2021年吉林省中考数学试卷

这是一份2021年吉林省中考数学试卷，共32页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年吉林省中考数学试卷
一、单项选择题(每小题2分，共12分)
1．（2分）化简﹣（﹣1）的结果为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
2．（2分）据《吉林日报》2021年5月14日报道，第一季度一汽集团销售整车70060辆，数据70060用科学记数法表示为（　　）
A．7.006×103 B．7.006×104 C．70.06×103 D．0.7006×104
3．（2分）不等式2x﹣1＞3的解集是（　　）
A．x＞1 B．x＞2 C．x＜1 D．x＜2
4．（2分）如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是（　　）

A． B．
C． D．
5．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（　　）

A．30° B．45° C．50° D．65°
6．（2分）古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33．若设这个数是x，则所列方程为（　　）
A．x+x+x＝33 B．x+x+x＝33
C．x+x+x+x＝33 D．x+x+x﹣x＝33
二、填空题(每小题3分，共24分)
7．（3分）计算：﹣1＝　 　．
8．（3分）因式分解：m2﹣2m＝　 　．
9．（3分）计算：﹣＝　 　．
10．（3分）若关于x的一元二次方程x2+3x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 　 　．
11．（3分）如图，已知线段AB＝2cm，其垂直平分线CD的作法如下：
（1）分别以点A和点B为圆心，bcm长为半径画弧，两弧相交于C，D两点；
（2）作直线CD．
上述作法中b满足的条件为b　 　1．（填“＞”，“＜”或“＝”）

12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A′BO′，则点A′的坐标为 　 　．

13．（3分）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m，则坝高CF为 　 　m．

14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2．以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为 　 　（结果保留π）．

三、解答题(每小题5分，共20分)
15．（5分）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）﹣x（x﹣1），其中x＝．
16．（5分）第一盒中有1个白球、1个黑球，第二盒中有1个白球，2个黑球．这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，用画树状图或列表的方法，求取出的2个球都是白球的概率．
17．（5分）如图，点D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE．

18．（5分）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55km．其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4km．求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．
四、解答题(每小题7分，共28分)
19．（7分）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中，以点A，B，C为顶点画一个等腰三角形；
（2）在图②中，以点A，B，D，E为顶点画一个面积为3的平行四边形．

20．（7分）2020年我国是全球主要经济体中唯一实现经济正增长的国家，各行各业蓬勃发展，其中快递业务保持着较快的增长．给出了快递业务的有关数据信息．

2016﹣2020年快递业务量增长速度统计表
年龄
2016
2017
2018
2019
2020
增长速度
51.4%
28.0%
26.6%
25.3%
31.2%
说明：增长速度计算办法为：增长速度＝×100%
根据图中信息，解答下列问题：
（1）2016﹣2020年快递业务量最多年份的业务量是 　 　亿件．
（2）2016﹣2020年快递业务量增长速度的中位数是 　 　．
（3）下列推断合理的是 　 　（填序号）．
①因为2016﹣2019年快递业务量的增长速度逐年下降，所以预估2021年的快递业务量应低于2020年的快递业务量；
②因为2016﹣2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递业务量应在833.6×（1+25%）＝1042亿件以上．
21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y＝在第一象限内的图象相交于点B（m，2），过点B作BC⊥y轴于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△ABC的面积．

22．（7分）数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬44°，求北纬44°纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：
（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；
（2）如图，⊙O是经过南、北极的圆，地球半径OA约为6400km．弦BC∥OA，过点O作OK⊥BC于点K，连接OB．若∠AOB＝44°，则以BK为半径的圆的周长是北纬44°纬线的长度；
（3）参考数据：π取3，sin44°＝0.69，cos44°＝0.72．
小组成员给出了如下解答，请你补充完整：
解：因为BC∥OA，∠AOB＝44°，
所以∠B＝∠AOB＝44°（ 　 　）（填推理依据），
因为OK⊥BC，所以∠BKO＝90°，
在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．
BK＝OB×　 　（填“sinB”或“cosB”）．
所以北纬44°的纬线长C＝2π•BK．
＝2×3×6400×　 　（填相应的三角形函数值）
≈　 　（km）（结果取整数）．

