2022年高考数学大一轮复习 第十章 第六节 二项分布及其应用、正态分布课件PPT

课时跟踪检测（六十六）  二项分布及其应用、正态分布

[素养落实练]

1．如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C.  D.

解析：选B　设女孩个数为X，女孩多于男孩的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝C×2×＋C×3＝3×＋＝.

2．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，7)，若P(ξ<2)＝P(ξ>4)，则μ与D(ξ)的值分别为(　　)

A．μ＝，D(ξ)＝  B．μ＝，D(ξ)＝7

C．μ＝3，D(ξ)＝7  D．μ＝3，D(ξ)＝

解析：选C　∵随机变量ξ服从正态分布N(μ，7)，∴正态曲线关于x＝μ对称．∵P(ξ<2)＝P(ξ>4)，∴μ＝＝3，D(ξ)＝σ2＝7.

3．(2020·重庆期末)甲、乙、丙三人参加学业水平测试，已知他们通过测试的概率分别为，，，且每人是否通过测试相互独立，则这三人中至少有一人通过测试的概率为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选D　所求事件的对立事件为“三人均未通过测试”，概率为××＝，故至少有一人通过测试的概率为1－＝.故选D.

4．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光．”现有甲、乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A：甲和乙至少一人选择庐山，事件B：甲和乙选择的景点不同，则条件概率P(B|A)＝(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选D　由题知，事件A：甲和乙至少一人选择庐山共有n(A)＝C·C＋1＝7种情况，

事件AB：甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择庐山，

共有n(AB)＝C·C＝6种情况，

所以P(B|A)＝＝.

5.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(　　)

附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4.

A．1 193  B．1 359

C．2 718  D．3 413

解析：选B　对于正态分布N(－1,1)，可知μ＝－1，σ＝1，正态曲线关于直线x＝－1对称，故题图中阴影部分的面积为×[P(－3<X<1)－P(－2<X<0)]＝×[P(μ－2σ<X<μ＋2σ)－P(μ－σ<X<μ＋σ)]＝×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，

所以点落入题图中阴影部分的概率P＝＝0.135 9，

投入10 000个点，落入阴影部分的个数约为10 000×0.135 9＝1 359.故选B.

6．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选B　由题意知，X～B，∴E(X)＝5×＝3，解得m＝2，∴X～B，∴D(X)＝5××＝.故选B.

7．某班有48名学生，一次数学考试的成绩近似地服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数约为(　　)

附：若随机变量X～N(μ，σ2)(σ>0)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈0.997 3.

A．32  B．16

C．8  D．24

解析：选B　∵数学成绩近似地服从正态分布N(80,102)，P(|X－μ|<σ)＝0.682 7，∴P(|X－80|<10)＝0.682 7.根据正态曲线的对称性知位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半，∴理论上说在80分到90分的人数约为×48≈16.故选B.

8．随着电商的流行，物流快递的工作越来越重要了，早在周代，我国便已出现快递制度，据《周礼·秋官》记载，周王朝的官职中设置了主管邮驿、物流的官员“行夫”，其职责要求是“虽道有难，而不时必达”．现某机构对国内排名前五的5家快递公司的某项指标进行了3轮测试(每轮测试的客观条件视为相同)，每轮测试结束后都要根据该轮测试的成绩对这5家快递公司进行排名，那么跟测试之前的排名比较，这3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为________．

解析：每轮测试中有2家公司排名不变的概率为＝＝，因而3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为C×2×＝.

答案：

9．(2021·怀化月考)已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率为________．

解析：设“从1号箱取到红球”为事件A，“从2号箱取到红球”为事件B.

由题意，P(A)＝＝，P(B|A)＝＝，

所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，

所以两次都取到红球的概率为.

答案：

10．(2019·全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．

解析：∵甲队以4∶1获胜，即甲队在第5场(主场)获胜，前4场中有一场输．

若在主场输一场，则概率为2×0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝0.072；

若在客场输一场，则概率为2×0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.108.

∴甲队以4∶1获胜的概率P＝0.072＋0.108＝0.18.

答案：0.18

11．已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)＝3，D(X)＝2，则p＝________，P(X＝1)＝________.

解析：因为随机变量X服从二项分布B(n，p)，E(X)＝3，D(X)＝2，所以解得

即随机变量X服从二项分布B.

P(X＝1)＝C××8＝.

答案：　

12．(2020·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为.

