（1﹣x）×2＝867
11．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+a＝0有两个不相等的实数根，且关于y的分式方程＝1的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的值之和是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．19
12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，与x轴交于点（﹣1，0）和（x，0），且1＜x＜2，以下4个结论：①ab＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④a+b＜am2+bm（m＜﹣1）；其中正确的结论个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个根为x＝1，则m的值为 ．
14．（4分）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，以C为圆心，4.8cm长度为半径画圆，则直线AB与⊙O的位置关系是 ．
15．（4分）已知三角形的两边长为2和7，第三边的长是一元二次方程x2﹣10x+24＝0的根，则这个三角形的周长为 ．
16．（4分）背面完全相同的四张卡片，正面分别写着数字﹣4，﹣1，2，3，背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，将卡片上的数字记为m，再从余下的卡片中随机抽取一张，将卡片上的数字记为n，则点P（m，n）在第四象限的概率为 ．
17．（4分）如图，在平行四边形ABNM中，∠MAB＝30°，AB＝8，以AB为直径作⊙O，点M恰好在⊙O上，则图中阴影部分的面积为 ．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A在第二象限，以AB为边在AB的左侧作菱形ABCD，满足BC∥x轴，过点B作BE⊥AD交AD于点E，AE＝12DE，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点E，与BC边交于点F，分别连接EF，OE，OF．若S△EOF＝，则k的值为 ．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）解下列方程：
（1）x2+x﹣3＝0；
（2）（2x+3）2＝5（2x+3）．
20．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC．
（1）用尺规完成以下基本作图：
作∠CAB的角平分线交BC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若AD＝CD，求∠C的度数．
21．（10分）红军精神像一座永垂不朽的丰碑，永放光芒，10月22日．时值红军长征胜利85周年纪念日．为了大力弘扬长征精神，继承革命先辈的优良传统，某校团支部举办了“忆长征精神，庆建党百年一纪念长胜利85周年”爱国主义教育主题知识测试活动．现从该校八，九年级各随机抽20名团员的测试成绩（满分10分，得分均为整数）进行整理，描述和分折，以下是部分相关信息．
八年级20名团员的测试成绩如下：
10，7，8，9，10，7，5，8，6，7，10，7，6，9，7，6，9，8，4，7．
八，九年级抽取的团员测试成绩统计表
年级
平均数
众数
中位数
八年级
7.5
7
a
九年级
7.5
b
7.5
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ．
（2）若该校八、九年级共有400名团员参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动的八、九年级团员中成绩为满分的团员有多少名？
（3）根据以上数据，你认为该校八、九年级的团员对“忆长征精神．庆建党百年”的爱国主义教育主题知识，哪个年级掌握的更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
22．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．同时，我们也学习了绝对值的意义：|a|＝．结合上面经历的学习过程，研究函数y＝|2﹣|的图象及其性质，自变量x与函数值y满足以下表格，并要求完成下列各题：
x
…
﹣6
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
0
1
2
3
4
…
y
…
3
4
m
2
0
n
1
…
（1）根据表格填空：m＝ ，n＝ ，自变量x的取值范围是 ；
（2）在平面直角坐标系中，画出函数图象，并根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质；
（3）已知函数y＝﹣x+2的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|2﹣|≥﹣x+2的解集．
23．（10分）随着元旦和春节双节临近，加上就地过年的号召，不少准备留在重庆就地过年的群众陆续开始储备年货．除了各大商圈购销两旺外，位于北滨路的中国西部消费扶贫中心也热闹非凡．某商家根据以往的经验用31000元购进了一批城口腊肉和青川牛肝菌，已知青川牛肝菌每件的进价为140元，城口腊肉每件的进价为100元，购进的青川牛肝菌的数量比城口腊肉数量多50件．
