第七章 第二节 球的结构特征及表面积和体积课件PPT

课时跟踪检测（四十）  球的结构特征及表面积和体积

[素养落实练]

1．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)

A.π　　　　　　　　 B．4π

C．4π  D．6π

解析：选B　球半径r＝＝，所以球的体积为π×()3＝4π.

2．(多选)(2020·江苏海州高级中学模拟)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的各棱长均为2，下列结论正确的是(　　)

A．该正方体外接球的直径为2

B．该正方体内切球的表面积为4π

C．若球O与正方体的各棱相切，则该球的半径为

D．该正方体外球接的体积为4

解析：选ABC　若正方体的棱长为2，则：①若球为正方体的外接球，则外接球直径等于正方体体对角线，即2R1＝＝2，故A正确；外接球体积为πR＝4π，故D错误；②若球为正方体的内切球，则内切球半径为棱长的一半，故R2＝1，球的表面积为4πR＝4π，故B正确；③若球与正方体的各棱相切，则球的直径等于正方形对角线长，即2R3＝＝2，球的半径为R3＝，故C正确．

3．球面上有A, B, C, D四个点，若AB, AC, AD两两垂直，且AB＝AC＝AD＝4，则该球的表面积为(　　)

A.  B．32π

C．42π  D．48π

解析：选D　由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，设球的半径为R，由题意可得：(2R)2＝42＋42＋42，据此可得R2＝12，外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×12＝48π.

4．已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于(　　)

A.π   B.π

C．16π  D．32π

解析：选B　设该圆锥的外接球的半径为R，

依题意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，

所以所求球的体积V＝πR3＝π×23＝π.

5．已知在三棱锥P­ABC中，AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝5 cm，AB＝4 cm，AC＝3 cm，点O为三棱锥P­ABC的外接球的球心，点D为△ABC的外接圆的圆心，下列说法不正确的是(　　)

A．三棱锥P­ABC的体积为10 cm3

B．直线BC与平面PAC所成角的正切值为

C．球O的表面积为50π cm2

D．OD⊥PA

解析：选D　因为AP，AB，AC两两互相垂直，以AP，AB，AC为棱补成一个长方体，如图，由长方体性质知：VP­ABC＝AB·AC·AP＝10 cm3，A正确；

BC与平面PAC所成角为∠BCA，tan∠CBA＝＝，B正确；

长方体的体对角线是其外接球也是三棱锥P­ABC外接球的直径，长度为＝5，则球的表面积为S＝4π×2＝50π(cm2)，C正确；

由外接球性质，OD⊥平面ABC，而PA⊥平面ABC，所以OD∥PA，D错误．

6．.(2020·武汉模拟)已知某三棱柱的侧棱垂直于底面，且底面是边长为2的正三角形，若其外接球的表面积为，则该三棱柱的高为(　　)

A．  B．3

C．4   D．

解析：选B　由题意易知该三棱柱是底面边长为2的正三棱柱．设C，B分别为三棱柱上、下底面的中心，连接BC，则三棱柱外接球的球心为BC的中点O，如图．

设三棱柱外接球的半径为R.

∵三棱柱的外接球的表面积为，∴4πR2＝，∴R＝.

又R＝OA＝＝ ＝，

∴OB＝，∴该三棱柱的高为BC＝2OB＝3.