五、解答题(每小8分，共16分)
23．（8分）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示．
（1）直接写出乙地每天接种的人数及a的值；
（2）当甲地接种速度放缓后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．

24．（8分）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．

（1）若AB＝a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；
（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如②，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；
（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．
六.解答题(每小题10分，共20分)
25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝cm．动点P从点A出发沿折线AB﹣BC向终点C运动，在边AB上以1cm/s的速度运动；在边BC上以cm/s的速度运动，过点P作线段PQ与射线DC相交于点Q，且∠PQD＝60°，连接PD，BD．设点P的运动时间为x（s），△DPQ与△DBC重合部分图形的面积为y（cm2）．
（1）当点P与点A重合时，直接写出DQ的长；
（2）当点P在边BC上运动时，直接写出BP的长（用含x的代数式表示）；
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣），点B（1，）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；
（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．
①求m的取值范围；
②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的图象交点个数及对应的m的取值范围．

2021年吉林省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题(每小题2分，共12分)
1．（2分）化简﹣（﹣1）的结果为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号．
【解答】解：﹣（﹣1）＝1，
故选：C．
【点评】本题考查去括号，解题关键是掌握去括号法则．
2．（2分）据《吉林日报》2021年5月14日报道，第一季度一汽集团销售整车70060辆，数据70060用科学记数法表示为（　　）
A．7.006×103 B．7.006×104 C．70.06×103 D．0.7006×104
【分析】把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|＜10，a不为分数形式，n为整数）．
【解答】解：70060＝7.0060×104，
故选：B．
【点评】本题考查科学记数法，解题关键是熟练掌握用科学记数法表示较大的数．
3．（2分）不等式2x﹣1＞3的解集是（　　）
A．x＞1 B．x＞2 C．x＜1 D．x＜2
【分析】按照解不等式步骤：移项，合并同类项，系数化为1求解．
【解答】解：2x﹣1＞3，
2x＞3+1，
2x＞4，
x＞2．
故选：B．
【点评】本题考查解不等式，熟练掌握不等式的基本性质（1，不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号方向不变；2，不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变）是解题关键．
4．（2分）如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形．
【解答】解：粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形．
故选：A．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，解题关键是掌握主视图是从正面看到的图形．
5．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（　　）

A．30° B．45° C．50° D．65°
【分析】由圆内接四边形的性质得∠D度数为60°，再由∠APC为△PCD的外角求解．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠B＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，
∵∠APC为△PCD的外角，
∴∠APC＞∠D，只有D满足题意．
故选：D．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补．
6．（2分）古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33．若设这个数是x，则所列方程为（　　）
A．x+x+x＝33 B．x+x+x＝33
C．x+x+x+x＝33 D．x+x+x﹣x＝33
【分析】根据题意列方程x+x+x+x＝33．
【解答】解：由题意可得x+x+x+x＝33．
故选：C．
【点评】本题考查列一元一次方程，解题关键是通过题干找出等量关系．
二、填空题(每小题3分，共24分)
7．（3分）计算：﹣1＝　2　．
【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简二次根式是解题关键．
8．（3分）因式分解：m2﹣2m＝　m（m﹣2）　．
【分析】利用提公因式法求解．
【解答】解：m2﹣2m＝m（m﹣2）．
故答案为：m（m﹣2）．
【点评】本题考查因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解的各种方法．
9．（3分）计算：﹣＝　　．
【分析】根据分式的加减法则运算．
【解答】解：﹣＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查分式的加减法，解题关键是熟练掌握分式运算的法则．
10．（3分）若关于x的一元二次方程x2+3x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 　　．
【分析】由判别式Δ＝0求解．
【解答】解：∵一元二次方程x2+3x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝32﹣4c＝0，
解得c＝．
故答案为：．
【点评】本题考查根的判别式，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系．
11．（3分）如图，已知线段AB＝2cm，其垂直平分线CD的作法如下：
（1）分别以点A和点B为圆心，bcm长为半径画弧，两弧相交于C，D两点；
（2）作直线CD．
上述作法中b满足的条件为b　＞　1．（填“＞”，“＜”或“＝”）