（1）该商家购进青川牛肝菌和城口腊肉分别多少件？
（2）商家第一次所购青川牛肝菌和城口腊肉全部售完后，再次购进一批城口腊肉和青川牛肝菌（青川牛肝菌和城口腊肉的进价不变），城口腊肉和青川牛肝菌购进的数量均在第一次数量的基础上增加了2m%；销售时，城口腊肉的售价在进价的基础上提高了0.9m%，青川牛肝菌的售价在进价的基础上提高了m%．全部售出后，第二次所购的青川牛肝菌和城口腊肉的总利润为30000元（不考虑其他因素），求m的值．
24．（10分）对于任意一个三位正整数m，如果m满足百位上的数字小于个位上的数字，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字，那么称这个数m为“时空伴随数”，用“时空伴随数”m的十位数字的平方减去个位数字的平方再减去百位数字的平方，得到的结果记为F（m）．例如：m＝143，满足1＜3，且1+3＝4，所以143是“时空伴随数”，则F（143）＝42﹣32﹣12＝6；例如：m＝395，满足3＜5，但是3+5≠9，所以395不是“时空伴随数”；再如：m＝352，满足3+2＝5，但是3＞2，所以352不是“时空伴随数”．
（1）判断264和175是不是“时空伴随数”？并说明理由；
（2）若t是“时空伴随数”，且t的3倍与t的十位数字之和能被7整除，求满足条件的“时空伴随数”t以及F（t）的最大值．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D为BC的中点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求△BDP面积的最大值；
（3）M是抛物线的对称轴上一点，N是抛物线上一点，直接写出所有使得以点A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC边于点D，过顶点C作AB边的平行线交AD的延长线于点E，点F为AD的中点，连接CF．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，BD＝4，求△ABD的面积；
（2）如图2，过点B作BH∥AC，连接CH，EH，若∠CEH+∠CBH＝180°，∠HCA＝∠ECF．求证：CH＝2CF；
（3）如图3，若∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，把△ACD绕点A旋转α（0°＜α≤360°），得到△AC'D'，连接ED'，点M为ED'的中点，连接DM，请直接写出DM的最大值．
2021-2022学年重庆市云阳县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．（4分）下列新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（4分）下列事件是随机事件的是（ ）
A．抛出的篮球会下落
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．任意画一个三角形，其内角和是360°
D．400人中有两人的生日在同一天
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
【解答】解：A．抛出的篮球会下落，这是必然事件，故A不符合题意；
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，这是随机事件，故B符合题意；
C．任意画一个三角形，其内角和是360°，这是不可能事件，故C不符合题意；
D．400人中有两人的生日在同一天，这是必然事件，故D不符合题意；
故选：B．
3．（4分）抛物线y＝（x﹣4）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（4，1） B．（﹣4，1） C．（4，﹣1） D．（﹣4，﹣1）
【分析】根据抛物线顶点式可得抛物线顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣4）2+1，
∴抛物线顶点为（4，1），
故选：A．
4．（4分）方程x2＝9的根是（ ）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x1＝3，x2＝﹣3 D．x1＝x2＝3
【分析】利用直接开平方法解方程．
【解答】解：x＝±3，
所以x1＝3，x2＝﹣3．
故选：C．
5．（4分）在平面直角坐标系中，已知点A（m，3）与点B（﹣1，n）关于原点对称，则m+n的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反即可得到答案．
【解答】解：∵点A（m，3）与点B（﹣1，n）关于原点对称，
∴m＝1，n＝﹣3，
∴m+n＝1﹣3＝﹣2．
故选：C．
6．（4分）抛物线y＝﹣2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝﹣2（x+1）2﹣3
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣3 D．y＝﹣2（x﹣1）2+3
【分析】根据“左加右减，上加下减”进行解答即可．
