初中数学沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试一课一练

这是一份初中数学沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试一课一练，共32页。试卷主要包含了如图，点A，已知⊙O的半径为4，，则点A在等内容，欢迎下载使用。
沪科版九年级数学下册第24章圆定向测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，四边形ABCD内接于，若四边形ABCO是菱形，则的度数为（ ）

A．45° B．60° C．90° D．120°
2、如图，是△ABC的外接圆，已知，则的大小为（ ）

A．55° B．60° C．65° D．75°
3、在半径为6cm的圆中，的圆心角所对弧的弧长是（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
4、如图，点A、B、C在上，，则的度数是（ ）

A．100° B．50° C．40° D．25°
5、下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6、已知⊙O的半径为4，，则点A在（ ）
A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定
7、如图，，，，都是上的点，，垂足为，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
8、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（ ）

A．70° B．50° C．20° D．40°
9、如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且ABCD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（　　）

A．5 B． C． D．
10、在直径为10cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽cm，则水的最大深度为（ ）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，正方形ABCD是边长为2，点E、F是AD边上的两个动点，且AE=DF，连接BE、CF，BE与对角线AC交于点G，连接DG交CF于点H，连接BH，则BH的最小值为_______．

2、如图，点D为边长是的等边△ABC边AB左侧一动点，不与点A，B重合的动点D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是 ____．

3、如图，已知，在中，，．将绕点A逆时针旋转一个角至位置，连接BD，CE交于点F．
（I）求证：；
（2）若四边形ABFE为菱形，求的值；
（3）在（2）的条件下，若，直接写出CF的值．

4、如图，在⊙O中，＝，AB＝10，BC＝12，D是上一点，CD＝5，则AD的长为______．

5、如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，Q是优弧上一点，若∠P=40°，则∠Q的度数是________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，连接CO并延长CO与AB的延长线交于点D，连接AC．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为2，OD＝4．求线段AD的长．

2、已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转．

（1）当C转到AB边上点C′位置时，A转到A′，（如图1所示）直线CC′和AA′相交于点D，试判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）将Rt△ABC继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）将Rt△ABC旅转至A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出此时旋转角α的度数．
3、阅读下列材料，完成相应任务：如图①，是⊙O的内接三角形，是⊙O的直径，平分交⊙O于点，连接，过点作⊙O的切线，交的延长线于点．则．下面是证明的部分过程：

证明：如图②，连接，
是⊙O的直径，，
①________．（1）
为⊙O的切线，，
，（2）
由（1）（2）得，②________________．
平分．
，
③________，
．
任务：
（1）请按照上面的证明思路，补全证明过程：①________，②________，③________；
（2）若，求的长．
4、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，点C是劣弧BD的中点．

（1）求证：．
（2）若，，求BD．
5、在等边中，将线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AD．

（1）若线段DA的延长线与线段BC相交于点E（不与点B，C重合），写出满足条件的α的取值范围；
（2）在（1）的条件下连接BD，交CA的延长线于点F．
①依题意补全图形；②用等式表示线段AE，AF，CE之间的数量关系，并证明．

-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
设∠ADC=α，∠ABC=β，由菱形的性质与圆周角定理可得 ，求出β即可解决问题．
【详解】
解：设∠ADC=α，∠ABC=β；
∵四边形ABCO是菱形，
∴∠ABC=∠AOC；
∠ADC=β；
四边形为圆的内接四边形，
α+β=180°，
∴ ，
解得：β=120°，α=60°，则∠ADC=60°，
故选：B．
【点睛】
该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.
2、C
【分析】
由OA=OB，，求出∠AOB=130°，根据圆周角定理求出的度数．
【详解】
解：∵OA=OB，，
∴∠BAO=．
∴∠AOB=130°．
∴=∠AOB=65°．
故选：C．
【点睛】
此题考查了同圆中半径相等的性质，圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
3、C
【分析】
直接根据题意及弧长公式可直接进行求解．
【详解】
解：由题意得：的圆心角所对弧的弧长是；
故选C．
【点睛】
本题主要考查弧长计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．
4、C
【分析】
先根据圆周角定理求出∠AOB的度数，再由等腰三角形的性质即可得出结论．
【详解】
∵∠ACB=50°，
∴∠AOB=100°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA= 40°，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5、A
【详解】
解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，此项符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，此项不符题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，此项不符题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，此项不符题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟记中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）是解题关键．
6、C
【分析】
根据⊙O的半径r=4，且点A到圆心O的距离d=5知d>r，据此可得答案．
【详解】
解：∵⊙O的半径r=4，且点A到圆心O的距离d=5，
∴d>r，
∴点A在⊙O外，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔d＜r．
7、B
【分析】
连接OC．根据确定，，进而计算出，根据圆心角的性质求出，最后根据圆周角的性质即可求出．
【详解】
解：如下图所示，连接OC．

