第八章 第八节第三课时 定点、定值、存在性问题课件PPT

课时跟踪检测（五十七）  定点、定值、存在性问题

1．(2021·保定一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F2与抛物线y2＝4x的焦点重合，且其离心率为.

(1)求椭圆C的方程．

(2)已知与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，线段MN中点为P，问：kMN·kOP(O为坐标原点)是否为定值？请说明理由．

解：(1)∵抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，

∴椭圆C的半焦距c＝1，

又椭圆的离心率e＝＝，∴a＝2，则b＝＝.∴椭圆C的方程为＋＝1.

(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y＝kx＋m，

联立得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.

由Δ＞0，可得m2＜4k2＋3.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，

∴P，

∴kOP＝＝－.∴kMN·kOP＝－.

∴kMN·kOP为定值，定值为－.

2．(2021·石嘴山模拟)已知F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，点M(x0,4)在抛物线上，且|MF|＝x0.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)若A，B是抛物线C上的两个动点，且OA⊥OB，O为坐标原点，求证：直线AB过定点．

解：(1)由题意得，|MF|＝x0＋＝x0，解得x0＝2p，

因为点M(x0,4)在抛物线C上，

所以42＝2px0＝4p2，解得p＝2，

所以抛物线C的标准方程为y2＝4x.

(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

因为OA⊥OB，所以·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，

因为点A，B在抛物线C上，所以y＝4x1，y＝4x2，

代入得＋y1y2＝0.

因为y1y2≠0，所以y1y2＝－16.

设直线AB的方程为x＝my＋n，

联立得y2－4my－4n＝0，

则y1y2＝－4n，所以n＝4，

所以直线AB的方程为x＝my＋4，过定点(4,0)．

3．(2020·岳阳期末)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点P(2，)，离心率e＝.

(1)求椭圆E的方程．

(2)过点P斜率为k1，k2的两条直线分别交椭圆E于A，B两点，且满足k1＋k2＝0.证明：直线AB的斜率为定值．

解：(1)依题意，e＝＝＝，所以＝，

又椭圆E过点P(2，)，所以＋＝1，解得a2＝8，b2＝4，

所以椭圆E的方程为＋＝1.

(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AP的方程为y＝k(x－2)＋，

由消去y得(2k2＋1)x2－(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，Δ>0，

所以x1＋xP＝x1＋2＝，

所以x1＝.

又因为直线PA，PB的斜率互为相反数，

所以x2＝，

所以kAB＝＝

＝＝＝.

所以直线AB的斜率为定值.

4．已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．

(1)求椭圆E的方程．

(2)是否存在直线l，使得△OPQ的面积为？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

解：(1)设F(c,0)，因为直线AF的斜率为，A(0，－2)，

所以＝，得c＝.

又＝，b2＝a2－c2，解得a＝2，b＝1，

所以椭圆E的方程为＋y2＝1.

(2)假设存在直线l，使得△OPQ的面积为.

当l⊥x轴时，不合题意，故可设直线l的方程为y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

联立消去y得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.

由Δ＝16(4k2－3)>0，解得k<－或k>，

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

所以|PQ|＝·＝·

＝，

点O到直线l的距离d＝，

所以S△OPQ＝d|PQ|＝.

设＝t>0，则4k2＝t2＋3，

则S△OPQ＝＝，解得t＝1或t＝4，

即k＝±1，±，符合题意．

所以存在直线l：y＝±x－2或y＝±x－2，使得△OPQ的面积为.

5．双曲线C：x2－y2＝2右支上的弦AB过右焦点F.

(1)求弦AB的中点M的轨迹方程；

(2)是否存在以AB为直径，且过原点O的圆？若存在，求出直线AB的斜率k的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)．

因为双曲线C：x2－y2＝2的右焦点为F(2,0)，

所以①当AB⊥x轴时，x＝2，y＝0.

②当AB与x轴不垂直时，由x－y＝2，x－y＝2，

两式相减得

(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0.

又x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，

所以x(x1－x2)－y(y1－y2)＝0.

因为kAB＝＝kFM＝，

所以x(x－2)－y·y＝0，即x2－2x－y2＝0.

又点(2,0)满足上式，点A，B在双曲线x2－y2＝2的右支上，所以x≥2，

故所求中点M的轨迹方程为x2－2x－y2＝0(x≥2)．

(2)假设存在以AB为直径，且过原点O的圆．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

当AB⊥x轴时，|AF|≠|OF|，

所以可设lAB：y＝k(x－2)(k≠±1)．

由已知得OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0.(*)

由得(1－k2)x2＋4k2x－4k2－2＝0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

所以y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)

＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝，

x1x2＋y1y2＝－＝≠0，与(*)式矛盾，

所以不存在以AB为直径，且过原点O的圆．