卷7-备战2022年高考数学（文）【名校好题必刷】全真模拟卷（全国卷专用）·第二辑

备战2022年高考数学（文）【名校好题必刷】全真模拟卷（全国卷专用）

第七模拟

（本卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1．（2022·云南昆明·高三期末（文））已知集合，，则（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

因为，，

所以，

故选：D

2．（2022·黑龙江·大兴安岭实验中学高三期末（文））已知复数，则的虚部为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

，

所以，的虚部为，

故选：C.

3．（2022·贵州·高三期末（文））已知x，y满足约束条件，则的最大值是（）

A．4 B．10 C．6 D．8．

【答案】C

【解析】

由题意作出可行域，如图阴影部分所示，

由可得点，

变换目标函数为，

数形结合可得，当直线过点时，取得最大值，.

故选：C.

4．（2022·四川遂宁·高三期末（文））如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A．72 B．64 C．56 D．32

【答案】A

【解析】

根据三视图可推理得知该几何体是一个长方体中挖去了一个正四棱锥剩下的几何体，

还原成直观图如图：

故该几何体的体积为.

故选：A.

5．（2022·安徽宣城·高三期末（文））已知双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上的一点，且的周长为，则双曲线的离心率的取值范围为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

设双曲线的焦距为，.

是双曲线右支上的一点，，

的周长为，,

，，，，

,，，,

双曲线的离心率的取值范围为.

故选：A

6．（2022·西藏昌都市第三高级中学高三期末（文））已知函数和都是定义在上的偶函数，当时，，则

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

因为都是定义在上的偶函数，所以，即，又为偶函数，所以，所以函数周期，

所以，故选B.

【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性，周期性，利用周期求函数值，属于中档题.

7．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一中学校高三期末（文））已知，则（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由诱导公式可得，所以，.

因此，.

故选：D.

8．（2022·四川巴中·高三期末（文））已知，，，则的大小关系为（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

，，，，故.

故选：B.

9．（2022·四川成都·高三期末（文））四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）．

A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2

C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8

【答案】C

【解析】

解：对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；

对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误；

对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差S2＞（6﹣2）2＝3.2＞2.4，

∴平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C正确；

对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，

平均数为：＝（1+2+3+3+6）＝3

方差为S2＝[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.8，可以出现点数6，故D错误．

故选：C．

10．（2022·安徽省芜湖市教育局高三期末（文））笼子中有2只鸡和2只兔，从中依次随机取出一只动物，直到4只动物全部取出.如果将两只兔子中的某一只起名为“长耳朵”，则“长耳朵”恰好是第2只被取出的动物的概率为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

把2只鸡记为，，2只兔子分别记为“长耳朵”H和短耳朵h，

则从笼中依次随机取出一只动物，直到4只动物全部取出，共有如下24种不同的取法：

，，，，，

，，，，，

，，，，，

，，，，，

其中“长耳朵”H恰好是第2只被取出的动物，则共有种不同的取法.

则“长耳朵”恰好是第2只被取出的动物的概率

故选：D

11．（2022·云南昆明·高三期末（文））设点在球的球面上，过的中点且垂直于的平面截球面得圆，圆交球于点，若，则圆的面积等于（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

如图，设球的半径为，圆的半径为，则，，因为，为的中点，所以，由勾股定理得，即，所以圆的面积为.

故选：C

12．（2022·贵州毕节·高三期末（文））若直线与曲线相切，则的最大值为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

解：设直线与曲线相切于点，

，，

可得切线的斜率为，则，所以，

又切点也在直线上，则，

，

，

设，，

，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

可得的最大值为，

即的最大值为.

故选：D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（2022·江西上饶·高三期末（文））已知a，b均为正数且满足，则，的最小值为___________.

【答案】8

【解析】

因为，

故，

当且仅当时即时等号成立，故最小值为8.

故答案为：8.

14．（2022·河南·原阳一中高三期末（文））已知向量和的夹角为150°，且，，则在上的投影为___________.