【解答】解：抛物线y＝﹣2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为y＝﹣2（x+1）2﹣3，
故选：B．
7．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC，BC，BD．若∠ABC＝38°，则∠BDC的度数是（ ）
A．64° B．60° C．54° D．52°
【分析】根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠BDC＝∠A，然后利用互余计算出∠A的度数，从而得到∠BDC的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣38°＝52°，
∴∠BDC＝∠A＝52°．
故选：D．
8．（4分）如图，AB与⊙O相切于点B，连接OA交⊙O于点C，点D为优弧BDC上一点，连接DB，DC，若∠BDC＝30°，⊙O的半径OC＝2，则AB的长为（ ）
A．4 B．2 C．2 D．1
【分析】连接OB，由AB与⊙O相切于点B，得∠ABO＝90°，由圆周角定理得∠BOC＝2∠BDC＝60°，则∠A＝30°，得OA＝2OB＝4，再根据勾股定理求出AB的长即可．
【解答】解：如图，连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴AB⊥OB，
∴∠ABO＝90°，
∵∠BDC＝∠BOC，且∠BDC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝2×30°＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，
∵OB＝OC＝2，且OB＝OA，
∴OA＝2OB＝2×2＝4，
∴AB＝＝＝2，
故选：B．
9．（4分）若点P（2，3）在反比例函数的图象上，则抛物线y＝x2﹣4x+k与x轴的交点个数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．无法确定
【分析】把P（2，3）代入y＝得出3＝，求出k，把k＝7代入y＝x2﹣4x+k得出y＝x2﹣4x+7，再根据根的判别式得出答案即可．
【解答】解：把P（2，3）代入y＝得：3＝，
解得：k＝7，
把k＝7代入y＝x2﹣4x+k得：y＝x2﹣4x+7，
∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×7＝﹣12＜0，
∴抛物线y＝x2﹣4x+k与x轴无交点，即交点的个数是0，
故选：C．
10．（4分）某运动品牌的一款跑步鞋经过最近的两次降价，使每双的价格由1200元降至867元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（ ）
A．1200（1﹣x）2＝867
B．1200（1﹣x）+1200（1﹣x）2＝867
C．867（1+x）2＝1200
D．1200（1﹣x）×2＝867
【分析】利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣平均每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：1200（1﹣x）2＝867．
故选：A．
11．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+a＝0有两个不相等的实数根，且关于y的分式方程＝1的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的值之和是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．19
【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根得到根的判别式大于0，求出a的范围，表示出分式方程的解，由解为非负整数确定出a的值，求出之和即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+a＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×a＝16﹣2a＞0，
解得：a＜8，
分式方程去分母得：y+a﹣2y＝y﹣3，
解得：y＝，
∵分式方程的解为非负整数，
∴整数a＝﹣3或﹣1或1或5或7，
则符合条件的所有整数a的值之和为﹣3﹣1+1+5+7＝9．
故选：A．
12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，与x轴交于点（﹣1，0）和（x，0），且1＜x＜2，以下4个结论：①ab＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④a+b＜am2+bm（m＜﹣1）；其中正确的结论个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置可判断①，由0＜﹣＜1可判断②，由x＝﹣1时y＝0及a与b的关系可判断③，由x＝1时y＜0，x＜﹣1时y＞0可判断④．
【解答】解：由图象可知，a＞0，b＜0，
∴ab＜0，①正确；
因抛物线与x轴交于点（﹣1，0）和（x，0），且1＜x＜2，所以对称轴为直线，
∴﹣b＜2a，
∴2a+b＞0，②错误；
由图象可知x＝﹣1，y＝a﹣b+c＝0，