【分析】作图方法为以A，B为圆心，大于AB长度画弧交于C，D两点．
【解答】解：∵AB＝2cm，
∴半径b长度＞AB，
即b＞1cm．
故答案为：＞．
【点评】本题考查线段的垂直平分线尺规作图法，解题关键是掌握线段垂直平分线的作图方法．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A′BO′，则点A′的坐标为 　（7，4）　．

【分析】作A'C⊥x轴于点C，由旋转的性质可得BC＝A'O'＝OA＝3，A'C＝O'B＝OB＝4，进而求解．
【解答】解：作A'C⊥x轴于点C，

由旋转可得∠O'＝90°，O'B⊥x轴，
∴四边形O'BCA'为矩形，
∴BC＝A'O'＝OA＝3，A'C＝O'B＝OB＝4，
∴点A'坐标为（7，4）．
故答案为：（7，4）．
【点评】本题考查平面直角坐标系与图形旋转的性质，解题关键是通过添加辅助线求解．
13．（3分）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m，则坝高CF为 　2.7　m．

【分析】根据DE∥CF，可得，进而得出CF即可．
【解答】解：如图，过C作CF⊥AB于F，则DE∥CF，
∴，即，
解得CF＝2.7，
故答案为：2.7．

【点评】本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2．以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为 　π﹣　（结果保留π）．

【分析】连接CE，由扇形CBE面积﹣三角形CBE面积求解．
【解答】解：连接CE，

∵∠A＝30°，
∴∠CBA＝90°﹣∠A＝60°，
∵CE＝CB，
∴△CBE为等边三角形，
∴∠ECB＝60°，BE＝BC＝2，
∴S扇形CBE＝＝π
∵S△BCE＝BC2＝，
∴阴影部分的面积为π﹣．
故答案为：π﹣．
【点评】本题考查扇形的面积与解直角三角形，解题关键是判断出三角形CBE为等边三角形与扇形面积的计算．
三、解答题(每小题5分，共20分)
15．（5分）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）﹣x（x﹣1），其中x＝．
【分析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（x+2）（x﹣2）﹣x（x﹣1）
＝x2﹣4﹣x2+x
＝x﹣4，
当x＝时，原式＝﹣4＝﹣3．
【点评】本题考查了整式的化简与求值，能熟记平方差公式和单项式乘以多项式法则是解此题的关键．
16．（5分）第一盒中有1个白球、1个黑球，第二盒中有1个白球，2个黑球．这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，用画树状图或列表的方法，求取出的2个球都是白球的概率．
【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而得出两次都是白球的概率即可．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

共有6种等可能出现的结果情况，其中两球都是白球的有1种，
所以取出的2个球都是白球的概率为．
答：取出的2个球都是白球的概率为．
【点评】本题考查列表法求简单的等可能事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键．
17．（5分）如图，点D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE．

【分析】根据全等三角形的判定定理ASA可以证得△ACD≌△ABE，然后由“全等三角形的对应边相等”即可证得结论．
【解答】证明：在△ABE与△ACD中，
，
∴△ACD≌△ABE（ASA），
∴AD＝AE（全等三角形的对应边相等）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角．
18．（5分）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55km．其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4km．求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．
【分析】设港珠澳大桥隧道长度为xkm，桥梁长度为ykm．由桥梁和隧道全长共55km，得x+y＝55．桥梁长度比隧道长度的9倍少4km，得y＝9x﹣4，然后列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设港珠澳大桥隧道长度为xkm，桥梁长度为ykm．
由题意列方程组得：．
解得：
答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1km和5.9km．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．
四、解答题(每小题7分，共28分)
19．（7分）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中，以点A，B，C为顶点画一个等腰三角形；
（2）在图②中，以点A，B，D，E为顶点画一个面积为3的平行四边形．