【答案】或

【解析】

由，得，

因为向量和的夹角为150°，且，

所以，得，

，

所以或，

当时，在上的投影为，

当时，在上的投影为，

综上，在上的投影为或，

故答案为：或

15．（2022·贵州贵阳·高三期末（文））在中，角A，B，C的对边a，b，c为三个连续自然数，且，则_______．

【答案】4

【解析】

a，b，c为三个连续自然数，，

由正弦定理可得，即，

，

由余弦定理可得，

，解得.

故答案为：4.

16．（2022·广西南宁·高三期末（文））已知椭圆的左、右焦点分别为、，关于原点对称的点A、B在椭圆上，且满足，若令且，则该椭圆离心率的取值范围为___________．

【答案】

【解析】

由已知可得，且四边形为矩形．

所以，

又因为，所以．

得离心率．

因为，所以，可得，

从而．

故答案为：

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（2022·云南大理·高三期末（文））已知公差不为0的等差数列满足，且成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，证明．

【解析】

（1）因为成等比数列，

所以，则，

又，所以，

又，

所以，

所以.

（2）由（1）可得，

所以，

所以数列的前项和为

.

18．（2022·西藏昌都市第三高级中学高三期末（文））为了了解A地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：

（1）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱（已知：，则认为y与x线性相关性很强；，则认为y与x线性相关性一般；，则认为y与x线性相关性较弱）；

（2）求y关于x的线性回归方程，并预测A地区2019年足球特色学校的个数（精确到个）.

参考公式：，，，，，.

【解析】

（1），

所以y与x线性相关很强；

（2），

，

y关于x的线性回归方程y=0.36x-724.76，

当x=2019时，y=2.08，

即A地区2019年特色学校208个.

19．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高三期末（文））如图，四边形为正方形，若平面，，，．

（1）在线段上是否存在点，使平面平面，请说明理由；

（2）求多面体的体积．

【解析】

（1）存在这样的点为线段靠近点的三等分点，使平面平面，

证明如下：在线段上取一点，使得，因为，所以，

所以，又因为，所以四边形是平行四边形，

又因为，所以四边形是矩形，所以，

因为四边形为正方形，所以，

因为平面平面，平面平面，面，

所以面，因为平面，所以，

因为，所以面，

因为面，所以平面平面.

（2）在中，，，

可求得，，

在中，，

过点作于点，因为平面平面，

平面平面，，面，

所以面，所以即为四棱锥的高，

所以，

所以，

，

所以多面体的体积为．

20．（2022·宁夏·银川二中高三期末（文））已知F为抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点且.

（1）求C的方程.

（2）若直线与C交于M，N两点，且与相交于点T，证明：点T在定直线上.

【解析】

（1）解：设，，由，得，

则，

从而，

解得，故的方程为.

（2）证明：设，，，.

因为，所以.

根据得，则，

同理得.

又两式相加得，

即，由于，所以.

故点在定直线上.

21．（2022·四川巴中·高三期末（文））已知函数.

（1）若曲线在点处的切线方程为，求a的值；

（2）若，证明：.

【解析】

（1），则解得

又，，可得

综上

（2）由，知

要证

即证

也即证

设，则，

再令，，

所以在上单调递增，又

则当时，，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增.

所以

所以成立，即成立.

请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22．（2022·内蒙古赤峰·高三期末（文））在平面直角坐标系中，直线过定点，过点作，垂足为.

（1）求的轨迹的参数方程；

（2）过点作轨迹的切线，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，求切线的极坐标方程.

【解析】

（1）解：点到直线距离的最大值为，

因为，所以点的轨迹是以为直径的圆，

因为的中点为，

所以点的轨迹方程为，

所以点的轨迹的参数方程为，（为参数）.

（2）解：当过点的直线斜率不存在时，满足题意，此时直线方程为；

当过点的直线斜率存在时，设方程为，即，

因为直线和圆相切，

所以，解得，此时直线方程为，

所以切线的极坐标方程为或.

23．（2022·黑龙江·大兴安岭实验中学高三期末（文））已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）已知函数的最小值为t，正实数a，b，c满足，证明：.

【解析】

（1）解：由题设，

∴要使，

由得；由得；由得；

综上，的解集为或.

（2）解：因为，

当且仅当时，取“”，所以的最小值为，即.

∵∴

∴，

∵为正实数，

当且仅当时等号成立，

∴得证.