山西省长治市第二中学校2020-2021学年高二下学期期中考试数学（文）试卷（含答案）

这是一份山西省长治市第二中学校2020-2021学年高二下学期期中考试数学（文）试卷（含答案），共8页。

命题人：
【满分150分，考试时间120分钟】
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．点的直角坐标为，则点的极坐标可以为
A． B． C． D．
2．已知变量,具有线性相关关系，测得的一组数据如下：(0,1),(1,2),(2,4),(3,5),其回归方程为，则的值等于
A．0.9 B．0.8 C．0.6 D．0.2
3．在极坐标系中，已知两点，，则等于
A． B． C． D．4
4．将参数方程(为参数)化为普通方程为
A． B． C．() D．()
5．函数的最小值为
A． B． C． D．
6．直线(为参数)和圆交于两点，则的中点坐标为
A． B． C． D．
7．在参数方程(为参数)表示的曲线上的一个点的坐标是
A． B． C． D．
8．对于上可导的一个函数，若对于任意实数都有，则必有
A． B．
C． D．
9．参数方程(为参数)表示的曲线是
A．线段 B．双曲线 C．圆 D．圆的一部分
10．是定义在上的非负可导函数，且满足，对于任意正实数，若，则必有
A．B． C． D．
11．直线(为参数)上与点的距离等于的点的坐标是
A． B． C．或 D．或
12．已知函数，，若对于，成立，则的最大值为
A． B． C．1 D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．平面直角坐标系中以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，其中极坐标方程对应的直角坐标方程是 .
14．已知点在曲线(为参数)上，则的取值范围是 .
15．过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，则 .
16．已知函数，其中.若对任意实数，都有，则正数的取值范围是 .
三、解答题：本大题共70分
17．(本题满分10分)
网购是现在比较流行的一种购物方式，现随机调查50名个人收入不同的消费者是否喜欢网购，调查结果表明：在喜欢网购的30人中有20人是低收入的人，在不喜欢网购的20人中有10人是低收入的人．
（1）试根据以上数据完成如下列联表；
（2）判断能否有90%的把握认为“是否喜欢网购与个人收入高低有关系”？
参考公式：，其中.
参考数据：
18．(本题满分12分)
在直角坐标系中，圆经过伸缩变换后得到曲线以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程及直线的直角坐标方程；
（2）设点是上一动点，求点到直线的距离的最大值．
19．(本题满分12分)
已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求在区间上的零点个数．
20．(本题满分12分)
在直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．
求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于两点，且，求直线的倾斜角．
21．(本题满分12分)
某企业为了提升行业核心竞争力，逐渐加大了科技投入.该企业连续6年来的科技投入(百万元)与收益(百万元)的数据统计如下：
根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理，如下表：
其中，
（1）(ⅰ)请根据表中数据，建立关于的回归方程(保留一位小数)；
(ⅱ)根据所建立的回归方程，若该企业想在下一年的收益达到2亿，则科技投入的费用至少要多少？(其中)
（2）乙认为样本点分布在二次曲线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲、乙两位员工所建立的模型，谁的拟合效果更好．
附：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计为，.
相关指数
22．(本题满分12分)
已知函数，其中.
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：存在实数，使得函数在区间上有唯一零点．
数学答案（文科）
一、选择题：
1–5：BACCD 6–10：DCBBA 11–12：CD
二、填空题：
⒔ ⒕ ⒖ ⒗
三、解答题：
⒘⑴22列联表如下：
………………………………………………………………………………………5分
⑵计算的观测值，故没有90%的把握认为“是否喜欢网购与个人收入高低有关系”.………………………………………10分
⒙⑴由经过伸缩变换可得曲线的方程为，
即，由极坐标方程，可得直线的直角坐标方程为
……………………………………………………………………6分
⑵因为椭圆的参数方程为(为参数)，所以可设点，
由点到直线的距离公式，点到直线的距离为
(其中)，由三角函数性质知，当时，
点到直线的距离有最大值…………………………………………12分
⒚⑴因为，所以，
因为，，由直线的点斜式可得：曲线在点处
的切线方程为…………………………………………………4分
⑵由⑴知，.
当时，，则，函数单调递增；
当时，，则，函数单调递减.
所以，，结合
零点存在定理知在区间上恰好有2个零点.………………12分
⒛⑴因为直线的参数方程为(为参数)，
当时，直线的直角坐标方程为
当时，直线的直角坐标方程为……3分
因为，，，由可得
所以曲线的直角坐标方程为……………6分
⑵曲线的直角坐标方程为，
将直线的参数方程代入曲线的方程整理，得
因为，可设该方程的两个根为，
则，，…………………9分
所以
整理得，故
因为，所以或，解得或，
综上所述，直线的倾斜角为或.…………………………………12分
⑴(ⅰ)，令；令，
则，根据最小二乘法公式可知：
从而，
故回归方程为，也即………………………5分
(ⅱ)设，解得，
所以科技投入的费用至少要13.2百万元.………………………………………7分
⑵因为，从而
即甲建立的回归模型拟合效果更好.…………………12分
⑴，
令，.
若，即，则，，在区间上单调递增.
若，即，则有两个实根.
当时，，，在区间上单调递增；
当时，，，在区间上单调递减；
当时，，，在区间上单调递增.………4分
⑵由⑴及可知，若满足题意的实数存在，当且仅当极大值时符合要
求，此时即是在区间上的唯一零点,
于是问题转化为：方程组①有解，满足，且实数存在.
由①消去整理得到：②.设，则，当，，单调递减；当，，单调递增.在区间上有唯一极小值，结合，以及
可知在区间上有唯一零点，即②在区间上有唯一零点.从而由①知，命题得证.……………………12分
喜欢网购
不喜欢网购
总计
低收入的人
高收入的人
总计
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
科技投入
2
4
6
8
10
12
收益
5.6
6.5
12.0
27.5
80.0
129.2
43.5
4.5
298.5
34.7
12730.4
70.0
喜欢网购
不喜欢网购
总计
低收入的人
20
10
30
高收入的人
10
10
20
总计
30
20
50