【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可（答案不唯一）．
（2）作应该底为1，高为3的平行四边形即可．
【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求（答案不唯一）．
（2）如图②中，四边形ABDE即为所求．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
20．（7分）2020年我国是全球主要经济体中唯一实现经济正增长的国家，各行各业蓬勃发展，其中快递业务保持着较快的增长．给出了快递业务的有关数据信息．

2016﹣2020年快递业务量增长速度统计表
年龄
2016
2017
2018
2019
2020
增长速度
51.4%
28.0%
26.6%
25.3%
31.2%
说明：增长速度计算办法为：增长速度＝×100%
根据图中信息，解答下列问题：
（1）2016﹣2020年快递业务量最多年份的业务量是 　833.6　亿件．
（2）2016﹣2020年快递业务量增长速度的中位数是 　28.0%　．
（3）下列推断合理的是 　②　（填序号）．
①因为2016﹣2019年快递业务量的增长速度逐年下降，所以预估2021年的快递业务量应低于2020年的快递业务量；
②因为2016﹣2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递业务量应在833.6×（1+25%）＝1042亿件以上．
【分析】（1）根据2016﹣2020年快递业务量统计图可得答案；
（2）根据中位数的意义，将2016﹣2020年快递业务量增长速度从小到大排列找出中间位置的一个数即可；
（3）利用业务量的增长速度率估计2021年的业务量即可．
【解答】解：（1）由2016﹣2020年快递业务量统计图可知，2020年的快递业务量最多是833.6亿件，
故答案为：833.6；
（2）将2016﹣2020年快递业务量增长速度从小到大排列处在中间位置的一个数是28.0%，因此中位数是28.0%，
故答案为：28.0%；
（3）①2016﹣2019年快递业务量的增长速度下降，并不能说明快递业务量下降，而业务量也在增长，只是增长的速度没有那么快，因此①不正确；
②因为2016﹣2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递业务量应在833.6×（1+25%）＝1042亿件以上，因此②正确；
故答案为：②．
【点评】本题考查条形统计图，中位数，样本估计总体，理解“增长率”“增长速度”“增长量”的意义及相互关系是正确判断的前提．
21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y＝在第一象限内的图象相交于点B（m，2），过点B作BC⊥y轴于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△ABC的面积．

【分析】（1）因为一次函数与反比例函数交于B点，将B代入到一次函数解析式中，可以求得B点坐标，从而求得k，得到反比例函数解析式；
（2）因为BC⊥y轴，所以C（0，2），利用一次函数解析式可以求得它与y轴交点A的坐标（0，﹣2），由A，B，C三点坐标，可以求得AC和BC的长度，并且BC∥x轴，所以，即可求解．
【解答】解：（1）∵B点是直线与反比例函数交点，
∴B点坐标满足一次函数解析式，
∴，
∴m＝3，
∴B（3，2），
∴k＝6，
∴反比例函数的解析式为；
（2）∵BC⊥y轴，
∴C（0，2），BC∥x轴，
∴BC＝3，
令x＝0，则y＝，
∴A（0，﹣2），
∴AC＝4，
∴，
∴△ABC的面积为6．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，会用坐标求解析式，会用解析式求坐标是解决此题的基本要求，同时要注意在平面直角坐标系中如何利用坐标表示水平线段和竖直线段．
22．（7分）数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬44°，求北纬44°纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：
（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；
（2）如图，⊙O是经过南、北极的圆，地球半径OA约为6400km．弦BC∥OA，过点O作OK⊥BC于点K，连接OB．若∠AOB＝44°，则以BK为半径的圆的周长是北纬44°纬线的长度；
（3）参考数据：π取3，sin44°＝0.69，cos44°＝0.72．
小组成员给出了如下解答，请你补充完整：
解：因为BC∥OA，∠AOB＝44°，
所以∠B＝∠AOB＝44°（ 　两直线平行，内错角相等　）（填推理依据），
因为OK⊥BC，所以∠BKO＝90°，
在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．
BK＝OB×　cosB　（填“sinB”或“cosB”）．
所以北纬44°的纬线长C＝2π•BK．
＝2×3×6400×　0.72　（填相应的三角形函数值）
≈　27648　（km）（结果取整数）．

