2023届高考一轮复习讲义（文科）第九章　平面解析几何 第4讲　高效演练 分层突破学案

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1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．外切 D．内切
解析：选B.圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径长r1＝1，圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径长r2＝2，所以两圆的圆心距d＝eq \r(5)，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有r2－r12．(2020·陕西榆林二校联考)圆x2＋y2＋4x－2y＋a＝0截直线x＋y－3＝0所得弦长为2，则实数a等于( )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
解析：选D.由题知，圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5－a，所以圆心为(－2，1)，半径为eq \r(5－a)，又圆心到直线的距离为eq \f(|－2＋1－3|,\r(2))＝2eq \r(2)，所以2eq \r(（\r(5－a)）2－（2\r(2)）2)＝2，解得a＝－4.
3．(2020·河南豫西五校联考)在平面直角坐标系xOy中，以点(0，1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( )
A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16
解析：选B.直线x－by＋2b＋1＝0过定点P(－1，2)，如图．所以圆与直线x－by＋2b＋1＝0相切于点P时，以点(0，1)为圆心的圆的半径最大，此时半径r为eq \r(2)，此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2.故选B.
4．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是( )
A．{1，－1} B．{3，－3}
C．{1，－1，3，－3} D．{5，－5，3，－3}
解析：选C.因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a|＝1，外切时，|a|＝3，所以实数a的取值集合是{1，－1，3，－3}．
5．圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为eq \r(2)的点共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C.圆的方程化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝eq \f(|－1－2＋1|,\r(2))＝eq \r(2)，半径是2eq \r(2)，结合图形可知有3个符合条件的点．
6．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，eq \r(3))处的切线方程为 ．
解析：圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2，0)，半径为2，点P在圆上，设切线方程为y－eq \r(3)＝k(x－1)，即kx－y－k＋eq \r(3)＝0，所以eq \f(|2k－k＋\r(3)|,\r(k2＋1))＝2，
解得k＝eq \f(\r(3),3).所以切线方程为y－eq \r(3)＝eq \f(\r(3),3)(x－1)，即x－eq \r(3)y＋2＝0.
答案：x－eq \r(3)y＋2＝0
7．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝ ．
解析：由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，所以圆心C(2，1)在直线x＋ay－1＝0上，所以2＋a－1＝0，所以a＝－1，所以A(－4，－1)．
所以|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，所以|AB|2＝40－4＝36.所以|AB|＝6.
答案：6
8．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为 ．
解析：因为∠AOB＝90°，所以点O在圆C上．设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，所以点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物线上，所以当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|＝eq \f(|2×0＋0－4|,\r(5))＝eq \f(4,\r(5))，所以圆C的最小半径为eq \f(2,\r(5))，所以圆C面积的最小值为πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,\r(5))))eq \s\up12(2)＝eq \f(4,5)π.
答案：eq \f(4,5)π
9．已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
(1)过切点A(4，－1)；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直．
解：(1)因为kAC＝eq \f(－2＋1,1－4)＝eq \f(1,3)，所以过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，所以过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0.
(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，则eq \f(|2－2＋m|,\r(5))＝eq \r(10)，所以m＝±5eq \r(2)，所以切线方程为2x＋y±5eq \r(2)＝0.
10．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．
解：(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，
则eq \r(（a－2）2＋（－2a＋1）2)＝eq \f(|a－2a－1|,\r(2))，化简，
得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.
所以C(1，－2)，半径|AC|＝eq \r(（1－2）2＋（－2＋1）2)＝eq \r(2).
所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得eq \f(|k＋2|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝－eq \f(3,4)，
所以直线l的方程为y＝－eq \f(3,4)x.
综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.
[综合题组练]
1．(2020·湖北四地七校联考)若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是( )
A．3 B．4
C．2eq \r(3) D．8
解析：选B.连接O1A，O2A，由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以|O1O2|2＝|O1A|2＋|O2A|2，即m2＝5＋20＝25，设AB交x轴于点C.在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝eq \f(\r(5),5)，所以在Rt△ACO2中，|AC|＝|AO2|·sin∠AO2O1＝2eq \r(5)×eq \f(\r(5),5)＝2，所以|AB|＝2|AC|＝4.
2．(2020·江西南昌NCS项目第一次模拟)已知r>0，x，y∈R，p：“|x|＋eq \f(|y|,2)≤1”，q：“x2＋y2≤r2”，若p是q的必要不充分条件，则实数r的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(5),5))) B．(0，1]
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，＋∞)) D．[2，＋∞)
解析：选A.如图，“|x|＋eq \f(|y|,2)≤1”表示的平面区域为平行四边形ABCD及其内部，“x2＋y2≤r2”表示圆及其内部，易知圆心O(0，0)到直线AD：2x＋y－2＝0的距离d＝eq \f(|－2|,\r(22＋12))＝eq \f(2\r(5),5)，由p是q的必要不充分条件，得03．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.
设M(x，y)，则eq \(CM,\s\up6(→))＝(x，y－4)，eq \(MP,\s\up6(→))＝(2－x，2－y)．
由题设知eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(MP,\s\up6(→))＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，eq \r(2)为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－eq \f(1,3)，
故l的方程为x＋3y－8＝0.
又|OM|＝|OP|＝2eq \r(2)，O到l的距离为eq \f(4\r(10),5)，
所以|PM|＝eq \f(4\r(10),5)，S△POM＝eq \f(1,2)×eq \f(4\r(10),5)×eq \f(4\r(10),5)＝eq \f(16,5)，
故△POM的面积为eq \f(16,5).
4．已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋3＝0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．
解：(1)将圆C的方程配方得(x－1)2＋(y－2)2＝2，
当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx(k≠0)，
由直线与圆相切得eq \f(|k－2|,\r(k2＋1))＝eq \r(2)，解得k＝－2±eq \r(6)，
所以切线方程为y＝(－2＋eq \r(6))x或y＝(－2－eq \r(6))x.
当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，
由直线与圆相切得eq \f(|1＋2－a|,\r(2))＝eq \r(2)，解得a＝1或a＝5，所以切线方程为x＋y－1＝0或x＋y－5＝0.
综上，所求的切线方程为y＝(－2＋eq \r(6))x或y＝(－2－eq \r(6))x或x＋y－1＝0或x＋y－5＝0.
(2)由|PM|＝|PO|得(x1－1)2＋(y1－2)2－2＝xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)，
即2x1＋4y1－3＝0，
即点P在直线l：2x＋4y－3＝0上，
所以|PM|min＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,\r(22＋42))))\s\up12(2)－2)＝eq \f(3\r(5),10).