∵，
∴，．
∴．
∵．
∴．
∴
∵和分别是所对的圆周角和圆心角，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查垂径定理，圆心角的性质，圆周角的性质，综合应用这些知识点是解题关键．
8、D
【分析】
首先连接OA，OB，由PA，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB的度数，继而可求得答案．
【详解】
解：连接OA，OB，

∵PA，PB为⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠ACB=70°，
∴∠AOB=2∠P=140°，
∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．
故选：D．
【点睛】
此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．
9、D
【分析】
连接OF，OE，OG，根据切线的性质及角平分线的判定可得OB平分，OC平分，利用平行线的性质及角之间的关系得出，利用勾股定理得出，再由三角形的等面积法即可得．
【详解】
解：连接OF，OE，OG，

∵AB、BC、CD分别与相切，
∴，，，且，
∴OB平分，OC平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴SΔOBC=12OB·OC=12BC·OF，
∴，
故选：D．
【点睛】
题目主要考查圆的切线性质，角平分线的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
10、B
【分析】
连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
【详解】
解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：

∵AB=8cm，
∴BD=AB=4（cm），
由题意得：OB=OC==5cm，
在Rt△OBD中，OD=（cm），
∴CD=OC-OD=5-3=2（cm），
即水的最大深度为2cm，
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
二、填空题
1、##
【分析】
延长AG交CD于M，如图1，可证△ADG≌△DGC可得∠GCD=∠DAM，再证△ADM≌△DFC可得DF=DM=AE，可证△ABE≌△ADM，可得H是以AB为直径的圆上一点，取AB中点O，连接OD，OH，根据三角形的三边关系可得不等式，可解得DH长度的最小值．
【详解】
解：延长AG交CD于M，如图1，

∵ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠BDC，
∵AD=CD，∠ADB=∠BDC，DG=DG，
∴△ADG≌△DGC，
∴∠DAM=∠DCF且AD=CD，∠ADC=∠ADC，
∴△ADM≌△CDF，
∴FD=DM且AE=DF，
∴AE=DM且AB=AD，∠ADM=∠BAD=90°，
∴△ABE≌△DAM，
∴∠DAM=∠ABE，
∵∠DAM+∠BAM=90°，
∴∠BAM+∠ABE=90°，即∠AHB=90°，
∴点H是以AB为直径的圆上一点．
如图2，取AB中点O，连接OD，OH，

∵AB=AD=2，O是AB中点，
∴AO=1=OH，
在Rt△AOD中，OD=，
∵DH≥OD-OH，
∴DH≥-1，
∴DH的最小值为-1，
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是证点H是以AB为直径的圆上一点．
2、
【分析】
根据题意作等边三角形的外接圆，当点运动到的中点时，四边形ADBC的面积S的最大值，分别求出两个三角形的面积，相加即可．
【详解】
解：根据题意作等边三角形的外接圆，

D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，
在圆上运动，
当点运动到的中点时，四边形ADBC的面积S的最大值，
过点作的垂线交于点，如图：

，
，
，
在中，
，
解得：，
，
过点作的垂线交于，

，
，
，
，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了等边三角形，外接圆、勾股定理、动点问题，解题的关键是，作出图象及掌握圆的相关性质．
3、（1）见解析；（2）120°；（3）
【分析】
（1）根据旋转的性质和全等三角形的判定解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质求得∠ABD=90°－，∠BAE=+30°，根据菱形的邻角互补求解即可；
（3）连接AF，根据菱形的性质和全等三角形的性质可求得∠FAC=45°，∠FCA=30°，过F作FG⊥AC于G，设FG=x，根据等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】
解：（1）由旋转得：AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=，
∵AB=AC，
∴AB=AC=AD=AE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）∵AB=AD，∠BAD=，∠BAC=30°，
∴∠ABD=（180°－∠BAD）÷2=（180°－）÷2=90°－，∠BAE=+30°，
∵四边形ABFE是菱形，
∴∠BAE+∠ABD=180°，即+30°+90°－=180°，
解得：=120°；
(3)连接AF，
∵四边形ABFE是菱形，∠BAE=+30°=150°，
∴∠BAF=∠BAE=75°，又∠BAC=30°，
∴∠FAC=75°－30°=45°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠FCA=∠ABD=90°－=30°，
过F作FG⊥AC于G，设FG=x，
在Rt△AGF中，∠FAG=45°，∠AGF=90°，
∴∠AFG=∠FAG=45°，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∴AG=FG=x，
在在Rt△AGF中，∠FCG=30°，∠FGC=90°，
∴CF=2FG=2x，，
∵AC=AB=2，又AG+CG=AC，
∴，
解得：，
∴CF=2x= ．

