福建省南安市柳城中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

2020-2021学年柳城中学高二春季期中考试数学试卷

班级：___________   姓名：___________   座号：___________   成绩：___________

一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分，在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同的选法的种数是（    ）

A．56 B．65 C．30 D．11

2．若将9名会员分成三组讨论问题，每组3人，则不同的分组方法种数有（    ）

A．          B．          C．          D．

3．横峰中学高二某班准备举办一场“互动沙龙”，要求从6位男嘉宾，2位女嘉宾中随机选出4位嘉宾进行现场演讲，且女嘉宾至少要选中1位，如果2位女嘉宾同时被选中，她们的演讲顺序不能相邻，那么不同演讲顺序的种数是（    ）

A．1860 B．1320 C．1140 D．1020

4．在某电视台有一闯关节目，该节目设置有两关，闯关规则是：当第一关闯关成功后，方可进入第二关.为了调查闯关的难度，该电视台调查了参加过此节目的名选手的闯关情况，第一关闯关成功的有人，第一关闯关成功且第二关闯关也成功的选手有人，以闯关成功的频率近似作为闯关成功的概率，已知某个选手第一关闯关成功，则该选手第二关闯关成功的概率为（    ）

A． B． C． D．

5．已知随机变量的分布列是

则（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

7．的二项展开式中，奇数项的系数和为（    ）

A． B． C． D．

8．已知展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则展开式中常数项为（    ）

A．-14 B．-13 C．1 D．2

二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分；每题有两项或两项以上是符合题目要求的，漏选得2分，多选或错选不得分）

9．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有（    ）

A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是

B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为

C．从中不放回的取球2次，每次任取1球，在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为

D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为

10．一组数据的平均值为7，方差为4，记的平均值为a，方差为b，则（    ）

A．a=7 B．a=11 C．b=12 D．b=9

11．“杂交水稻之父”袁隆平致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出杰出贡献．某水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度函数为，则下列说法正确的是（    ）

A．该地水稻的平均株高为       B．该地水稻株高的方差为10

C．该地水稻株高在以上的数量和株高在以下的数量一样多

D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：）的概率一样大

12．若，且，则下列结论正确的是（    ）

A．         B．展开式中二项式系数和为

C．展开式中所有项系数和为

D．

三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13．二项式的展开式中的系数是________，二项式系数之和为________．

14．已知，则曲线在处的切线方程为___________．

15．如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，则既有上珠又有下珠的概率为__________．

16．已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为________.

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（本题10分）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.

（1）选5人排成一排；

（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；

（3）全体排成一排，女生必须站在一起；

（4）全体排成一排，男生互不相邻；

（5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边.

18．（本题12分）在的展开式中.求：

（1）所有项的系数和；

（2）的系数；

（3）系数最大的项.

19．（本题12分）已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值．

（1）求的解析式；

（2）求在上的最大值和最小值．

20．（本题12分）社科院发布了年度“全国城市居民幸福排行榜”，北京市成为本年度最“幸福城”.随后，某师大附中学生会组织部分同学，用“分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度，现从调查人群中随机抽取名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后一位数字为叶).

（1）指出这组数据的众数和中位数；

（2）若幸福度不低于分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这人中随机选取人，至多有人是“极幸福”的概率；

（3）以这人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数众多)任选人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列、数学期望及方差.

21．（本题12分）疫情防控期间，为了让大家有良好的卫生习惯某校组织了健康防护的知识测试（百分制）活动，活动结束后随机抽取了名学生的成绩，并计算得知这个学生的平均成绩为，其中个低分成绩分别是、、、、；而产生的个高分成绩分别是、、、、、、、、、．

（1）为了评估该校的防控是否有效，以样本估计总体，将频率视为概率，若该校学生的测试得分近似满足正态分布（和分别为样本平均数和方差），则认为防控有效，否则视为效果不佳．经过计算得知样本方差为，请判断该校的疫情防控是否有效，并说明理由．（参考数据：）规定：若，，则称变量“近似满足正态分布的概率分布”．

（2）学校为了鼓励学生对疫情防控的配合，决定对分及以上的同学通过抽奖的方式进行奖励，得分低于分的同学只有一次抽奖机会，不低于分的同学有两次抽奖机会．每次抽奖获得元奖金的概率是，获得元的概率是．现在从这个高分学生中随机选一名，记其获奖金额为，求的分布列和数学期望．

22．（本题12分）小张举办了一次抽奖活动.顾客花费3元钱可获得一次抽奖机会.每次抽奖时，顾客从装有1个黑球，3个红球和6个白球（除颜色外其他都相同）的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客中一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为元，10元，5元，1元.若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色分成以下五种情况：个黑球2个红球；个红球；恰有1个白球；恰有2个白球；个白球，且小张计划将五种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖.

（1）通过计算写出中一至四等奖分别对应的情况（写出字母即可）；

（2）已知顾客摸出的第一个球是红球，求他获得二等奖的概率；

（3）设顾客抽一次奖小张获利元，求变量的分布列；若小张不打算在活动中亏本，求的最大值.

