第九章 第二节 变量间的相关关系与统计案例课件PPT

课时跟踪检测（六十）  变量间的相关关系与统计案例

[素养落实练]

1．下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是(　　)

解析：选D　观察散点图可知，只有D项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系．

2．(2021·山东联考)相关变量x，y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程y＝1x＋1，相关系数为r1；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归直线方程y＝2x＋2，相关系数为r2.则(　　)

A．0<r1<r2<1　　　 B．0<r2<r1<1

C．－1<r1<r2<0  D．－1<r2<r1<0

解析：选D　由散点图得这两个变量呈负相关，所以r1，r2<0.因为剔除点(10,21)后，剩下的数据更具有线性相关性，所以|r2|更接近1，所以－1<r2<r1<0.故选D.

3．千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，某校积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：

根据上表可得回归方程＝x＋中的为1.35，该校2021届同学在学科竞赛中获省级一等奖及以上的学生人数为63，据此模型预测该校2021年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为(　　)

A．111  B．117

C．118  D．123

解析：选B　因为＝53，＝103.5，所以＝－＝103.5－1.35×53＝31.95，所以回归直线方程为＝1.35x＋31.95.当x＝63时，代入解得＝117，故选B.

4．(2021·天门模拟)在2018世界特色魅力城市200强中，包括黄山市在内的28个中国城市入选，美丽的黄山风景和人文景观迎来众多宾客．现在很多人喜欢“自助游”，某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在黄山旅游节期间，随机抽取了100人，得如下所示的列联表：

参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

参照公式，得到的正确结论是(　　)

A．有99.5%以上的把握认为“赞成‘自助游’与性别无关”

B．有99.5%以上的把握认为“赞成‘自助游’与性别有关”

C．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“赞成‘自助游’与性别无关”

D．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“赞成‘自助游’与性别有关”

解析：选D　将2×2列联表中的数据代入计算，得K2＝≈3.030，∵2.706＜3.030＜3.841，∴在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为“赞成‘自助游’与性别有关”．

5．2020年初，新型冠状病毒(COVID­19)引起的肺炎疫情暴发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：

由表格可得y关于 x的二次回归方程为＝6x2＋a，则此回归模型第4周的残差(实际值与预报值之差)为(　　)

A．5  B．4

C．1  D．0

解析：选A　设t＝x2，则＝(1＋4＋9＋16＋25)＝11，

＝(2＋17＋36＋93＋142)＝58，

a＝58－6×11＝－8，所以＝6x2－8.

令x＝4，得e4＝y4－4＝93－6×42＋8＝5.故选A.

6．(2021·江淮十校联考)对具有线性相关关系的变量x，y，有一组观测数据(xi，yi)(i＝1,2,3，…，12)，其回归直线方程为＝2x＋，且y1＋y2＋y3＋…＋y12＝3(x1＋x2＋x3＋…＋x12)＝24，则实数的值是(　　)

A．－  B.

C.  D．－

解析：选C　由y1＋y2＋y3＋…＋y12＝3(x1＋x2＋x3＋…＋x12)＝24知，＝，＝2.又回归直线一定过样本点的中心(，)，故2＝2×＋，∴＝.故选C.

7．“关注夕阳、爱老敬老”．某马拉松协会从2015年开始每年向敬老院捐赠物资和现金．下表记录了第x年(2015年是第一年)与捐赠的现金y(万元)的对应数据，由此表中的数据得到了y关于x的线性回归方程＝mx＋0.35，则预测2021年捐赠的现金大约是(　　)

A.5万元　　　　　　　 B．5.2万元

C．5.25万元  D．5.5万元

解析：选C　由已知，易得＝4.5，＝3.5，代入＝mx＋0.35，得3.5＝4.5m＋0.35，即m＝0.7，所以＝0.7x＋0.35，令x＝7，得＝0.7×7＋0.35＝5.25，预测2021年捐赠的现金大约是5.25万元．

8．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ<4)＝0.84，则P(2<ξ<4)＝0.16

B．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归直线方程，设z＝ln y，将其变换后得到线性方程z＝0.3x＋4，则c，k的值分别是e4和0.3

C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线的方程为y＝a＋bx，若b＝2，＝1，＝3，则a＝1

D．若样本数据x1，x2，…，x10的方差为2，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为16

解析：选BC　∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ<4)＝0.84，∴P(2<ξ<4)＝P(ξ<4)－0.5＝0.84－0.5＝0.34≠0.16，∴A错误；

∵y＝cekx，∴ln y＝ln(cekx)＝kx＋ln c，

∵z＝0.3x＋4，∴ln y＝0.3x＋4，从而k＝0.3，ln c＝4，∴k＝0.3，c＝e4，∴B正确；

∵直线y＝a＋bx过点(，)，∴3＝a＋b，

∵b＝2，∴a＝1，∴C正确；

∵样本数据x1，x2，…，x10的方差为2，∴数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为2×22＝8，∴D错误．故选B、C.

