2023届高考一轮复习讲义（理科）第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 第8讲　高效演练分层突破学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 第8讲　高效演练分层突破学案，共8页。

A．0.6 B．0.4
C．0.3 D．0.2
解析：选A.由P(ξ＜4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2.
又正态曲线关于x＝2对称，则P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，所以P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6.
2．口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为( )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(2,3)
C．2 D．eq \f(8,3)
解析：选D.因为口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，所以取出的球的最大编号X的可能取值为2，3，所以P(X＝2)＝eq \f(1,Ceq \\al(2,3))＝eq \f(1,3)，P(X＝3)＝eq \f(Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,1),Ceq \\al(2,3))＝eq \f(2,3)，所以E(X)＝2×eq \f(1,3)＋3×eq \f(2,3)＝eq \f(8,3).
3．(2020·广东茂名一模)设X～N(1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么从正方形ABCD中随机取10 000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是( )
(注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σA．7 539 B．6 038
C．7 028 D．6 587
解析：选D.因为X～N(1，1)，所以μ＝1，σ＝1，μ＋σ＝2，μ－σ＝0，因为P(μ－σ4．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是( )
A．6，2.4 B．2，2.4
C．2，5.6 D．6，5.6
解析：选B.由已知随机变量X＋η＝8，所以η＝8－X.
因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，
D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.
5．某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为eq \f(2,3).如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是( )
A．3 B．eq \f(8,3)
C．2 D．eq \f(5,3)
解析：选B.在一轮投篮中，甲通过的概率为P＝eq \f(8,9)，未通过的概率为eq \f(1,9).由题意可知，甲3个轮次通过的次数X的可能取值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))eq \s\up12(3)＝eq \f(1,729)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,9)))eq \s\up12(1)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))eq \s\up12(2)＝eq \f(24,729)＝eq \f(8,243)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,9)))eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))eq \s\up12(1)＝eq \f(192,729)＝eq \f(64,243)，
P(X＝3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,9)))eq \s\up12(3)＝eq \f(512,729).
所以随机变量X的分布列为
数学期望E(X)＝0×eq \f(1,729)＋1×eq \f(8,243)＋2×eq \f(64,243)＋3×eq \f(512,729)＝eq \f(8,3).
6．若随机变量ξ的分布列如下表所示，E(ξ)＝1.6，则a－b＝________．
解析：易知a，b∈[0，1]，由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8，又由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.
答案：－0.2
7．已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(100，4)，现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98，104]内的产品估计有________件．
(附：若X服从N(μ，σ2)，则P(μ－σ解析：由题意可得，该正态分布的对称轴为x＝100，且σ＝2，则质量在[96，104]内的产品的概率为P(μ－2σ答案：8 186
8．某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动．参选的志愿者回答三个问题，其中两个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设ξ为回答正确的题数，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________．
解析：由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3.
P(ξ＝0)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,12)，
P(ξ＝1)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(5,12)，
P(ξ＝2)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(4,12)，
P(ξ＝3)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,12).
所以E(ξ)＝0×eq \f(2,12)＋1×eq \f(5,12)＋2×eq \f(4,12)＋3×eq \f(1,12)＝eq \f(4,3).
答案：eq \f(4,3)
9．已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要对6只小白鼠进行病毒DNA化验来确定哪一只受到了感染．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染病毒的小白鼠为止．方案乙：将6只小白鼠分为两组，每组三只，将其中一组的三只小白鼠的待化验物质混合在一起化验，若化验结果显示含有病毒DNA，则表明感染病毒的小白鼠在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染病毒的小白鼠为止；若化验结果显示不含病毒DNA，则在另外一组中逐个进行化验．
(1)求执行方案乙化验次数恰好为2次的概率；
(2)若首次化验的化验费为10元，第二次化验的化验费为8元，第三次及以后每次化验的化验费都是6元，求方案甲所需化验费的分布列和期望．
解：(1)执行方案乙化验次数恰好为2次的情况分两种：第一种，先化验一组，结果显示不含病毒DNA，再从另一组中任取一只进行化验，其恰含有病毒DNA，此种情况的概率为eq \f(Ceq \\al(3,5),Ceq \\al(3,6))×eq \f(1,Ceq \\al(1,3))＝eq \f(1,6)；第二种，先化验一组，结果显示含病毒DNA，再从中逐个化验，恰好第一只含有病毒，此种情况的概率为eq \f(Ceq \\al(2,5),Ceq \\al(3,6))×eq \f(1,Ceq \\al(1,3))＝eq \f(1,6).