2020-2021学年柳城中学高二春季期中考试数学试卷

《参考答案》

1．A   解析：第一名同学有5种选择方法，第二名也有5种选择方法，…，依次选择，第六名同学也有5种选择方法，综上，6名同学共有56种不同的选法．

2．C   解析：由于三组之间没有区别，且是平均分组，故共有种分组方法，

3．C   解析：由题意可知分为两类：

第一类，2位女嘉宾只有一位被选中，则还需从6位男嘉宾里选出3位，然后全排列，

所以不同的演讲顺序有，

第二类，2位女嘉宾同时被选中，则还需从6位男嘉宾里选出2位，

所以2位女嘉宾的演讲顺序不相邻的不同演讲顺序有，

综上，不同的演讲顺序的种数是，

4．C   解析：第一关闯关成功的选手有人，则第一关闯关成功的频率为，

第一关闯关成功且第二关闯关也成功的选手有人，则两关都成功的频率为．

设“第一关闯关成功”为事件，“第二关闯关成功”为事件，

，，某个选手第一关闯关成功，

则该选手第二关闯关成功的概率为.

5．C   解析：由分布列的性质可得，得，所以，，

因此，.

6．C   解析：由函数的图象可知：

当时，，，此时单调递增；

当时，，，此时单调递减；

当时，，，此时单调递减；

当时，，，此时单调递增．

7．C   解析：设，

令可得，

令可得，

两式相加可得：，

所以奇数项系数之和为，

8．B   解析：由条件可知，，所以，

则，其中常数项分为两部分，的常数项是，的常数项是中含项的系数，，所以常数项是.

9．ABD   解析：A.恰有一个白球的概率，故A正确；

B.每次任取一球，取到红球次数X～B，其方差为，故B正确；

C．设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．则P(A)＝，P(A∩B)＝，所以P(B|A)＝，故C错误；

D．每次取到红球的概率P＝，所以至少有一次取到红球的概率为，故D正确．

10．BD   解析：的平均值为7，方差为4，

设，

，得E(X)=3，D(2X+1)=4D(X)=4，则D(X)=1，

的平均值为a，方差为b，

a=E(3X+2)=3E(X)+2=11，   b=D(3X+2)=9D(X)=9.

11．AC   解析：因为密度函数为，

所以，即均值为100，标准差为10，方差为100，故A正确，B错误；

根据正态曲线的特征可知C正确，D错误．

12．ACD   解析：对于A，令，可得，

即，

即，（1）

令，得，即，（2）

由于的展开式中，所以，（3）

所以（1）-（2）-（3）得：，

而，

所以，解得：，故A正确；

对于B，由于，则，

所以展开式中二项式系数和为，故B错误；

对于C，由于，则的所有项系数为

，故C正确；

对于D，由于，则，

等式两边求导得：，

令，则，故D正确.

13．280    128   

解析：展开式的第项为，

故令，即，  所以的系数为．

二项式系数和

14．

解析：易知，则，又，

∴曲线在处的切线方程为，即.

15．

解析：设事件表示“从一档的7颗算珠中任取3颗，既有上珠又有下珠”，

所以．

16．

解析：设，则，

因为，所以，故函数是上的单调递减函数，

又因为，所以，

则可化为，即，

根据函数的单调性，可得.   故不等式的解集为.

17．（1）2520；（2）5040；（3）576；（4）1440；（5）3600;（6）3720

解析：（1）从7人中选5人排列，有＝7×6×5×4×3＝2 520(种).

（2）分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有种方法，共有＝5 040(种).

（3）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有种方法，再将女生全排列，有种方法，共有＝576(种).

（4）先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有种方法，共有＝1 440(种).

（5）法一　(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有种排列方法，共有5×＝3 600(种).

法二　(特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人，有种排法，其他有种排法，共有＝3 600(种).

18．（1）；（2）；（3）.

解析：（1）令，该展开式中所有项的系数和为.

（2）该展开式的通项公式为，，

令，解得，

故的系数为.

（3）设第项的系数最大，

则，解得，

又，所以，  故该展开式中系数最大的项为.

19．（1）；（2）最大值为8，最小值为．

解析：（1）由题意可得，．

由解得

经检验得时，有极大值．  所以．

（2）由（1）知，．

令，得，，

，的值随的变化情况如下表：

由表可知在上的最大值为8，最小值为．

20．（1）众数为，中位数为8.75；（2）；（3）分布列见解析，0.75，.5625.

解析：（1）众数为，中位数为；

（2）设(、、、)表示所取人中有个人是“极幸福”，

至多有人是“极幸福”记为事件，

则；

（3）的所有可能取值为、、、，则，

，，

，，

的分布列为：

，.

21．（1）该校的疫情防控是有效的，理由见解析；（2）分布列见解析，87.5.

解析：（1）据该校的疫情防控是有效的，理由如下：

，，，

，，

得分小于分的学生有个，得分大于分的有个，

，

学生的得分都在间，．

学生得分近似满足正态分布的概率分布，因此该校的疫情防控是有效的；

（2）设这名同学获得的奖金为，则的可能值为、、、，

，，

，，

故的分布列为：

．

22．(1)中一至四等奖分别对应的情况是.(2);(3)194.

解析：（1）；，，

，

，

中一至四等奖分别对应的情况是.

（2）记事件为顾客摸出的第一个球是红球，事件为顾客获得二等奖，则.

（3）的取值为，则分布列为

由题意得，若要不亏本，则，

解得，即的最大值为194.