福建省莆田第七中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题（艺术班）（含答案）

莆田七中2020-2021学年高二（下）数学期中考试卷（3班）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．下列求导运算正确的是( )

A.′＝1＋　      B．(log2x)′＝

      C．(3x)′＝3xlog3e        D．(x2cos x)′＝－2xsin x

2．设z=–3+2i，则在复平面内对应的点位于

A．第一象限                         B．第二象限   

C．第三象限                         D．第四象限

3. 复数的虚部是（   ）

A.     B.       C.     D.

4. 若，则（   ）

A.       B.       C.      D.      

5．函数f(x)＝x3－3x2＋1是减函数的区间为( )

A．(2，＋∞)　　 B．(－∞，2)　　 C．(0，2)　　D．(－∞，0)

6．若y＝ln x，则其图象在x＝2处的切线斜率是(　　)

A．1    B．0        C．2    D.

7．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝( )

A．2          B．3         C．4           D．5

8．曲线y＝xex＋1在点(0,1)处的切线方程是(　　)

A．x－y＋1＝0       B．2x－y＋1＝0 

C．x－y－1＝0       D．x－2y＋2＝0

9．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　)

A．1个　　　B．2个  

C．3个      D．4个

10．过点(－1，0)作抛物线y＝x2＋x＋1的切线，则其中一条切线为(   )

A．2x＋y＋2＝0      B．3x－y＋3＝0  

C．x＋y＋1＝0      D．x－y＋1＝0

11．设f ′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f ′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的图像最有可能的是(　　)

12．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝处有极值，则ac＋2b的值为(  )

A．－3      B．0      C．1      D．3

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)

13．y＝xcosx在x＝处的导数值是__________．

14. 若，则              

15．设z=i(2+i)，则=                  

16．已知函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是____．

莆田七中20-21学年高二（下）数学期中考试卷答题卡（3班）

编者： 郭国辉，审核：高二备课组.班级_____座号_______姓名______    _考室      考号  

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

二、填空题

13、                                  14、                     

15、                               16、                     

三、解答题(本大题共6小题，共70分.  解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)求函数f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]的最值．

18．(12分)某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2 500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)＝200x＋x3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？

19．(12分)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1处取得极值－2，试用c表示a和b，并求f(x)的单调区间．

20．(12分)直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，求a的取值范围

21．(12分)已知函数f(x)＝(a∈R)．(1)若函数f(x)图象上点P(1，m)处的切线方程为3x－y＋b＝0，求m的值；(2)若函数f(x)在(1，2)内是增函数，求a的取值范围．

22．(12分)已知函数f(x)＝x2－aln x(a∈R)．

(1)求f(x)的单调区间；(2)当x＞1时，x2＋ln x＜x3是否恒成立，并说明理由．

莆田七中2020-2021学年（下）高二（3）（艺术班）期中考试数学科参考答案

1-12:BCDD CDDA ADCA.

13：       14: 2        15： -1-2i     16：或

17解析：f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3＞0，

∵f′(x)在[－1，1]内恒大于0，

∴f′(x)在[－1，1]上为增函数．

故x＝－1时，f(x)min＝－12；

x＝1时，f(x)max＝2.

即f(x)的最小值为－12，最大值为2.

18解析：设该厂生产x件这种产品利润为L(x)

则L(x)＝500x－2 500－C(x)

＝500x－2 500－

＝300x－x3－2 500(x∈N)

令L′(x)＝300－x2＝0，得x＝60(件)

又当0≤x<60时，L′(x)>0

x>60时，L′(x)<0

所以x＝60是L(x)的极大值点，也是最大值点．

所以当x＝60时，L(x)＝9 500元．

答：要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，

最大利润为9 500元．

19解析：依题意有f(1)＝－2，f′(1)＝0，

而f′(x)＝3x2＋2ax＋b，

故解得

从而f′(x)＝3x2＋2cx－(2c＋3)＝

(3x＋2c＋3)(x－1)．

令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－.

由于f(x)在x＝1处取得极值，

故－ ≠ 1，即c ≠ －3.

(1)若－ < 1，即c > －3，

则当x∈时，f′(x)＞0；

当x∈时，f′(x)＜0；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.

从而f(x)的单调增区间为和[1，＋∞)；单调减区间为.

(2)若－＞1，即c＜－3，同上可得，f(x)的单调增区间为，；单调减区间为.

20[解析]　f ′(x)＝3x2－3，由3x2－3＝0得x＝1或－1，

当x<－1，或x>1时，f ′(x)>0，f(x)单调增；

当－1<x<1时，f ′(x)<0，f(x)单调减．

∴x＝－1时，f(x)取到极大值f(－1)＝2，x＝1时，f(x)取到极小值f(1)＝－2，∴欲使直线y＝a与函数f(x)的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围－2<a<2.

21.解析：(1)∵f(x)＝x3－2ax2－3x，

∴f′(x)＝2x2－4ax－3.

则过P(1，m)的切线斜率为

k＝f′(1)＝－1－4a.

又∵切线方程为3x－y＋b＝0，

∴－1－4a＝3.即a＝－1.

∴f(x)＝x3＋2x2－3x.

∵P(1，m)在f(x)的图象上，∴m＝－.

(2)∵函数f(x)在(1，2)内是增函数，

∴f′(x)＝2x2－4ax－3≥0对于一切x∈(1，2)恒成立，即4ax≤2x2－3，∴a≤－，

由于－在(1，2)上单调递增，

∴－∈，即a≤－.

∴a的取值范围是.

22解析：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，

由题意得f′(x)＝x－(x＞0)，

∴当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．

当a＞0时，f′(x)＝x－＝＝.

∴当0＜x＜时，f′(x)＜0，

当x＞，f′(x)＞0.

∴当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)．

(2)设g(x)＝x3－x2－ln x(x＞1)

则g′(x)＝2x2－x－.

∵当x＞1时，g′(x)＝＞0，

∴g(x)在(1，＋∞)上是增函数．

∴g(x)＞g(1)＝＞0.

即x3－x2－ln x＞0，

∴x2＋ln x＜x3，

故当x＞1时，x2＋ln x＜x3恒成立．