2023届高考一轮复习讲义（文科）第十二章　复数、算法、推理与证明 第3讲　高效演练 分层突破学案

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1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理( )
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
解析：选C.因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．
2．若等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为等差数列，公差为eq \f(d,2).类似地，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列{ eq \r(n,Tn)}的公比为( )
A.eq \f(q,2) B．q2
C.eq \r(q) D．eq \r(n,q)
解析：选C.由题意知，Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝b1·b1q·b1q2·…·b1qn－1＝beq \\al(n,1)q1＋2＋…＋(n－1)＝beq \\al(n,1)qeq \s\up6(\f(（n－1）n,2))，所以 eq \r(n,Tn)＝b1qeq \s\up6(\f(n－1,2))，所以等比数列{ eq \r(n,Tn)}的公比为eq \r(q)，故选C.
3．(2020·重庆市学业质量调研)甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛，其中只有一位获奖，有人走访四位同学，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”已知四位同学的话只有一句是对的，则获奖的同学是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：选D.假设获奖的同学是甲，则甲、乙、丙、丁四位同学的话都不对，因此甲不是获奖的同学；假设获奖的同学是乙，则甲、乙、丁的话都对，因此乙也不是获奖的同学；假设获奖的同学是丙，则甲和丙的话都对，因此丙也不是获奖的同学．从前面推理可得丁为获奖的同学，此时只有乙的话是对的，故选D.
4．(2020·荆州质检)若正偶数由小到大依次排列构成一个数列，则称该数列为“正偶数列”，且“正偶数列”有一个有趣的现象：
①2＋4＝6；
②8＋10＋12＝14＋16；
③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30；
…
按照这样的规律，则2 018所在等式的序号为( )
A．29 B．30
C．31 D．32
解析：选C.由题意知，每个等式中正偶数的个数组成等差数列3，5，7，…，2n＋1，其前n项和Sn＝eq \f(n[3＋（2n＋1）],2)＝n(n＋2)，所以S31＝1 023，则第31个等式中最后一个偶数是1 023×2＝2 046，且第31个等式中含有2×31＋1＝63个偶数，故2 018在第31个等式中．
5．若P0(x0，y0)在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是eq \f(x0x,a2)＋eq \f(y0y,b2)＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是 ．
解析：类比椭圆的切点弦方程可得双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的切点弦方程为eq \f(x0x,a2)－eq \f(y0y,b2)＝1.
答案：eq \f(x0x,a2)－eq \f(y0y,b2)＝1
6．按照图①～图③的规律，第10个图中圆点有 个．
解析：因为根据图形，第一个图有4个点，第二个图有8个点，第三个图有12个点，…，所以第10个图有10×4＝40个点．
答案：40
7．(2020·河北石家庄模拟)观察下列式子：1＋eq \f(1,22)解析：1＋eq \f(1,22)答案：1＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,32)＋…＋eq \f(1,（n＋1）2)8．在锐角三角形ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C>cs A＋cs B＋cs C.
证明：因为△ABC为锐角三角形，
所以A＋B>eq \f(π,2)，
所以A>eq \f(π,2)－B，
因为y＝sin x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是增函数，
所以sin A>sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－B))＝cs B，
同理可得sin B>cs C，sin C>cs A，
所以sin A＋sin B＋sin C>cs A＋cs B＋cs C.
[综合题组练]
1．已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i行，第j列
的数记为ai，j，比如a3，2＝9，a4，2＝15，a5，4＝23，若ai，j＝2 017，则i＋j＝( )
A．64 B．65
C．71 D．72
解析：选D.奇数数列an＝2n－1＝2 017⇒n＝1 009，按照蛇形数列，第1行到第i行末共有1＋2＋…＋i＝eq \f(i（1＋i）,2)个奇数，则第1行到第44行末共有990个奇数；第1行到第45行末共有1 035个奇数；则2 017位于第45行；而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数；故2 017位于第45行，从右到左第19列，则i＝45，j＝27⇒i＋j＝72.
2．(应用型)(2020·湖北八校联考模拟)祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于 ．
解析：椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球体的体积V＝2(V圆柱－V圆锥)＝2(π×b2×a－eq \f(1,3)π×b2a)＝eq \f(4,3)π×b2a.
答案：eq \f(4,3)π×b2a