(1)求甲连胜四场的概率；

(2)求需要进行第五场比赛的概率；

(3)求丙最终获胜的概率．

解：(1)甲连胜四场的概率为.

(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，

至多需要进行五场比赛．

比赛四场结束，共有三种情况：

甲连胜四场的概率为；

乙连胜四场的概率为；

丙上场后连胜三场的概率为.

所以需要进行第五场比赛的概率为

1－－－＝.

(3)丙最终获胜，有两种情况：

比赛四场结束且丙最终获胜的概率为；

比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，.

因此丙最终获胜的概率为＋＋＋＝.

13．九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美．某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示：

(1)若购进这批九节虾35 000 g，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数)；

(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选4只，记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X，求X的分布列．

解：(1)由表中数据可以估计每只九节虾的质量为

×(4×10＋12×20＋11×30＋8×40＋5×50)＝29.5(g)，因为35 000÷29.5≈1 186(只)，

所以这批九节虾的数量约为1 186只．

(2)由表中数据知，任意挑选1只九节虾，质量在[5,25)间的概率p＝＝，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，

则P(X＝0)＝4＝，

P(X＝1)＝C××3＝，

P(X＝2)＝C×2×2＝，

P(X＝3)＝C×3×＝，

P(X＝4)＝4＝.

所以X的分布列为

[梯度拔高练]

1．某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩的平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占的百分比约为(　　)

A．10%　　　　　　　　 B．20%

C．30%  D．40%

解析：选D　根据正态分布的对称性可知，其曲线关于x＝μ＝90对称．因为60分以下的人数占10%，所以120分以上的人数占10%，所以60分到120分的人数占80%，故90分到120分的人数占40%.故选D.

2．夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼回游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为(　　)

A．0.05  B．0.007 5

C．  D．

解析：选C　设事件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P(A)＝0.15，P(AB)＝0.05，∴P(B|A)＝＝＝.故选C.

3.甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是(　　)

A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg

B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右

C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小

D．乙类水果的质量服从正态分布的参数σ2＝1.99

解析：选D　由图象可知，甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg，乙类水果的平均质量μ2＝0.8 kg，故A、C正确；由正态分布的密度曲线可知，甲的曲线比乙的曲线“瘦”，因此方差较小，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；由于正态曲线乙的顶点坐标为(0.8，1.99)，结合正态曲线在顶点处的坐标为可知，σ2＝，故D错误，选D.

4．近年来电子商务蓬勃发展，同时也极大地促进了快递行业的发展，为了更好地服务客户，某快递公司使用客户评价系统对快递服务人员的服务进行评价，每月根据客户评价评选出“快递之星”．已知“快递小哥”小张在每个月被评选为“快递之星”的概率都是，则小张在第一季度的3个月中有2个月都被评为“快递之星”的概率为________；设小张在上半年的6个月中被评为“快递之星”的次数为随机变量X，则随机变量X的方差D(X)＝________.

解析：由题意可知，小张在第一季度的3个月中有2个月被评选为“快递之星”的概率为C×2×＝.由题意易知，随机变量X服从二项分布B，所以D(X)＝6××＝.

答案：　

5．2019年，中华人民共和国成立70周年，为了庆祝建国70周年，某中学在全校进行了一次爱国主义知识竞赛，共1 000名学生参加，答对题数(共60题)分布如下表所示：

答对题数Y近似服从正态分布N(μ，81)，μ为这1 000人答对题数的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表)．

(1)估计答对题数在(12,48]内的人数(精确到整数位)．

(2)学校为此次参加竞赛的学生制定如下奖励方案：每名同学可以获得2次抽奖机会，每次抽奖所得奖品的价值与对应的概率如下表所示：

用X(单位：元)表示学生甲参与抽奖所得奖品的价值，求X的分布列及数学期望．

附：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜Z≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜Z≤μ＋3σ)＝0.997 4.

解：(1)根据题意，可得

μ＝＝30，则Y～N(30,81)．

又12＝30－2×9,48＝30＋2×9，所以P(12<Y≤48)＝0.954 4，所以1 000×0.954 4≈954人．

故答对题数在(12,48]内的人数约为954.

(2)由条件可知，X的可能取值为0,10,20,30,40.

P(X＝0)＝2＝；

P(X＝10)＝C××＝；

P(X＝20)＝2＋C××＝；

P(X＝30)＝C××＝；

P(X＝40)＝2＝.

X的分布列为

E(X)＝0×＋10×＋20×＋30×＋40×＝18(元)．