【分析】由平行线的性质，锐角三角函数的定义求解．
【解答】解：因为BC∥OA，∠AOB＝44°，
所以∠B＝∠AOB＝44°（ 两直线平行，内错角相等）（填推理依据），
因为OK⊥BC，所以∠BKO＝90°，
在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．
BK＝OB×cosB（填“sinB”或“cosB”）．
所以北纬44°的纬线长C＝2π•BK．
＝2×3×6400×0.72（填相应的三角形函数值）
≈27648（km）（结果取整数）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；cosB；0.72；27648．
【点评】本题考查解直角三角形，解题关键是熟练三角函数的含义及解直角三角形的方法．
五、解答题(每小8分，共16分)
23．（8分）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示．
（1）直接写出乙地每天接种的人数及a的值；
（2）当甲地接种速度放缓后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．

【分析】（1）由接种速度＝接种人数÷接种天数求解．
（2）利用待定系数法求解．
（3）将x＝80代入（2）问中解析式得出y＝35，然后由40﹣35＝5．
【解答】解：（1）乙地接种速度为40÷80＝0.5（万人/天），
0.5a＝25﹣5，
解得a＝40．
（2）设y＝kx+b，将（40，25），（100，40）代入解析式得：
，
解得，
∴y＝x+15（40≤x≤100）．
（3）把x＝80代入y＝x+15得y＝×80+15＝35，
40﹣35＝5（万人）．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求解．
24．（8分）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．

（1）若AB＝a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；
（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如②，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；
（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．
【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得CD＝AB＝a；
（2）由题意可得DF∥AC，DF＝AB，由“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，得AC＝AB，得DF＝AC，则四边形ADFC是平行四边形，再由折叠得DF＝BD＝AD，于是判断四边形ADFC是菱形；
（3）题中条件是“点E是射线BC上一点”，因此DF⊥AB又分两种情况，即点F与点D在直线CE的异侧或同侧，正确地画出图形即可求出结果．
【解答】解：（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵CD是斜边AB上的中线，AB＝a，
∴CD＝AB＝a．
（2）四边形ADFC是菱形．
理由如下：
如图②∵DF⊥BC于点G，
∴∠DGB＝∠ACB＝90°，
∴DF∥AC；
由折叠得，DF＝DB，
∵DB＝AB，
∴DF＝AB；
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴AC＝AB，
∴DF＝AC，
∴四边形ADFC是平行四边形；
∵AD＝AB，
∴AD＝DF，
∴四边形ADFC是菱形．
（3）如图③，点F与点D在直线CE异侧，
∵DF⊥AB，
∴∠BDF＝90°；
由折叠得，∠BDE＝∠FDE，
∴∠BDE＝∠FDE＝∠BDF＝×90°＝45°；
如图④，点F与点D在直线CE同侧，
∵DF⊥AB，
∴∠BDF＝90°，
∴∠BDE+∠FDE＝360°﹣90°＝270°，
由折叠得，∠BDE＝∠FDE，
∴∠BDE+∠BDE＝270°，
∴∠BDE＝135°．
综上所述，∠BDE＝45°或∠BDE＝135°．



【点评】此题重点考查直角三角形的性质、轴对称的特征、平行四边形及特殊平行四边形的判定等知识与方法，在解第（3）题时，应进行分类讨论，解题的关键是准确地画出图形，以免丢解．
六.解答题(每小题10分，共20分)
25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝cm．动点P从点A出发沿折线AB﹣BC向终点C运动，在边AB上以1cm/s的速度运动；在边BC上以cm/s的速度运动，过点P作线段PQ与射线DC相交于点Q，且∠PQD＝60°，连接PD，BD．设点P的运动时间为x（s），△DPQ与△DBC重合部分图形的面积为y（cm2）．
（1）当点P与点A重合时，直接写出DQ的长；
（2）当点P在边BC上运动时，直接写出BP的长（用含x的代数式表示）；
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【分析】（1）由tan60°＝＝求解．
（2）点P在AB上运动时间为3÷1＝3（s），则点P在BC上时PB＝（x﹣3）．
（3）分类讨论①点P在AB上，点Q在CD上．②点P在AB上，点Q在DC延长线上．③点P在BC上．
【解答】解：（1）如图，

