2023届高考一轮复习讲义（文科）第九章　平面解析几何 第1讲　高效演练 分层突破学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（文科）第九章　平面解析几何 第1讲　高效演练 分层突破学案，共5页。

1．若直线过点(1，1)，(2，1＋eq \r(3))，则此直线的倾斜角的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C.设此直线的倾斜角为α，则k＝tan α＝eq \f(1＋\r(3)－1,2－1)＝eq \r(3).又a∈[0，π)，所以α＝60°.故选C.
2．已知直线l的斜率为eq \r(3)，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A．y＝eq \r(3)x＋2 B．y＝eq \r(3)x－2
C．y＝eq \r(3)x＋eq \f(1,2) D．y＝－eq \r(3)x＋2
解析：选A.因为直线x－2y－4＝0的斜率为eq \f(1,2)，所以直线l在y轴上的截距为2，所以直线l的方程为y＝eq \r(3)x＋2.
3．(2020·黑龙江鹤岗一中期中)已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．2或1 D．－2或1
解析：选D.当a＝0时，直线方程为y＝2，显然不符合题意，当a≠0时，令y＝0，得到直线在x轴上的截距是eq \f(2＋a,a)，令x＝0，得到直线在y轴上的截距为2＋a，根据题意得eq \f(2＋a,a)＝2＋a，解得a＝－2或a＝1，故选D.
4．若eq \f(3π,2)<α<2π，则直线eq \f(x,cs α)＋eq \f(y,sin α)＝1必不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B.令x＝0，得y＝sin α<0，令y＝0，得x＝cs α>0，直线过(0，sin α)，(cs α，0)两点，因而直线不经过第二象限．选B.
5．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0，0)，M(－1，3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为( )
A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
解析：选C.因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，选C.
6．已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为 ．
解析：BC的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(1,2)))，所以BC边上中线所在直线方程为eq \f(y－0,－\f(1,2)－0)＝eq \f(x＋5,\f(3,2)＋5)，即x＋13y＋5＝0.
答案：x＋13y＋5＝0
7．直线l过原点且平分▱ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1，4)，D(5，0)，则直线l的方程为 ．
解析：直线l平分▱ABCD的面积，则直线l过BD的中点(3，2)，则直线l：y＝eq \f(2,3)x.
答案：y＝eq \f(2,3)x
8．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是 ．
解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值．所以b的取值范围是[－2，2]．
答案：[－2，2]
9．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边的垂直平分线DE的方程．
解：(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，
所以BC的方程为eq \f(y－1,3－1)＝eq \f(x－2,－2－2)，
即x＋2y－4＝0.
(2)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－eq \f(1,2)，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.因为BC边的垂直平分线DE经过BC的中点(0，2)，
所以所求直线方程为y－2＝2(x－0)，
即2x－y＋2＝0.
10．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(－3，4)；
(2)斜率为eq \f(1,6).
解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－eq \f(4,k)－3，3k＋4，由已知，得(3k＋4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,k)＋3))＝±6，解得k1＝－eq \f(2,3)或k2＝－eq \f(8,3).
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝eq \f(1,6)x＋b，它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，
所以b＝±1.
所以直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
[综合题组练]
1．直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )
A．－1＜k＜eq \f(1,5) B．k＞1或k＜eq \f(1,2)
C．k＞eq \f(1,5)或k＜1 D．k＞eq \f(1,2)或k＜－1
解析：选D.设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－eq \f(2,k)，
则－3＜1－eq \f(2,k)＜3，解得k＞eq \f(1,2)或k＜－1.
2．过直线l：y＝x上的点P(2，2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为 ．
解析：①若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；③若直线m的斜率k≠0，设其方程为y－2＝k(x－2)，令y＝0，得x＝2－eq \f(2,k)，依题意有eq \f(1,2)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2－\f(2,k)))×2＝2，即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,k)))＝1，解得k＝eq \f(1,2)，所以直线m的方程为y－2＝eq \f(1,2)(x－2)，即x－2y＋2＝0.综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2.
答案：x－2y＋2＝0或x＝2
3．已知直线l过点(2，1)，且在x，y轴上的截距相等．
(1)求直线l的一般方程；
(2)若直线l在x，y轴上的截距不为0，点P(a，b)在直线l上，求3a＋3b的最小值．
解：(1)①截距为0时，k＝eq \f(1－0,2－0)＝eq \f(1,2)，
所以l：y＝eq \f(1,2)x，即x－2y＝0；
②截距不为0时，设直线方程为eq \f(x,t)＋eq \f(y,t)＝1，将(2，1)代入，计算得t＝3，则直线方程为x＋y－3＝0.
综上，直线l的方程为x－2y＝0或x＋y－3＝0.
(2)由题意得l的方程为x＋y－3＝0，
因为点P(a，b)在直线l上，所以a＋b＝3，
所以3a＋3b≥2eq \r(3a·3b)＝2eq \r(3a＋b)＝6eq \r(3)，
当且仅当a＝b＝eq \f(3,2)时等号成立，
所以3a＋3b的最小值是6eq \r(3).
4．(综合型)为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？
解：如图所示，建立平面直角坐标系，则E(30，0)，F(0，20)，
所以直线EF的方程为eq \f(x,30)＋eq \f(y,20)＝1(0≤x≤30)．
易知当矩形草坪的一个顶点在EF上时，可取最大值，
在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，
则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)．
又eq \f(m,30)＋eq \f(n,20)＝1(0≤m≤30)，
所以n＝20－eq \f(2,3)m.
所以S＝(100－m)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(80－20＋\f(2,3)m))
＝－eq \f(2,3)(m－5)2＋eq \f(18 050,3)(0≤m≤30)．
所以当m＝5时，S有最大值，这时eq \f(|EP|,|PF|)＝5∶1.
所以当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成5∶1时，草坪面积最大．