2023届高考一轮复习讲义（文科）第三章　导数及其应用 第1讲　高效演练 分层突破学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（文科）第三章　导数及其应用 第1讲　高效演练 分层突破学案，共5页。

1．下列求导数的运算中错误的是( )
A．(3x)′＝3xln 3
B．(x2ln x)′＝2xln x＋x
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs x,x)))′＝eq \f(xsin x－cs x,x2)
D．(sin x·cs x)′＝cs 2x
解析：选C.因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs x,x)))′＝eq \f(－xsin x－cs x,x2)，C项错误．
2．已知曲线y＝eq \f(x2,4)－3ln x的一条切线的斜率为eq \f(1,2)，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2
C．1 D．eq \f(1,2)
解析：选A.因为y′＝eq \f(x,2)－eq \f(3,x)，令y′＝eq \f(1,2)，解得x＝3，即切点的横坐标为3.
3．已知函数f(x)可导，则eq \(lim,\s\d5(Δx→0)) eq \f(f（2＋2Δx）－f（2）,2Δx)等于( )
A．f′(x) B．f′(2)
C．f(x) D．f(2)
解析：选B.因为函数f(x)可导，
所以f′(x)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0)) eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)，
所以eq \(lim,\s\d5(Δx→0)) eq \f(f（2＋2Δx）－f（2）,2Δx)＝f′(2)．
4．函数g(x)＝x3＋eq \f(5,2)x2＋3ln x＋b(b∈R)在x＝1处的切线过点(0，－5)，则b的值为( )
A.eq \f(7,2) B.eq \f(5,2)
C.eq \f(3,2) D．eq \f(1,2)
解析：选B.当x＝1时，g(1)＝1＋eq \f(5,2)＋b＝eq \f(7,2)＋b，
又g′(x)＝3x2＋5x＋eq \f(3,x)，
所以切线斜率k＝g′(1)＝3＋5＋3＝11，
从而切线方程为y＝11x－5，
由于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(7,2)＋b))在切线上，所以eq \f(7,2)＋b＝11－5，
解得b＝eq \f(5,2).故选B.
5．已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．给出下列四个函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝e－x；③f(x)＝ln x；④f(x)＝tan x.
其中有“巧值点”的函数的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.对于①，若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，这个方程显然有解，故①符合要求；对于②，若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，即e－x＝－e－x，此方程无解，②不符合要求；对于③，若f(x)＝ln x，则f′(x)＝eq \f(1,x)，若ln x＝eq \f(1,x)，利用数形结合法可知该方程存在实数解，③符合要求；对于④，若f(x)＝tan x，则f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,cs x)))′＝eq \f(1,cs2x)，令f(x)＝f′(x)，即sin xcs x＝1，变形可sin 2x＝2，无解，④不符合要求．故选B.
6．(2020·江西南昌一模)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝x＋ln x，则f′(1)＝ ．
解析：因为f(ln x)＝x＋ln x，所以f(x)＝x＋ex，
所以f′(x)＝1＋ex，所以f′(1)＝1＋e1＝1＋e.
答案：1＋e
7．(2020·四川绵阳一诊改编)若函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，则t＝ ，切线方程为 ．
解析：因为函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1，所以f′(x)＝3x2＋t－1.因为函数f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，所以f′(－1)＝3×(－1)2＋t－1＝2＋t＝0，解得t＝－2.此时f(x)＝x3－3x－1，f(－1)＝1，切线方程为y＝1.
答案：－2 y＝1
8．已知函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，则曲线g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为 ．
解析：由题意知，f(2)＝2×2－1＝3，所以g(2)＝4＋3＝7，因为g′(x)＝2x＋f′(x)，f′(2)＝2，所以g′(2)＝2×2＋2＝6，所以曲线g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y－7＝6(x－2)，即6x－y－5＝0.
答案：6x－y－5＝0
9．求下列函数的导数：
(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；
(2)y＝sineq \f(x,2)(1－2cs2eq \f(x,4))；
(3)y＝eq \f(ln x,x2＋1).
解：(1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1)
＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，
所以y′＝18x2－10x－4.
(2)因为y＝sineq \f(x,2)(－cseq \f(x,2))＝－eq \f(1,2)sin x，
所以y′＝(－eq \f(1,2)sin x)′＝－eq \f(1,2)(sin x)′＝－eq \f(1,2)cs x.
(3)y′＝eq \f(（ln x）′（x2＋1）－ln x（x2＋1）′,（x2＋1）2)＝eq \f(\f(1,x)（x2＋1）－2xln x,（x2＋1）2)
＝eq \f(x2＋1－2x2ln x,x（x2＋1）2).
10．(2020·甘肃会宁一中模拟)已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．
(1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．
解：(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1.
令3x2＋1＝4，解得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(－1，－4)．
(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为－eq \f(1,4).
因为l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，
所以直线l的方程为y＋4＝－eq \f(1,4)(x＋1)，
即x＋4y＋17＝0.
[综合题组练]
1.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )
A．－1 B．0
C．3 D．4
解析：选B.由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率为－eq \f(1,3)，即f′(3)＝－eq \f(1,3)，又g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝0.
2．(2020·成都第二次诊断检测)若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))
C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)
解析：选D.f′(x)＝eq \f(1,x)＋2ax＝eq \f(2ax2＋1,x)(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－eq \f(1,x2)(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．故选D.
3．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（0）＝b＝0，,f′（0）＝－a（a＋2）＝－3，))
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，
即4a2＋4a＋1>0，
所以a≠－eq \f(1,2).
所以a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)).
4．已知抛物线C：y＝－x2＋eq \f(9,2)x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．
(1)求k的值；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．
解：(1)设点P的坐标为(x1，y1)，
则y1＝kx1，①
y1＝－xeq \\al(2,1)＋eq \f(9,2)x1－4，②
将①代入②得xeq \\al(2,1)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k－\f(9,2)))x1＋4＝0.
因为P为切点，
所以Δ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k－\f(9,2)))eq \s\up12(2)－16＝0，得k＝eq \f(17,2)或k＝eq \f(1,2).
当k＝eq \f(17,2)时，x1＝－2，y1＝－17.
当k＝eq \f(1,2)时，x1＝2，y1＝1.
因为P在第一象限，
所以k＝eq \f(1,2).
(2)过P点作切线的垂线，
其方程为y＝－2x＋5.③
将③代入抛物线方程得，
x2－eq \f(13,2)x＋9＝0.
设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x2＝9，
所以x2＝eq \f(9,2)，y2＝－4.
所以Q点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，－4)).