所以执行方案乙化验次数恰好为2次的概率为eq \f(1,6)＋eq \f(1,6)＝eq \f(1,3).
(2)设用方案甲化验需要的化验费为η(单位：元)，则η的可能取值为10，18，24，30，36.
P(η＝10)＝eq \f(1,6)，
P(η＝18)＝eq \f(5,6)×eq \f(1,5)＝eq \f(1,6)，
P(η＝24)＝eq \f(5,6)×eq \f(4,5)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,6)，
P(η＝30)＝eq \f(5,6)×eq \f(4,5)×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,6)，
P(η＝36)＝eq \f(5,6)×eq \f(4,5)×eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，
则化验费η的分布列为
所以E(η)＝10×eq \f(1,6)＋18×eq \f(1,6)＋24×eq \f(1,6)＋30×eq \f(1,6)＋36×eq \f(1,3)＝eq \f(77,3)(元)．
10．某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况，现从产品中随机抽取了80个零件进行测量，根据测量的数据作出如图所示的频率分布直方图．
注：尺寸数据在[63.0，64.5)内的零件为合格品，频率作为概率．
(1)从产品中随机抽取4个，记合格品的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望；
(2)从产品中随机抽取n个，全是合格品的概率不小于0.3，求n的最大值；
(3)为了提高产品合格率，现提出A，B两种不同的改进方案进行试验．若按A方案进行试验后，随机抽取15个产品，不合格品个数X的期望是2；若按B方案进行试验后，随机抽取25个产品，不合格品个数Y的期望是4.你会选择哪种改进方案？
解：(1)由频率分布直方图可知，抽取的产品为合格品的频率为(0.75＋0.65＋0.2)×0.5＝0.8，即抽取1个产品为合格品的概率为eq \f(4,5)，从产品中随机抽取4个，合格品的个数ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，则
P(ξ＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))eq \s\up12(4)＝eq \f(1,625)，
P(ξ＝1)＝Ceq \\al(1,4)×eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))eq \s\up12(3)＝eq \f(16,625)，
P(ξ＝2)＝Ceq \\al(2,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))eq \s\up12(2)＝eq \f(96,625)，
P(ξ＝3)＝Ceq \\al(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(3)×eq \f(1,5)＝eq \f(256,625)，
P(ξ＝4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(4)＝eq \f(256,625).
所以ξ的分布列为
ξ的数学期望E(ξ)＝4×eq \f(4,5)＝eq \f(16,5).
(2)从产品中随机抽取n个产品，全是合格品的概率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(n)，依题意得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(n)≥0.3，故n的最大值为5.
(3)设按A方案进行试验后，随机抽取1个产品是不合格品的概率是a，则随机抽取15个产品，不合格品个数X～B(15，a)；设按B方案进行试验后，随机抽取1个产品是不合格品的概率是b，则随机抽取25个产品，不合格品个数Y～B(25，b)．
依题意得E(X)＝15a＝2，E(Y)＝25b＝4，所以a＝eq \f(2,15)，b＝eq \f(4,25).
因为eq \f(2,15)＜eq \f(4,25)，所以应选择方案A.
[综合题组练]
1．(2020·河南部分省级示范性高中联考)2018年是中国改革开放40周年，为了充分认识新形势下改革开放的时代性，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：[20，30)，[30，40)，…，[70，80]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)现从年龄在[20，30)[30，40)[40，50)内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进行座谈，用ξ表示年龄在[30，40)内的人数，求ξ的分布列和数学期望；
(2)若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有k名市民的年龄在[30，50)的概率为P(X＝k)(k＝0，1，2，…，20)．当P(X＝k)最大时，求k的值．
解：(1)按分层抽样的方法抽取的8人中，
年龄在[20，30)内的人数为eq \f(0.005,0.005＋0.010＋0.025)×8＝1，
年龄在[30，40)内的人数为eq \f(0.010,0.005＋0.010＋0.025)×8＝2，
年龄在[40，50)内的人数为eq \f(0.025,0.005＋0.010＋0.025)×8＝5.
