数学第24章 圆综合与测试课时练习

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沪科版九年级数学下册第24章圆章节练习 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图图案中，不是中心对称图形的是（    ）A． B． C． D．2、的边经过圆心，与圆相切于点，若，则的大小等于（    ）A． B． C． D．3、在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为2：4：7，则∠B的度数为（      ）A．140° B．100° C．80° D．40°4、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（    ）A． B．C． D．5、如图，是的直径，弦，垂足为，若，则（    ）A．5 B．8 C．9 D．106、如图，AB，CD是⊙O的弦，且，若，则的度数为（    ）A．30° B．40° C．45° D．60°7、如图，AB是⊙O的直径，弦，，，则阴影部分图形的面积为（    ）A． B． C． D．8、如图，AB是的直径，的弦DC的延长线与AB的延长线相交于点P，于点E，，，则阴影部分的面积为（    ）A． B． C． D．9、已知⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（    ）A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切10、如图，是△ABC的外接圆，已知，则的大小为（      ）A．55° B．60° C．65° D．75°第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，若对角线AC＝2，则的长为 _____．2、把一个正六边形绕其中心旋转，至少旋转________度，可以与自身重合．3、如图，AB是半圆O的弦，DE是直径，过点B的切线BC与⊙O相切于点B，与DE的延长线交于点C，连接BD，若四边形OABC为平行四边形，则∠BDC的度数为______．4、如图，正方形ABCD的边长为1，⊙O经过点C，CM为⊙O的直径，且CM＝1．过点M作⊙O的切线分别交边AB，AD于点G，H．BD与CG，CH分别交于点E，F，⊙O绕点C在平面内旋转（始终保持圆心O在正方形ABCD内部）．给出下列四个结论：①HD＝2BG；②∠GCH＝45°；③H，F，E，G四点在同一个圆上；④四边形CGAH面积的最大值为2．其中正确的结论有 _____（填写所有正确结论的序号）．5、已知如图，AB=8，AC=4，∠BAC=60°，BC所在圆的圆心是点O，∠BOC=60°，分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F，则PE+EF+FP的最小值为____________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，四边形ABCD是正方形．△ABE是等边三角形，M为对角线 BD(不含B，D点)上任意一点，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接 EN，AM、CM．请判断线段 AM 和线段 EN 的数量关系，并说明理由．2、如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P在BA的延长线上，连接BC，PC．若AB = 6，的长为π，BC = PC．求证：直线PC与⊙O相切．3、如图，已知为的直径，切于点C，交的延长线于点D，且．（1）求的大小；（2）若，求的长．4、问题：如图，是的直径，点在内，请仅用无刻度的直尺，作出中边上的高.小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．作法：如图，①延长交于点，延长交于点；②分别连接，并延长相交于点；③连接并延长交于点．所以线段即为中边上的高．（1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．证明：∵是的直径，点，在上，∴________°．（______）（填推理的依据）∴，．∴，________是的两条高线．∵，所在直线交于点，∴直线也是的高所在直线．∴是中边上的高．5、如图，⊙O的半径为10cm，弦AB垂直平分半径OC，垂足为点D．（1）弦AB的长为          ．（2）求劣弧的长． -参考答案-一、单选题1、C【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心求解．【详解】解：A、是中心对称图形，故A选项不合题意；B、是中心对称图形，故B选项不合题意；C、不是中心对称图形，故C选项符合题意；D、是中心对称图形，故D选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形的知识，解题的关键是掌握中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后重合．2、A【分析】连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案．【详解】解：连接， ，，与圆相切于点，，，故选：A．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．3、C【分析】，，，进而求解的值．【详解】解：由题意知∵∴∴∵∴故选C．【点睛】本题考查了圆内接四边形中对角互补．解题的关键在于根据角度之间的数量关系求解．4、C【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，故此选项符合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．