在Rt△PDQ中，AD＝cm，∠PQD＝60°，
∴tan60°＝＝，
∴DQ＝AD＝1cm．
（2）点P在AB上运动时间为3÷1＝3（s），
∴点P在BC上时PB＝（x﹣3）．
（3）当0≤x≤3时，点P在AB上，作PM⊥CD于点M，PQ交AB于点E，作EN⊥CD于点N，

同（1）可得MQ＝AD＝1cm．
∴DQ＝DM+MQ＝AP+MQ＝（x+1）cm，
当x+1＝3时x＝2，
∴0≤x≤2时，点Q在DC上，
∵tan∠BDC＝＝，
∴∠DBC＝30°，
∵∠PQD＝60°，
∴∠DEQ＝90°．
∵sin30°＝＝，
∴EQ＝DQ＝，
∵sin60°＝＝，
∴EN＝EQ＝（x+1）cm，
∴y＝DQ•EN＝（x+1）×（x+1）＝（x+1）2＝x2+x+（0≤x≤2）．
当2＜x≤3时，点Q在DC延长线上，PQ交BC于点F，如图，


∵CQ＝DQ﹣DC＝x+1﹣3＝x﹣2，tan60°＝，
∴CF＝CQ•tan60°＝（x﹣2）cm，
∴S△CQF＝CQ•CF＝（x﹣2）×（x﹣2）＝（x2﹣2x+2） cm2，
∴y＝S△DEQ﹣S△CQF＝x2+x+﹣（x2﹣2x+2）＝（﹣x2+x﹣） cm2（2＜x≤3）．
当3＜x≤4时，点P在BC上，如图，

∵CP＝CB﹣BP＝﹣（x﹣3）＝（4﹣x） cm，
∴y＝DC•CP＝×3（4﹣x）＝6﹣x（3＜x≤4）．
综上所述，y＝
【点评】本题考查四边形综合应用，解题关键是熟练掌握矩形的性质及解直角三角形方法，通过数形结合求解．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣），点B（1，）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；
（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．
①求m的取值范围；
②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的图象交点个数及对应的m的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求解．
（2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解．
（3）①由0＜PQ≤7求出m取值范围，
②通过数形结合求解．
【解答】解：（1）将A（0，﹣），点B（1，）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝x2+x﹣．
（2）∵y＝x2+x﹣＝（x+）2﹣2，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣．
∴当x＝﹣时，y取最小值为﹣2，
∵2﹣（﹣）＞﹣﹣（﹣2），
∴当x＝2时，y取最大值22+2﹣＝．
（3）①PQ＝|﹣2m+1﹣m|＝|﹣3m+1|，
当﹣3m+1＞0时，PQ＝﹣3m+1，PQ的长度随m的增大而减小，
当﹣3m+1＜0时，PQ＝3m﹣1，PQ的长度随m增大而增大，
∴﹣3m+1＞0满足题意，
解得m＜．
②∵0＜PQ≤7，
∴0＜﹣3m+1≤7，
解得﹣2≤m＜，
如图，当x＝﹣时，点P在最低点，PQ与图象有1交点，

m增大过程中，﹣＜m＜，点P与点Q在对称轴右侧，PQ与图象只有1个交点，

直线x＝关于抛物线对称轴直线x＝﹣对称后直线为x＝﹣，
∴﹣＜m＜﹣时，PQ与图象有2个交点，

当﹣2≤m≤﹣时，PQ与图象有1个交点，

综上所述，﹣2≤m≤﹣或﹣≤m时，PQ与图象交点个数为1，﹣＜m＜﹣时，PQ与图象有2个交点．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通过数形结合的方法求解．
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