所以X的可能取值为0，1，2，
所以P(X＝0)＝eq \f(Ceq \\al(3,6)Ceq \\al(0,2),Ceq \\al(3,8))＝eq \f(5,14)，P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(1,2),Ceq \\al(3,8))＝eq \f(15,28)，
P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(2,2),Ceq \\al(3,8))＝eq \f(3,28)，
所以X的分布列为
E(X)＝0×eq \f(5,14)＋1×eq \f(15,28)＋2×eq \f(3,28)＝eq \f(3,4).
(2)设在抽取的20名市民中，年龄在[30，50)内的人数为X，X服从二项分布．由频率分布直方图可知，年龄在[30，50)内的频率为(0.010＋0.025)×10＝0.35，
所以X～B(20，0.35)．
所以P(X＝k)＝Ceq \\al(k,20)(0.35)k(1－0.35)20－k(k＝0，1，2，…，20)．
设t＝eq \f(P（X＝k）,P（X＝k－1）)＝eq \f(Ceq \\al(k,20)（0.35）k（1－0.35）20－k,Ceq \\al(k－1,20)（0.35）k－1（1－0.35）21－k)＝eq \f(7（21－k）,13k)(k＝1，2，…，20)，
若t>1，则k<7.35，P(X＝k－1)7.35，P(X＝k－1)>P(X＝k)．
所以当k＝7时，P(X＝k)最大，即当P(X＝k)最大时，k＝7.
2．(2020·云南昆明检测)某地区为贯彻“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为p(0.7≤p≤0.9)．
(1)任取树苗A，B，C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及E(X)；
(2)将(1)中的E(X)取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．
①求一棵B种树苗最终成活的概率；
②若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？
解：(1)由题意知，X的所有可能值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝0.2(1－p)2，
P(X＝1)＝0.8×(1－p)2＋0.2×Ceq \\al(1,2)×p×(1－p)＝0.8(1－p)2＋0.4p(1－p)＝0.4p2－1.2p＋0.8，
P(X＝2)＝0.2p2＋0.8×Ceq \\al(1,2)×p×(1－p)＝0.2p2＋1.6p(1－p)＝－1.4p2＋1.6p，
P(X＝3)＝0.8p2.
X的分布列为
所以E(X)＝1×(0.4p2－1.2p＋0.8)＋2×(－1.4p2＋1.6p)＋3×0.8p2＝2p＋0.8.
(2)当p＝0.9时，E(X)取得最大值．
①一棵B树苗最终成活的概率为0.9＋0.1×0.75×0.8＝0.96.
②记Y为n棵B种树苗的成活棵数，M(n)为n棵B种树苗的利润，则Y～B(n，0.96)，E(Y)＝0.96n，M(n)＝300Y－50(n－Y)＝350Y－50n，E(M(n))＝350E(Y)－50n＝286n，要使E(M(n))≥200 000，则有n≥699.3.
所以该农户至少种植700棵B种树苗，就可获利不低于20万元．
3．(2019·高考全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时 ，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.
(ⅰ)证明：{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列；
(ⅱ)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
解：(1)X的所有可能取值为－1，0，1.
P(X＝－1)＝(1－α)β，
P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，
P(X＝1)＝α(1－β)．
所以X的分布列为
(2)(ⅰ)证明：由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.
因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．
又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)为公比为4，首项为p1的等比数列．
(ⅱ)由(ⅰ)可得
p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0
＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)
＝eq \f(48－1,3)p1.
由于p8＝1，故p1＝eq \f(3,48－1)，所以
p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)
＝eq \f(44－1,3)p1＝eq \f(1,257).
p4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝eq \f(1,257)≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,729)
eq \f(8,243)
eq \f(64,243)
eq \f(512,729)
ξ
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
η
10
18
24
30
36
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,6)
eq \f(1,6)
eq \f(1,6)
eq \f(1,3)
ξ
0
1
2
3
4
P
eq \f(1,625)
eq \f(16,625)
eq \f(96,625)
eq \f(256,625)
eq \f(256,625)
X
0
1
2
P
eq \f(5,14)
eq \f(15,28)
eq \f(3,28)
X
0
1
2
3
P
0.2p2－0.4p＋0.2
0.4p2－1.2p＋0.8
－1.4p2＋1.6p
0.8p2