第八章 第八节第二课时 最值与范围、证明问题课件PPT

课时跟踪检测（五十六）  最值与范围、证明问题

1．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(a，2)在抛物线C上．

(1)若|MF|＝6，求抛物线的标准方程；

(2)若直线x＋y＝t与抛物线C交于A，B两点，点N的坐标为(1,0)，且满足NA⊥NB，原点O到直线AB的距离不小于，求p的取值范围．

解：(1)由题意及抛物线的定义得，a＋＝6，

又点M(a，2)在抛物线C上，所以20＝2pa，

由解得或

所以抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝20x.

(2)联立消去y，整理得x2－(2t＋2p)x＋t2＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝2t＋2p，x1x2＝t2.

因为NA⊥NB，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，

又y1＝t－x1，y2＝t－x2，

所以2x1x2－(1＋t)(x1＋x2)＋t2＋1＝0，

得2p＝.

由原点O到直线AB的距离不小于，

得≥ ，即t≤－2(舍去)或t≥2，

因为2p＝＝t＋1＋－4，函数y＝在t∈[2，＋∞)上单调递增，

所以p≥，即p的取值范围为.

2．(2021年1月新高考八省联考卷)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.

(1)求C的离心率；

(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.

解：(1)当|BF|＝|AF|，且BF⊥AF时，

有c＋a＝＝，所以a＝c－a，解得e＝2.

(2)证明：由(1)知双曲线方程为－＝1，

设B(x，y)(x＞0，y＞0)易知渐近线方程为y＝±x，

所以∠BAF∈，∠BFA∈，

当x>a，x≠2a时，则kAB＝，kBF＝.

设∠BAF＝θ，则tan θ＝，

tan 2θ＝＝

＝＝

＝＝＝

＝－kBF＝tan∠BFA.

因为2∠BAF∈，

所以∠BFA＝2∠BAF.

当x＝2a时，由(1)可得∠BFA＝，∠BAF＝，

故∠BFA＝2∠BAF.

综上，∠BFA＝2∠BAF.

3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点坐标为A(0，－1)，离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线y＝k(x－1)(k≠0)与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，点B(1,0)，求证：点M不在以AB为直径的圆上．

解：(1)由题意可知解得

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)．

由得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0，

则Δ＝(－8k2)2－4×(4k2＋1)(4k2－4)＝48k2＋16，

当k为任何实数时，都有Δ>0.

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

因为线段PQ的中点为M，

所以x0＝＝，y0＝k(x0－1)＝.

因为A(0，－1)，B(1,0)，

所以＝(x0，y0＋1)，＝(x0－1，y0)．

所以·＝x0(x0－1)＋y0(y0＋1)＝x－x0＋y＋y0

＝2－＋2＋

＝＝

＝.

因为k≠0,42＋>0，

所以·≠0，

所以点M不在以AB为直径的圆上．

4．(2019·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．

(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；

(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．

解：(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，

故C的离心率e＝＝－1.

(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|·2c＝16，

·＝－1，＋＝1，

即c|y|＝16， ①

x2＋y2＝c2， ②

＋＝1. ③

由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.

又由①知y2＝，故b＝4.

由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，

所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，

故a≥4.

当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.

所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．

5．(2021·淄博检测)如图，已知抛物线x2＝y.点A，B，抛物线上的点P(x，y)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.

(1)求直线AP斜率的取值范围；

(2)求|PA|·|PQ|的最大值．

解：(1)设直线AP的斜率为k，

k＝＝x－，因为－<x<，

所以直线AP斜率的取值范围是(－1,1)．

(2)联立直线AP与BQ的方程

解得点Q的横坐标是xQ＝.

因为|PA|＝＝(k＋1)，

|PQ|＝(xQ－x)＝－，

所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.

令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，

则f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，

所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减，

所以f(k)max＝f＝，

因此当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值.