5、C【分析】连接，根据垂径定理可得，设的半径为，则,进而勾股定理列出方程求得半径，进而求得【详解】解：如图，连接，∵是的直径，弦，∴设的半径为，则在中，，即解得即故选C【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．6、B【分析】由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可得．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】题目主要考查圆周角定理，平行线的性质等，理解题意，找出相关的角度是解题关键．7、D【分析】根据垂径定理求得CE=ED=；然后由圆周角定理知∠COE=60°．然后通过解直角三角形求得线段OC，然后证明△OCE≌△BDE，得到求出扇形COB面积，即可得出答案．【详解】解：设AB与CD交于点E，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=2，如图，∴CE=CD=，∠CEO=∠DEB=90°，∵∠CDB=30°，∴∠COB=2∠CDB=60°，∴∠OCE=30°，∴，∴，又∵，即∴，在△OCE和△BDE中，，∴△OCE≌△BDE（AAS），∴∴阴影部分的面积S=S扇形COB=，故选D．【点睛】本题考查了垂径定理、含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，扇形面积的计算等知识点，能知道阴影部分的面积=扇形COB的面积是解此题的关键．8、B【分析】由垂径定理可知，AE=CE，则阴影部分的面积等于扇形AOD的面积，求出，然后利用扇形面积公式，即可求出答案．【详解】解：根据题意，如图：∵AB是的直径，OD是半径，，∴AE=CE，∴阴影CED的面积等于AED的面积，∴，∵，，∴，∴；故选：B【点睛】本题考查了求扇形的面积，垂径定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确利用扇形的面积公式进行计算．9、B【分析】圆的半径为 圆心O到直线l的距离为 当时，直线与圆相切，当时，直线与圆相离，当时，直线与圆相交，根据原理直接作答即可.【详解】解： ⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为5cm，  ⊙O的半径等于圆心O到直线l的距离， 直线l与⊙O的位置关系为相切，故选B【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系的判定，掌握“直线与圆的位置关系的判定方法”是解本题的关键.10、C【分析】由OA=OB，，求出∠AOB=130°，根据圆周角定理求出的度数．【详解】解：∵OA=OB，，∴∠BAO=．∴∠AOB=130°．∴=∠AOB=65°．故选：C．【点睛】此题考查了同圆中半径相等的性质，圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．二、填空题1、【分析】连接OB，交AC于点D，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形OABC为菱形，根据菱形的性质可得：，，，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，由此得出，在直角三角形中利用勾股定理即可确定圆的半径，然后代入弧长公式求解即可．【详解】解：如图所示，连接OB，交AC于点D，∵四边形OABC为平行四边形，，∴四边形OABC为菱形， ∴，，，∵，∴为等边三角形，∴，∴，在中，设，则，∴，即，解得：或（舍去），∴的长为：，故答案为：．【点睛】题目主要考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式等，熟练掌握各个定理和公式是解题关键．2、60【分析】正六边形连接各个顶点和中心，这些连线会将360°分成6分，每份60°因此至少旋转60°，正六边形就能与自身重合．【详解】360°÷6=60°故答案为：60【点睛】本题考查中心对称图形的性质，根据图形特征找到最少旋转度数是本题关键．3、【分析】先由切线的性质得到∠OBC=90°，再由平行四边形的性质得到BO=BC，则∠BOC=∠BCO=45°，由OD=OB，得到∠ODB=∠OBD，由∠ODB+∠OBD=∠BOC，即可得到∠ODB=∠OBD=22.5°，即∠BDC=22.5°．【详解】解：∵BC是圆O的切线，∴∠OBC=90°，∵四边形ABCO是平行四边形，∴AO=BC，又∵AO=BO，∴BO=BC，∴∠BOC=∠BCO=45°，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∵∠ODB+∠OBD=∠BOC，∴∠ODB=∠OBD=22.5°，即∠BDC=22.5°，故答案为：22.5°．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，切线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，熟知切线的性质是解题的关键．4、②③④【分析】根据切线的性质，正方形的性质，通过三角形全等，证明HD=HM，∠HCM=∠HCD，GM=GB，∠GCB=∠GCM，可判断前两个结论；运用对角互补的四边形内接于圆，证明∠GHF+∠GEF=180°，取GH的中点P，连接PA，则PA+PC≥AC，当PC最大时，PA最小，根据直径是圆中最大的弦，故PC=1时，PA最小，计算即可．