高考数学(文数)二轮专题突破训练02《不等式、线性规划》 (教师版)

专题能力训练2　不等式、线性规划

一、能力突破训练

1.已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是(　　)

A. 

B.ln(x2+1)>ln(y2+1)

C.sin x>sin y 

D.x3>y3

2.已知函数f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递增,则f(2-x)>0的解集为(　　)

A.{x|x>2或x<-2} 

B.{x|-2<x<2}

C.{x|x<0或x>4} 

D.{x|0<x<4}

3.不等式组的解集为(　　)

A.(0,) B.(,2) 

C.(,4) D.(2,4)

4.若x,y满足则x+2y的最大值为(　　)

A.1 B.3 C.5 D.9

5.已知函数f(x)=(ax-1)(x+b),若不等式f(x)>0的解集是(-1,3),则不等式f(-2x)<0的解集是(　　)

A. 

B.

C. 

D.

6.已知不等式组表示的平面区域的面积为2,则的最小值为(　　)

A. B. C.2 D.4

7.已知x,y满足约束条件使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个,则a的值为(　　)

A.-3 B.3 C.-1 D.1

8.已知变量x,y满足约束条件若z=2x-y的最大值为2,则实数m等于(　　)

A.-2 B.-1 C.1 D.2

9.若变量x,y满足则x2+y2的最大值是(　　)

A.4 B.9 

C.10 D.12

10.若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为　　　　　. 

11.当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　. 

12.设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y=ax的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是　　　　　　　. 

二、思维提升训练

13.若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是(　　)

A. B. 

C. D.

14.设对任意实数x>0,y>0,若不等式x+≤a(x+2y)恒成立,则实数a的最小值为(　　)

A. B. 

C. D.

15.设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为8,则ab的最大值为　　　　　. 

16.若x,y满足x+1≤y≤2x,则2y-x的最小值是　　　　　. 

17.若a,b∈R,ab>0,则的最小值为　　　　　. 

18.已知存在实数x,y满足约束条件则R的最小值是　　　　　. 

专题能力训练2　不等式、线性规划

一、能力突破训练

1.D　解析 由ax<ay(0<a<1)知,x>y,故x3>y3,选D.

2.C　解析 ∵f(x)=ax2+(b-2a)x-2b为偶函数,

∴b-2a=0,即b=2a,∴f(x)=ax2-4a.∴f'(x)=2ax.又f(x)在区间(0,+∞)单调递增,∴a>0.

由f(2-x)>0,得a(x-2)2-4a>0,

∵a>0,∴|x-2|>2,解得x>4或x<0.

3.C　解析 由|x-2|<2,得0<x<4;

由x2-1>2,得x>或x<-,

取交集得<x<4,故选C.

4.D　解析 由题意画出可行域(如图).

设z=x+2y,则z=x+2y表示斜率为-的一组平行线,当过点C(3,3)时,目标函数取得最大值zmax=3+2×3=9.故选D.

5.A　解析 由f(x)>0,得ax2+(ab-1)x-b>0.

∵其解集是(-1,3),

∴a<0,且解得a=-1或,

∴a=-1,b=-3.∴f(x)=-x2+2x+3,

∴f(-2x)=-4x2-4x+3.

由-4x2-4x+3<0,得4x2+4x-3>0,

解得x>或x<-,故选A.

6.B　

解析 画出不等式组表示的区域,由区域面积为2,可得m=0.

而=1+表示可行域内任意一点与点(-1,-1)连线的斜率,所以的最小值为.故的最小值是.

7.D　解析

如图,作出可行域如图阴影部分所示,作直线l0:x+ay=0,要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个,

则将l0向右上方平移后与直线x+y=5重合,故a=1.选D.

8.C　解析 画出约束条件的可行域,

如图,作直线2x-y=2,与直线x-2y+2=0交于可行域内一点A(2,2),

由题知直线mx-y=0必过点A(2,2),

即2m-2=0,得m=1.故选C.

9.C　解析 如图,作出不等式组所表示的可行域(阴影部分),设可行域内任一点P(x,y),则x2+y2的几何意义为|OP|2.显然,当P与A重合时,取得最大值.

由解得A(3,-1).

所以x2+y2的最大值为32+(-1)2=10.故选C.

10.6　解析 作出可行域,如图阴影部分所示(包括边界).

由z=3x+2y,得y=-x+z,

作直线y=-x并向上平移,显然l过点B(2,0)时,z取最大值,zmax=3×2+0=6.

11.　解析 画出可行域如图所示,设目标函数z=ax+y,即y=-ax+z,要使1≤z≤4恒成立,则a>0,数形结合知,满足即可,解得1≤a≤.故a的取值范围是1≤a≤.

12.1<a≤3　解析 作出平面区域D如图阴影部分所示,联系指数函数y=ax的图象,

当图象经过区域的边界点C(2,9)时,a可以取到最大值3,

而显然只要a大于1,图象必然经过区域内的点,

则a的取值范围是1<a≤3.

二、思维提升训练

13.B　解析 画平面区域如图阴影部分所示.

∵两平行直线的斜率为1,

∴两平行直线与直线x+y-3=0垂直,

∴两平行线间的最短距离是AB的长度.

由得A(1,2).

由得B(2,1).

∴|AB|=,故选B.

14.A　解析 原不等式可化为(a-1)x-+2ay≥0,两边同除以y,得(a-1)+2a≥0,令t=,则(a-1)t2-t+2a≥0,由不等式恒成立知,a-1>0,Δ=1-4(a-1)·2a≤0,解得a≥,amin=,故选A.

15.2　解析

画出可行域如图阴影部分所示,目标函数变形为y=-x+,由已知,得-<0,且纵截距最大时,z取到最大值,故当直线l过点B(2,4)时,目标函数取到最大值,即2a+4b=8,因为a>0,b>0,由基本不等式,得2a+4b=8≥4,即ab≤2(当且仅当2a=4b=4,即a=2,b=1时取“=”),故ab的最大值为2.

16.3　解析 由x,y满足x+1≤y≤2x,得

作出不等式组对应的可行域,如图阴影部分所示.

由得A(1,2).

令z=2y-x,即y=x+z.

平移直线y=x,当直线过点A(1,2)时,z最小,∴zmin=2×2-1=3.

17.4　解析 ∵a,b∈R,且ab>0,

∴=4ab+≥

4.

18.2　解析

根据前三个约束条件作出可行域如图中阴影部分所示.因为存在实数x,y满足四个约束条件,得图中阴影部分与以(0,1)为圆心、半径为R的圆有公共部分,因此当圆与图中阴影部分相切时,R最小.由图可知R的最小值为2.