9．某研究性学习小组调查研究学生玩手机对学习的影响，部分统计数据如下表：

经计算K2的值，则有________%的把握认为玩手机对学习有影响．

附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.

解析：由表中数据，计算

K2＝＝10，且10>7.879，

则有99.5%的把握认为玩手机对学习有影响．

答案：99.5

10．(2020·全国卷Ⅱ)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得i＝60，i＝1 200，(xi－)2＝80，(yi－)2＝9 000，(xi－)(yi－)＝800.

(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；

(2)求样本(xi，yi)(i＝1,2，…，20)的相关系数(精确到0.01)；

(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明   理由．

 附：相关系数r＝，≈1.414.

解：(1)由已知得样本平均数＝i＝60，

从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200＝12 000.

(2)样本(xi，yi)(i＝1,2，…，20)的相关系数

r＝＝＝≈0.94.

(3)分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．

理由如下：由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．

11．(2020·新高考全国卷Ⅰ)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：

(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；

(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：

(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？

.

解：(1)根据抽查数据，该市100天空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为32＋18＋6＋8＝64，

因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的概率的估计值为＝0.64.

(2)根据抽查数据，可得2×2列联表：

(3)根据(2)的列联表得

K2＝≈7.484.

由于7.484>6.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关．

12．越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一个有焦虑症，经有关机构调查，得出距离高考周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表：

(1)作出散点图；

(2)根据上表数据用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋(精确到0.01)；

(3)根据经验观测值为正常值的0.85～1.06为正常，1.06～1.12为轻度焦虑，1.12～1.20为中度焦虑，1.20及其以上为重度焦虑，若为中度焦虑及其以上，则要进行心理疏导，若一个学生在距高考第二周时观测值为103，则该学生是否需要进行心理疏导？

其中＝，iyi＝1 452，＝91，

＝－.

解：(1)散点图如图所示：

(2)∵＝×(6＋5＋4＋3＋2＋1)＝3.5，

＝×(55＋63＋72＋80＋90＋99)＝76.5，

∴＝≈－8.83，

＝76.5＋8.83×3.5≈107.41，

∴线性回归方程为＝－8.83x＋107.41.

(3)∵≈1.14＞1.12，

∴该学生需要进行心理疏导．

[梯度拔高练]

(2021·重庆一诊)已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关．现收集了一只该品种昆虫的产卵数y(个)和温度x(℃)的7组观测数据，其散点图如图所示：

根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数y和温度x可用方程y＝ebx＋a来拟合，令z＝ln y，结合样本数据可知z与温度x可用线性回归方程来拟合．

根据收集到的数据，计算得到如下值：

表中zi＝ln yi，＝ i.

(1)求z关于温度x的回归方程(回归系数结果精确到0.001)；

(2)求产卵数y关于温度x的回归方程；若该地区一段时间内的气温在26 ℃～36 ℃之间(包括26 ℃与36 ℃)，估计该品种一只昆虫的产卵数的范围．

附：对于一组数据(ω1，v1)，(ω2，v2)，…，(ωn，vn)，其回归直线＝＋ω的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－.

参考数据：e3.282≈27，e3.792≈44，e5.832≈341，e6.087≈440，e6.342≈568.

解：(1)设＝x＋，

则＝＝≈0.255，

＝－＝3.537－0.255×27＝－3.348，

故z关于x的线性回归方程为＝0.255x－3.348.

(2)由(1)可得，ln y＝0.255x－3.348，

于是产卵数y关于温度x的回归方程为y＝e0.255x－3.348.

当x＝26时，y＝e0.255×26－3.348＝e3.282≈27；

当x＝36时，y＝e0.255×36－3.348＝e5.832≈341.

∵函数y＝e0.255x－3.348为增函数，

∴气温在26 ℃～36 ℃之间时，估计该品种一只昆虫的产卵数的范围是[27,341]上的正整数．