【详解】∵GH是⊙O的切线，M为切点，且CM是⊙O的直径，∴∠CMH=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CMH=∠CDH=90°，∵CM=CD，CH=CH，∴△CMH≌△CDH，∴HD=HM，∠HCM=∠HCD，同理可证，∴GM=GB，∠GCB=∠GCM，∴GB+DH=GH，无法确定HD＝2BG，故①错误；∵∠HCM+∠HCD+∠GCB+∠GCM=90°，∴2∠HCM+2∠GCM=90°，∴∠HCM+∠GCM=45°，即∠GCH＝45°，故②正确；∵△CMH≌△CDH，BD是正方形的对角线，∴∠GHF=∠DHF，∠GCH=∠HDF=45°，∴∠GHF+∠GEF=∠DHF +∠GCH+∠EFC=∠DHF +∠HDF+∠HFD=180°，根据对角互补的四边形内接于圆，∴H，F，E，G四点在同一个圆上，故③正确；∵正方形ABCD的边长为1，∴=1=，∠GAH=90°，AC=取GH的中点P，连接PA，∴GH=2PA，∴=，∴当PA取最小值时，有最大值，连接PC，AC，则PA+PC≥AC，∴PA≥AC- PC，∴当PC最大时，PA最小，∵直径是圆中最大的弦，∴PC=1时，PA最小，∴当A，P，C三点共线时，且PC最大时，PA最小，∴PA=-1，∴最大值为：1-（-1）=2-，∴四边形CGAH面积的最大值为2，∴④正确；故答案为: ②③④．【点睛】本题考查了切线的性质，直径是最大的弦，三角形的全等，直角三角形斜边上的中线，四点共圆，正方形的性质，熟练掌握圆的性质，灵活运用直角三角形的性质，线段最短原理是解题的关键．5、12【分析】如图，连接BC，AO，作点P关于AB的对称点M，作点P关于AC的对称点N，连接MN交AB于E，交AC于F，此时△PEF的周长=PE+PF+EF=EM+EF+FM=MN，想办法求出MN的最小值即可解决问题．【详解】解：如图，连接BC，AO，作点P关于AB的对称点M，作点P关于AC的对称点N，连接MN交AB于E，交AC于F，此时△PEF的周长=PE+PF+EF=EM+EF+FM=MN，∴当MN的值最小时，△PEF的值最小，∵AP=AM=AN，∠BAM=∠BAP，∠CAP=∠CAN，∠BAC=60°，∴∠MAN=120°，∴MN=AM=PA，∴当PA的值最小时，MN的值最小，取AB的中点J，连接CJ．∵AB=8，AC=4，∴AJ=JB=AC=4，∵∠JAC=60°，∴△JAC是等边三角形，∴JC=JA=JB，∴∠ACB=90°，∴BC=，∵∠BOC=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=OC=BC=4，∠BCO=60°，∴∠ACH=30°，∵AH⊥OH，AH=AC=2，CH=AH=2，∴OH=6，∴OA==4，∵当点P在直线OA上时，PA的值最小，最小值为-，∴MN的最小值为•（-）=-12．故答案：-12．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，轴对称-最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题1、AM=EN，理由见解析【分析】根据旋转性质和等边三角形的性质可证得∠ABM=∠EBN，BM=BN，AB=BE，根据全等三角形的判定证明△ABM≌△EBN即可得出结论．【详解】解：AM=EN，理由为：∵△ABE是等边三角形，∴AB=BE，∠ABE=60°，即∠EBN=∠ABN=60°，∵线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，∴BM=BN，∠MBN=60°，即∠ABM+∠ABN=60°，∴∠ABM=∠EBN，在△ABM和△EBN中，，∴△ABM≌△EBN（SAS），∴AM=EN．【点睛】本题考查等边三角形的性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握用全等三角形证明线段相等是解答的关键．2、见详解【分析】连接OC，由题意易得∠AOC=60°，则有∠B=∠OCB=30°，然后可得∠P=∠B=30°，进而可得∠OCP=90°，最后问题可求证．【详解】证明：连接OC，如图所示：∵的长为π，AB=6，∴OC=OA=3，，∴，∵OB=OC，∴∠B=∠OCB=30°，∵BC=PC，∴∠P=∠B=30°，∴∠POC+∠P=90°，即∠OCP=90°，∵OC是圆O的半径，∴直线PC与⊙O相切．【点睛】本题主要考查切线的判定定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．3、（1）45°（2）【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据圆周角定理得到∠DOC=2∠CAD，进而证明∠D=∠DOC，根据等腰直角三角形的性质求出∠D的度数；（2）根据等腰三角形的性质求出OC，根据弧长公式计算即可．（1）连接．∵ ，∴ ，即 ．∵ ，∴ ．∵ 是⊙的切线，∴ ，即 ．∴ ． ∴ ．∴ ．（2）∵ ，，∴ ．∵ ，∴ ．∴ 的长．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．4、（1）见详解；（2）90，直径所对的圆周角是直角，BD．【分析】（1）根据作图步骤作出图形即可；（2）根据题意填空，即可求解．【详解】解：（1）如图，CH为△ABC中AB边上的高；（2）证明：∵是的直径，点，在上，∴___90_°．（__直径所对的圆周角是直角_）（填推理的依据）∴，．∴，_BD__是的两条高线．∵，所在直线交于点，∴直线也是的高所在直线．∴是中边上的高．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，BD．【点睛】本题考查了圆周角定理的推理，三角形的三条高线相交于一点等知识，熟知两个定理，并根据题意灵活应用是解题关键．5、（1），（2）．【分析】（1）根据弦AB垂直平分半径OC，OC=OB=10cm，得出OD=CD=，∠ODB=90°，根据勾股定理，可求AB=2BD=2×；（2）根据锐角三角函数定义求出cos∠DOB=，得出∠DOB=60°，利用弧长公式求出即可．【详解】解：（1）∵弦AB垂直平分半径OC，OC=OB=10cm，∴OD=CD=，∠ODB=90°，∴，∴AB=2BD=2×，故答案为；（2）cos∠DOB=，∴∠DOB=60°，∴的度数为2×60°=120°，∴．【点睛】本题考查垂直平分线性质，勾股定理，锐角三角函数，弧长，掌握垂直平分线性质，勾股定理，锐角三角函数，弧长是解题关键．