7．(多选)已知四棱台ABCD­A1B1C1D1的上下底面均为正方形，其中AB＝2，A1B1＝，AA1＝BB1＝CC1＝2，则下述正确的是(　　)

A．该四棱台的高为

B．AA1⊥CC1

C．该四梭台的表面积为26

D．该四梭台外接球的表面积为16π

解析：选AD　由棱台性质，画出切割前的四棱锥如图所示，由于AB＝2，A1B1＝，可知△SA1B1与△SAB相似比为1∶2；则SA＝2AA1＝4，AO＝2，则SO＝2，则OO1＝，该四棱台的高为，A正确；

因为SA＝SC＝AC＝4，所以AA1与CC1夹角为60°，不垂直，B错误；

该四棱台的表面积为S＝S上底＋S下底＋S侧＝2＋8＋4××＝10＋6，C错误；

由于上下底面都是正方形，则外接球的球心在OO1上，在平面B1BOO1上中，由于OO1＝，B1O1＝1，则OB1＝2＝OB，即点O到点B与点B1的距离相等，则r＝OB＝2，该四棱台外接球的表面积为16π，D正确，故选A、D.

8. (多选)(2020·重庆八中月考)如图，长方体ABCD­A1B1C1D1的底面是正方形，AA1＝2AB，E是DD1的中点，则(　　)

A．△B1EC为直角三角形

B．CE∥A1B

C．三棱锥C1­B1CE的体积是长方体体积的

D．三棱锥C1­B1CD1的外接球的表面积是正方形ABCD面积的6π倍

解析：选ACD　令AA1＝2AB＝2a，在△B1EC中，B1E＝a，EC＝a，B1C＝a，所以B1E2＋EC2＝B1C2，则△B1EC为直角三角形，故A正确；

因为A1B与D1C平行，而CE与D1C相交，所以CE与A1B不平行，故B错误；

三棱锥C1­B1CE的体积为VC1­B1CE＝VB1­C1CE＝××2a×a×a＝，VABCD­A1B1C1D1＝2a3，则三棱锥C1­B1CE的体积是长方体体积的，故C正确；

因为三棱锥C1­B1CD1的外接球就是长方体ABCD­A1B1C1D1的外接球，所以三棱锥C1­B1CD1的外接球半径R＝＝，三棱锥C1­B1CD1的外接球的表面积为S＝4π×2＝6a2π，又S正方形ABCD＝a2，所以三棱锥C1­B1CD1的外接球的表面积是正方形ABCD面积的6π倍，故D正确，故选A、C、D.

9. (2021·济南模拟)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．

解析：设圆柱内切球的半径为R，

则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R，高为2R，

故＝＝.

答案：

10．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a.若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径为________．

解析：由题意知，当球与四棱锥各面均相切，

即内切于四棱锥时球的半径最大．作出其侧视图，如图所示．

易知球的半径r＝(2－)a.

答案：(2－)a

11．(2020·石家庄模拟)三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝BC＝AC，侧棱AA1⊥底面ABC，且三棱柱的侧面积为3.若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积的最小值为________．

解析：如图，∵三棱柱ABC­A1B1C1为正三棱柱，

∴设A1C1＝a，BB1＝h，

∴三棱柱的侧面积为3a·h＝3，

∴ah＝.

又球O的半径

R＝≥＝1，

当且仅当＝，且ah＝，

即a＝，h＝时，等号成立．

∴球O的表面积S＝4πR2≥4π.

答案：4π

12．(2021·河北适应性测试)已知三棱锥S­ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB＝2，SA＝SB＝SC＝2，求三棱锥外接球的球心到平面ABC的距离．

解析：∵三棱锥S­ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA＝SB＝SC＝2，∴点S在平面ABC内的射影为AB中点H，

∴SH⊥平面ABC，SH上任意一点到A，B，C的距离相等．

∵SH＝，CH＝1，

∴∠HSC＝30°，

在平面SHC内作SC的垂直平分线交SC于点M，交SH于点O，

则点O为三棱锥S­ABC的外接球球心．

∵SC＝2，∴SM＝1，∴SO＝，∴OH＝，

即为点O到平面ABC的距离．

[梯度拔高练]

1．在三棱锥P­ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝60°，PA＝2，AB＝AC＝，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C．8π  D．12π

解析：选C　易知△ABC是等边三角形．

如图，作OM⊥平面ABC，

其中M为△ABC的中心，且点O满足OM＝PA＝1，

则点O为三棱锥P­ABC外接球的球心．

于是，该外接球的半径

R＝OA＝

＝＝.