又∵2a＞﹣b，2a+a+c＞﹣b+a+c，
∴3a+c＞0，③正确；
∵x＝1时，y＝a+b+c＜0，
m＜﹣1时，y＝am2﹣bm+c＞0，
∴m＜﹣1时，am2+bm+c＞a﹣b+c，
∴a+b＜am2+bm，④正确．
故选：B．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个根为x＝1，则m的值为 1 ．
【分析】把x＝1代入方程x2﹣2x+m＝0得1﹣2+m＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣2x+m＝0得1﹣2+m＝0，
解得m＝1．
故答案为：1．
14．（4分）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，以C为圆心，4.8cm长度为半径画圆，则直线AB与⊙O的位置关系是 相切 ．
【分析】根据勾股定理及三角形的面积公式求出三角形AB边上的高h，比较r与h的关系即可判断直线AB与⊙O的位置关系．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝＝＝10（cm），
设三角形AB边上的高为h，
则S△ABC＝h•AB＝AC•BC，
∴h＝＝＝4.8（cm），
∵r＝4.8cm，
∴d＝r，
∴AB与⊙C相切，
故答案为：相切．
15．（4分）已知三角形的两边长为2和7，第三边的长是一元二次方程x2﹣10x+24＝0的根，则这个三角形的周长为 15 ．
【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长即可．
【解答】解：解方程x2﹣10x+24＝0得第三边的边长为6或4，
依据三角形三边关系，边长2，7，4不能构成三角形，2，7，6能构成三角形，
∴三角形的周长＝2+7+6＝15．
故答案为：15．
16．（4分）背面完全相同的四张卡片，正面分别写着数字﹣4，﹣1，2，3，背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，将卡片上的数字记为m，再从余下的卡片中随机抽取一张，将卡片上的数字记为n，则点P（m，n）在第四象限的概率为 ．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中点P（m，n）在第四象限的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中点P（m，n）在第四象限的结果有4种，
∴点P（m，n）在第四象限的概率为＝，
故答案为：．
17．（4分）如图，在平行四边形ABNM中，∠MAB＝30°，AB＝8，以AB为直径作⊙O，点M恰好在⊙O上，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】连接OM、BM，如图，先求得平行四边形的面积，进而即可求得四边形MOBN的面积，得到∠OMA＝∠A＝30°，再利用圆周角定理得到∠BOM＝2∠A＝60°，然后根据图中阴影部分的面积＝S四边形MOBN﹣S扇形BOM进行计算．
【解答】解：连接OM、BM，如图，
∵AB是直径，
∴∠AMB＝90°，
∵∠MAB＝30°，AB＝8，
∴BM＝AB＝4，AM＝AB＝4，
∴S四边形ABNM＝AM•BM＝16，
∴S四边形MOBN＝×16＝12，
∴∠A＝30°，OA＝OM，
∴∠OMA＝∠A＝30°，
∴∠BOM＝2∠A＝60°，
∴图中阴影部分的面积＝S四边形MOBN﹣S扇形BOM
＝12﹣
＝12﹣．
故答案为：．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A在第二象限，以AB为边在AB的左侧作菱形ABCD，满足BC∥x轴，过点B作BE⊥AD交AD于点E，AE＝12DE，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点E，与BC边交于点F，分别连接EF，OE，OF．若S△EOF＝，则k的值为 ﹣ ．
【分析】延长DA交y轴于点H，则△ABE≌△OAH，OH＝AE；由AE＝12DE，有AD：AE＝12：13，又四边形ABCD是菱形，所以AB＝AD；在直角三角形ABE中，BE：AE：AB＝5：12：13，所以BE：EM＝BE：OH＝5：12，FN：EM＝7：12；又反比例函数的图象经过点F和E，因为k＝xE⋅yE＝xF⋅yF，设E（17m，12n），F（﹣m，7m），所以，（12m+7m）⋅（m﹣12m）＝，解得m2＝．所以k＝﹣204×＝﹣．
【解答】解：延长DA交y轴于点H，延长EB交x轴于点M，过点F作x轴的垂线，垂足为N，则四边形OMEH和四边形EFNM是矩形，
则∠AHO＝∠AEB＝90°，
∴∠EAB+∠ABE＝∠OAH+∠BAE＝90°，
∴∠ABE＝∠OAH，
∵AB＝AC，
∴△ABE≌△OAH（AAS），
∴OH＝AE；
∵AE＝12DE，
∴AD：AE＝13：12，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD；
则在Rt△ABE中，BE：AE：AB＝5：12：13，
设BE＝5a，则AE＝12a，AB＝13a，
∴OH＝AE＝12a，AH＝BE＝5a，
∴EB＝5a，BM＝7a，EF＝AE+AH＝17a，
∴FN＝BM＝7a，
∵反比例函数的图象经过点F和E，
∴k＝xE⋅yE＝xF⋅yF，