【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、旋转的性质、菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形的内角和定理、解一元一次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
4、3
【分析】
过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AD于F，根据圆周角定理可得∠ACB=∠B=∠D，AB=AC=10，再由等腰三角形的性质可知BE=CE=6，根据相似三角形的判定证明△ABE∽△CDF，由相似三角形的性质和勾股定理分别求得AE、DF、CF， AF即可求解．
【详解】
解：过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AD于F，则∠AEB=∠CFD=90°，
∵＝， AB＝10，
∴∠ACB=∠B=∠D，AB=AC=10，
∵AE⊥BC，BC=12，
∴BE=CE=6，
∴，
∵∠B=∠D，∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE∽△CDF，
∴，
∵AB=10，CD=5，BE=6，AE=8，
∴，
解得：DF=3，CF=4，
在Rt△AFC中，∠AFC=90°，AC=10，CF=4，
则，
∴AD=DF+AF=3＋2，
故答案为：3＋2．

【点睛】
本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解答的关键．
5、70°度
【分析】
连接OA、OB，根据切线性质可得∠OAP=∠OBP=90°，再根据四边形的内角和为360°求得∠AOB，然后利用圆周角定理求解即可．
【详解】
解：连接OA、OB，
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，又∠P=40°，
∴∠AOB=360°－90°－90°－40°=140°，
∴∠Q=∠AOB=70°，
故答案为：70°．

【点睛】
本题考查切线性质、四边形内角和为360°、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理是解答的关键．
三、解答题
1、（1）见解析；（2）4
【分析】
（1）连接OB，证明△AOB≌△AOC（SSS），可得∠ACO＝∠ABO＝90°，即可证明AC为⊙O的切线；
（2）在Rt△BOD中，勾股定理求得BD，根据sinD＝＝，代入数值即可求得答案
【详解】
解：（1）连接OB，

∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
即∠ABO＝90°，
∵BC是弦，OA⊥BC，
∴CE＝BE，
∴AC＝AB，
在△AOB和△AOC中，
，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠ACO＝∠ABO＝90°，
即AC⊥OC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）在Rt△BOD中，由勾股定理得，
BD＝＝2，
∵sinD＝＝，⊙O半径为2，OD＝4．
∴＝，
解得AC＝2，
∴AD＝BD+AB＝4．
【点睛】
本题考查了切线的性质与判定，正弦的定义，三角形全等的性质与判定，勾股定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键．
2、
（1），证明见解析
（2）成立，证明见解析
（3）
【分析】
（1）设，先根据直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，，都是等边三角形，从而可得，由此即可得出结论；
（2）在上截取，连接，先根据旋转的性质可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质可得，最后根据等腰三角形的判定可得，由此即可得出结论；
（3）如图（见解析），先根据旋转的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理证出，然后根据全等三角形的性质可得，最后根据旋转角即可得．
（1）
解：，证明如下：
设，
在中，，
，
由旋转的性质得：，
，和都是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
；
（2）
解：成立，证明如下：
如图，在上截取，连接，

由旋转的性质得：，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
；
（3）
解：如图，当点三点在一条直线上时，

由旋转的性质得：，
，
在和中，，
，
，
则旋转角．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
3、（1），，；（2）
【分析】
（1）由是⊙O的直径，得到∠ODB．再由为⊙O的切线，得到，即可推出∠ODA=∠BDE，由角平分线的定义可得，由，得到，即可证明；
（2）在直角△ODE中利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）如图②，连接，
是⊙O的直径，
，
∠ODB．（1）
为⊙O的切线，
，
，（2）
由（1）（2）得，∠ODA=∠BDE．
平分，
∴．
，

∠ODA，
．

故答案为：① ，② ，③ ；
（2）为的切线，
．
，
，
，
．
在中，
．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握切线的性质．
4、（1）见详解；（2）
【分析】
（1）由题意及垂径定理可知AC垂直平分BD，进而问题可求解；
（2）由题意易得，然后由（1）可知△ABD是等边三角形，进而问题可求解．
【详解】
（1）证明：∵AC是直径，点C是劣弧BD的中点，
∴AC垂直平分BD，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴△ABD是等边三角形，
∵，
∴．
【点睛】
本题主要考查垂径定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握垂径定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理是解题的关键．
5、（1）；（2）①见解析；②AE=AF+CE，证明见解析．
【分析】
（1）根据“线段DA的延长线与线段BC相交于点E”可求解；
（2）①根据要求画出图形，即可得出结论；②在AE上截取AH=AF，先证△AFD≌△AHC，再证∠CHE=∠HCE，即可得出结果．
【详解】
（1）如图：AD只能在锐角∠EAF内旋转符合题意

故α的取值范围为：；
（2）补全图形如下：

（3）AE=AF+CE，
证明：在AE上截取AH=AF，由旋转可得：AB=AD，
∴∠D=∠ABF，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
∴AD=AC，
∵∠DAF=∠CAH，
∴△AFD≌△AHC，
∴∠AFD=∠AHC，∠D=∠ACH，
∴∠AFB=∠CHE，
∵∠AFB+∠ABF=∠ACH+∠HCE=60°，
∴∠CHE+∠D=∠D+∠HCE=60°，
∴∠CHE=∠HCE，
∴CE=HE，
∴AE=AH+HE=AF+CE．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，等边三角形性质及应用，解题的关键是正确画出图形和作出辅助线．