故该球的表面积S＝4πR2＝8π.

2. (2021·沧州一中调研)把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形)，则皮球的半径为(　　)

A．10 cm  B．10 cm

C．10 cm  D．30 cm

解析：选B　依题意，在四棱锥S­ABCD中，所有棱长均为20 cm，连接AC，BD交于点O，连接SO，

则SO＝AO＝BO＝CO＝DO＝10 cm，

易知点O到AB，BC，CD，AD的距离均为10 cm，

在等腰三角形OAS中，AO＝SO＝10 cm，SA＝20 cm，

所以O到SA的距离d＝10 cm，同理可证O到SB，SC，SD的距离也为10 cm，

所以球心为四棱锥底面ABCD的中心O，所以皮球的半径r＝10 cm.

3．如图①，需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后的三视图均为图②所示，且平面A1BC1截得小球的截面面积为，则该小球的体积为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　设正方体盒子的棱长为2a，则内接球的半径为a，平面A1BC1截正方体，得边长为2a的正三角形，且球与以点B1为公共点的三个面的切点恰为△A1BC1三边的中点，则所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积．如图，设△A1BC1的内切圆的圆心为O，A1C1的中点为M，则由图得∠OA1M＝30°，A1M＝a，△A1BC1的内切圆的半径OM＝a×tan 30°＝a.则所求的截面圆的面积是π×a×a＝a2＝，解得a＝1.于是小球的体积V球＝×13＝.故选B.

4．底面边长与侧棱长均相等的正四棱锥(底面为正方形，顶点在底面上的射影为正方形的中心)的外接球半径与内切球半径的比值为(　　)

A.＋1  B．3

C.＋1  D．2

解析：选A　不妨设其棱长为2，外接球的半径为R，内切球的半径为r，如图．

则BO＝BD＝×2＝，

PO＝ ＝，

PM＝ ＝，

所以可知O即为该几何体外接球的球心，故R＝.

因为VP­ABCD＝4××S△PCD×r＋×S四边形ABCD×r＝×S四边形ABCD×PO，

又S四边形ABCD＝22＝4，S△PCD＝·CD·PM＝，

所以内切球半径为r＝，于是＝×＝＋1，故选A.

5．(2020·衡水中学高三月考)正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球的表面积为(　　)

A.π   B.π

C．7π  D．19π

解析：选C　根据题意可知三棱锥B­ACD的三条侧棱BD⊥AD，DC⊥AD，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径．∵BD＝CD＝1，BC＝，∴∠BDC＝120°，∴△BDC的外接圆的半径为×＝1.由题意可得，球心到底面的距离为.∴球的半径为r＝＝.∴外接球的表面积为S＝4πr2＝4π×＝7π.

6．已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．

解析：如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，

连接AD并延长交BC于点E，连接PE，

∵△ABC是正三角形，∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．∵AB＝2，∴S△ABC＝3，DE＝1，PE＝.

∴S表＝3××2×＋3＝3＋3.∵PD＝1，

∴三棱锥的体积V＝×3×1＝.设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，则r＝＝－1.

答案：－1

7．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，求三棱锥D­ABC体积的最大值．

解：由等边△ABC的面积为9，可得AB2＝9，所以AB＝6，

所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝AB＝2.

设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，

则d＝＝＝2.所以三棱锥D­ABC高的最大值为2＋4＝6，

所以三棱锥D­ABC体积的最大值为×9×6＝18.

8．已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？

解：如图为其轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，

则2＋r2＝R2，即h＝2.

因为S＝2πrh＝4πr·

＝4π

≤4π＝2πR2，

当且仅当r2＝R2－r2，

即r＝R时，取等号，

所以当内接圆柱底面半径为R，高为R时，其侧面积的值最大，最大值为2πR2.