设E（﹣17m，12m），F（﹣m，7m），
∴k＝﹣17×12m2＝﹣204m2，
∴（12m+7m）⋅（m﹣12m）＝，
解得m2＝．
∴k＝﹣204×＝﹣．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）解下列方程：
（1）x2+x﹣3＝0；
（2）（2x+3）2＝5（2x+3）．
【分析】（1）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x2+x﹣3＝0，
这里a＝1，b＝1，c＝﹣3，
∵Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，
∴x＝＝，
解得：，；
（2）（2x+3）2＝5（2x+3）
（2x+3）2﹣5（2x+3）＝0，
（2x+3）（2x+3﹣5）＝0，
2x+3＝0或2x+3﹣5＝0，
解得：，x2＝1．
20．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC．
（1）用尺规完成以下基本作图：
作∠CAB的角平分线交BC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若AD＝CD，求∠C的度数．
【分析】（1）利用基本作图作∠BAC的平分线即可；
（2）根据等腰三角形的性质由AD＝CD，AC＝BC得到∠C＝∠CAD，∠CAB＝∠B，再利用角平分线的定义得到∠CAB＝2∠CAD＝∠B＝2∠C，接着利用三角形内角和得到∠ABC+∠CAB+∠C＝180°，即2∠C+2∠C+∠C＝180°，然后解方程即可．
【解答】解：（1）如图，AD为所作；
（2）∵AD＝CD，AC＝BC，
∴∠C＝∠CAD，∠CAB＝∠B，
又∵AD平分∠CAB，
∴∠CAB＝2∠CAD，
∴∠CAB＝∠B＝2∠C，
∵∠ABC+∠CAB+∠C＝180°，
∴2∠C+2∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝36°．
21．（10分）红军精神像一座永垂不朽的丰碑，永放光芒，10月22日．时值红军长征胜利85周年纪念日．为了大力弘扬长征精神，继承革命先辈的优良传统，某校团支部举办了“忆长征精神，庆建党百年一纪念长胜利85周年”爱国主义教育主题知识测试活动．现从该校八，九年级各随机抽20名团员的测试成绩（满分10分，得分均为整数）进行整理，描述和分折，以下是部分相关信息．
八年级20名团员的测试成绩如下：
10，7，8，9，10，7，5，8，6，7，10，7，6，9，7，6，9，8，4，7．
八，九年级抽取的团员测试成绩统计表
年级
平均数
众数
中位数
八年级
7.5
7
a
九年级
7.5
b
7.5
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 7 ，b＝ 10 ，m＝ 0 ．
（2）若该校八、九年级共有400名团员参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动的八、九年级团员中成绩为满分的团员有多少名？
（3）根据以上数据，你认为该校八、九年级的团员对“忆长征精神．庆建党百年”的爱国主义教育主题知识，哪个年级掌握的更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
【分析】（1）将八年级20名团员的测试成绩重新排列，根据中位数的定义可得a的值，设九年级20名团员的测试成绩为8分人数所占百分比为x，10分的人数所占百分比为y，根据加权平均数的定义和各得分百分比之和为1可得，解之求出x、y的值即可得出m的值，继而得出众数b的值；
（2）用八、九年级团员总人数乘以样本中成绩为满分的团员数占被调查的总人数可得答案；
（3）九年级掌握的更好，理由见解答．
【解答】解：（1）将八年级20名团员的测试成绩重新排列为：
4，5，6，6，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，10，10，10，
所以其中位数a＝＝7，
设九年级20名团员的测试成绩为8分人数所占百分比为x，10分的人数所占百分比为y，
则，
整理，得：，
解得x＝0、y＝0.4＝40%，
∴m%＝0，即m＝0，
九年级20名团员的测试成绩的众数b＝10分，
故答案为：7、10、0；
（2）估计参加此次测试活动的八、九年级团员中成绩为满分的团员有400×＝110（名）；
（3）九年级掌握的更好，理由如下：
由表格知，八、九年级成绩的平均数相等，而九年级成绩的中位数大于八年级，且满分人数多于八年级，
∴九年级掌握的更好．
22．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．同时，我们也学习了绝对值的意义：|a|＝．结合上面经历的学习过程，研究函数y＝|2﹣|的图象及其性质，自变量x与函数值y满足以下表格，并要求完成下列各题：
x
…
﹣6
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
0
1
2
3
4
…
y
…
3
4
m
2
0
n
1
…
（1）根据表格填空：m＝ 6 ，n＝ ，自变量x的取值范围是 x≠﹣1 ；
（2）在平面直角坐标系中，画出函数图象，并根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质；
（3）已知函数y＝﹣x+2的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|2﹣|≥﹣x+2的解集．
【分析】（1）把x＝﹣2和x＝2分别代入函数解析式来，求得相应的y的值；根据分母不为0，求得自变量x的取值范围．
（2）根据函数图象写出函数的性质．
（3）根据图象即可求解．
【解答】解：（1）将x＝﹣2代入函数y＝|2﹣|可得，y＝6；
将x＝2代入函数y＝|2﹣|可得，x＝；
∴m＝6，n＝
函数y＝|2﹣|中自变量x的取值范围是x≠﹣1，
故答案为：6，，x≠﹣1；
（2）在平面直角坐标系中，画出函数图象如下，
性质：该函数在自变量取值范围内，有最小值，当x＝1时，函数有最小值0；
（3）由图象可知，不等式的解集为：﹣4≤x＜﹣1或﹣1＜x≤0或x≥3．
23．（10分）随着元旦和春节双节临近，加上就地过年的号召，不少准备留在重庆就地过年的群众陆续开始储备年货．除了各大商圈购销两旺外，位于北滨路的中国西部消费扶贫中心也热闹非凡．某商家根据以往的经验用31000元购进了一批城口腊肉和青川牛肝菌，已知青川牛肝菌每件的进价为140元，城口腊肉每件的进价为100元，购进的青川牛肝菌的数量比城口腊肉数量多50件．
（1）该商家购进青川牛肝菌和城口腊肉分别多少件？
（2）商家第一次所购青川牛肝菌和城口腊肉全部售完后，再次购进一批城口腊肉和青川牛肝菌（青川牛肝菌和城口腊肉的进价不变），城口腊肉和青川牛肝菌购进的数量均在第一次数量的基础上增加了2m%；销售时，城口腊肉的售价在进价的基础上提高了0.9m%，青川牛肝菌的售价在进价的基础上提高了m%．全部售出后，第二次所购的青川牛肝菌和城口腊肉的总利润为30000元（不考虑其他因素），求m的值．
【分析】（1）设该商家购进青川牛肝菌x件，城口腊肉y件，利用总价＝单价×数量，结合购进的青川牛肝菌的数量比城口腊肉数量多50件，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出该商家购进青川牛肝菌和城口腊肉的数量；
（2）利用总利润＝每件的利润×销售数量（购进数量），结合全部售出后第二次所购的青川牛肝菌和城口腊肉的总利润为30000元，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出m的值．
【解答】解：（1）设该商家购进青川牛肝菌x件，城口腊肉y件，
依题意得：，
解得：．
答：该商家购进青川牛肝菌150件，城口腊肉100件．
（2）依题意得：140×m%×150（1+2m%）+100×0.9m%×100（1+2m%）＝30000，
整理得：m2+50m﹣5000＝0，
解得：m1＝50，m2＝﹣100（不合题意，舍去）．
答：m的值为50．
24．（10分）对于任意一个三位正整数m，如果m满足百位上的数字小于个位上的数字，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字，那么称这个数m为“时空伴随数”，用“时空伴随数”m的十位数字的平方减去个位数字的平方再减去百位数字的平方，得到的结果记为F（m）．例如：m＝143，满足1＜3，且1+3＝4，所以143是“时空伴随数”，则F（143）＝42﹣32﹣12＝6；例如：m＝395，满足3＜5，但是3+5≠9，所以395不是“时空伴随数”；再如：m＝352，满足3+2＝5，但是3＞2，所以352不是“时空伴随数”．
（1）判断264和175是不是“时空伴随数”？并说明理由；
（2）若t是“时空伴随数”，且t的3倍与t的十位数字之和能被7整除，求满足条件的“时空伴随数”t以及F（t）的最大值．
【分析】（1）根据“时空伴随数”的定义判断即可．
（2）根据条件建立关于t的方程求解．
【解答】解：（1）264是“时空伴随数”，175不是“时空伴随数”，理由如下：
∵2＜4且2+4＝6，
∴264是“时空伴随数”．
∵1＜5但是1+5≠7，
∴175不是“时空伴随数”．
（2）∵t是“时空伴随数”，
∴设t＝a×100+（a+b）×10+b，
（1≤a≤4，2≤b≤8，3≤a+b≤9，a＜b，a，b均为整数）．
∴3t+（a+b）＝331a+34b＝7（47a+5b）+2a﹣b能被7整除．
∴2a﹣b是7的倍数，
∵1≤a≤4，2≤b≤8，3≤a+b≤9，a＜b，
∴﹣6≤2a﹣b≤6，
∴2a﹣b＝0，
∴或或，
t＝132，264，396，
F（132）＝32﹣22﹣12＝4，
F（264）＝62﹣42﹣22＝16，
F（396）＝92﹣62﹣32＝36，
∵4＜16＜36，
∴F（t）的最大值为36．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D为BC的中点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求△BDP面积的最大值；
（3）M是抛物线的对称轴上一点，N是抛物线上一点，直接写出所有使得以点A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．
【分析】（1）将A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4，用待定系数法可得抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）在y＝x2﹣x﹣4中，可得C（0，﹣4），由待定系数法可得直线BC为y＝x﹣4，而D是BC中点，有D（2，﹣2），过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，设P（t，t2﹣t﹣4），（0＜t＜4），则Q（t，t﹣4），即得PQ＝t2﹣t﹣4﹣（t﹣4）＝﹣t2+2t，S△BDP＝PQ•|xB﹣xQ|＝﹣（t﹣2）2+2，由二次函数性质可得△BDP面积的最大值是2；
（3）由y＝x2﹣x﹣4得抛物线对称轴是直线x＝1，设M（1，m），N（n，﹣n2+2n），而A（﹣2，0），D（2，﹣2），分三种情况：①当MN、AD为对角线时，MN的中点即是AD中点，有，解得N（﹣1，﹣），②当MA、ND为对角线时，MA的中点即是ND中点，有，得N（﹣3，），③当MD、AN为对角线时，MD的中点即是AN中点，有，解得N（5，）．
【解答】解：（1）将A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）在y＝x2﹣x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
设直线BC为y＝kx﹣4，将B（4，0）代入得：
0＝4k﹣4，解得k＝1，
∴直线BC为y＝x﹣4，
∵B（4，0），C（0，﹣4），D是BC中点，
∴D（2，﹣2），
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，如图：
设P（t，t2﹣t﹣4），（0＜t＜4），则Q（t，t﹣4），
∴PQ＝t2﹣t﹣4﹣（t﹣4）＝﹣t2+2t，
∴S△BDP＝PQ•|xB﹣xQ|＝×（﹣t2+2t）×（4﹣2）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，
∵﹣＜0，0＜t＜4，
∴t＝2时，S△PBD有最大值为2；
答：△BDP面积的最大值是2；
（3）由y＝x2﹣x﹣4得抛物线对称轴是直线x＝1，
设M（1，m），N（n，﹣n2+2n），而A（﹣2，0），D（2，﹣2），
①当MN、AD为对角线时，MN的中点即是AD中点，
∴，解得n＝﹣1，
∴N（﹣1，﹣），
②当MA、ND为对角线时，MA的中点即是ND中点，
∴，解得n＝﹣3，
∴N（﹣3，），
③当MD、AN为对角线时，MD的中点即是AN中点，
∴，解得n＝5，
∴N（5，），
综上所述，N的坐标为（﹣1，﹣）或（﹣3，）或（5，）．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC边于点D，过顶点C作AB边的平行线交AD的延长线于点E，点F为AD的中点，连接CF．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，BD＝4，求△ABD的面积；
（2）如图2，过点B作BH∥AC，连接CH，EH，若∠CEH+∠CBH＝180°，∠HCA＝∠ECF．求证：CH＝2CF；
（3）如图3，若∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，把△ACD绕点A旋转α（0°＜α≤360°），得到△AC'D'，连接ED'，点M为ED'的中点，连接DM，请直接写出DM的最大值．
【分析】（1）如图1中，过D作DP⊥AB于点P，根据S△ADB＝•DB•AC，求出AC，即可解决问题；
（2）如图2中，延长CF到点G，使FG＝CF，连接AG，证明△AFG≌△DFC（SAS），推出∠G＝∠GCB，推出BC∥AG，再证明△ACG≌△ECH（ASA），可得结论；
（3）如图，点D'的轨迹是以A为圆心，AD为半径的圆A，证明D'F＝2DM，当点D'、A、D、F共线时，D'F最长，求出D'F的最大值，即可解决问题．
【解答】（1）解：如图1中，过D作DP⊥AB于点P，
∴∠DPB＝90°，
∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，
∴CD＝DP，
∵∠BPD＝90°，∠ABC＝45°，
∴PD＝PB，
在Rt△BDP中，PB2+PD2＝DB2，，
∴PD＝PB＝4，CD＝4，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，
∴，
∴S△ABD＝•BD•AC＝×4×（4+4）＝16+8；
（2）证明：如图2中，延长CF到点G，使FG＝CF，连接AG，
∵F为AD的中点，
∴FA＝FD，
在△AFG和△DFC中，
，
∴△AFG≌△DFC（SAS），
∴∠G＝∠GCB，
∴BC∥AG，
∴∠GAC+∠ACB＝180°，
∵BH∥AC，
∴∠ACB＝∠CBH，
∵∠CEH+∠CBH＝180°，
∴∠GAC＝∠CEH，
∵∠HCA＝∠ECF，
∴∠ACG＝∠ECH，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
又∵AB∥CE，
∴∠CEA＝∠BAD，
∴∠CAE＝∠CEA，
∴CA＝CE，
在△ACG和△ECH中，
，
∴△ACG≌△ECH（ASA），
∴CH＝CG，
∵CG＝2CF，
∴CH＝2CF；
（3）解：DM的最大值为．
理由：如图，点D'的轨迹是以A为圆心，AD为半径的圆A；
由题可知，，
∴D'F＝2DM，
当点D'、A、D、F共线时，D'F最长，D'F的最大值为，
∴DM的最大值为．
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